期中测试02-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（北师大版2019必修第二册）

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期中测试02-2020-2021学年高一年级数学下学期期中专项复习（北师大2019版）一、单选题1．（2020·广西桂林十八中高二月考（文））已知向量，，若，则=（    ）A．0 B． C．6 D．【答案】C【分析】先建立方程，再求解即可.【详解】解：因为向量，，且，所以，解得：，故选：C.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、向量数量积的坐标表示，是基础题.2．（2019·东台创新高级中学高一月考）函数的图象是中心对称图形，其中它的一个对称中心是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用整体代入法求出函数图象的对称中心是（），再令求解该题.【详解】解：令（），解得：（），所以函数的图象的对称中心是（）当时，对称中心为，故选：B【点睛】本题考查求三角函数的对称中心，运用了整体代入法，是基础题.3．（2021·全国高三专题练习）若向量，满足，，则在方向上的投影为（    ）．A．1 B． C． D．【答案】B【分析】设，的夹角为，利用，求解的值即可.【详解】设，的夹角为，则 ，则，即在方向上的投影为.故选：B.4．（2021·台州市书生中学高一开学考试）函数的图象，可由函数的图象经过下述________变换而得到（　　）.A．向右平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍B．向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍C．向右平移个单位，横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩小到原来的D．向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的【答案】B【分析】先横向平移，再周期变换，最后纵向伸缩变换.【详解】向左平移得，横坐标缩小到原来的 得，纵坐标扩大到原来的3倍得故选：B【点睛】本题中如果先周期变换，则变换方式如下：横坐标缩小到原来的得，向左平移得，纵坐标扩大到原来的3倍得.5．（2021·辽宁高一期末）已知为所在平面内一点，，则 （    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的基本定理结合向量的加减线性运算计算表示.【详解】由题意作图，如图所示，因为，所以.故选：A.6．（2021·浙江高一单元测试）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法减法运算即可求解.【详解】依题意，，故选：B7．（2021·湖南高三月考（文））下列函数中，同时满足以下两个条件①“，”；②“将图象向左平移个单位长度后得到的图象对应函数为”的一个函数是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断出函数的对称性，然后逐项检验即可.【详解】因为，所以关于点成中心对称对于A，时，，排除；对于B，时，，排除；对于C，时，，待进一步检验；对于D，时，，待进一步检验.又将图象向左平移个单位长度后得到的图象对应函数为对于C，平移后，，排除；对于D，平移后，，正确.故选：D.8．（2021·河南高三月考（理））的图象向左平移个单位，恰与的图象重合，则的取值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到平移后的解析式，再将转化为正弦型函数，然后根据两函数图象重合，由求解.【详解】的图象向左平移个单位得到，，因为的图象平移后与的图象重合，所以，解得，当时，，故选：D9．（2021·辽宁高三其他模拟（理））已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出、，将两边平方展开结合数量积的定义即可求解.【详解】因为，是单位向量，所以，，，即，所以，解得：，因为，所以，所以与的夹角为，故选：C.10．（2021·吉林长春市·高三二模（理））四边形中，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，四边形为直角梯形，而，再根据数量积的定义以及数量积的运算律即可求出．【详解】由题意知，四边形为直角梯形，，所以．故选：B．二、多选题11．（2020·广东高三）如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（    ）A． B．是函数，的一个对称中心C． D．函数在区间上是减函数【答案】ACD【分析】根据函数图像得函数解析式为，进而判断函数图像性质.【详解】由题知，，函数的最小正周期，所以，故A正确；因为，所以，，解得，，又，所以，故C正确；函数，因为，所以不是函数的一个对称中心，故B错误；令，，得，，当时，，因为，所以函数在区间上是减函数，故D正确．故选：ACD．【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.12．（2021·江苏高一课时练习）已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（    ）A．，的夹角是 B．，的夹角是或C．或 D．或【答案】BC【分析】向量模平方转化为的二次函数的最小值问题.【详解】设的夹角为，由题可知，，，是两个单位向量，且的最小值为，的最小值为，则，解得，与的夹角为或，或，或.故选: BC【点睛】向量模的最值问题转化为函数最值问题研究是数形结合典型形式.注意向量夹角的范围，防止漏解.三、填空题13．（2020·广西高三月考（理））已知向，若在方向上的投影为4，则实数的值为____________.【答案】【分析】先利用数量积的坐标运算求出，代入投影公式即可解出实数的值.【详解】依题意，得，所以在方向上的投影为，解得．故答案为：【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，属于容易题.14．（2020·陕西高一期末）已知扇形的圆心，弧长为，则该扇形的面积为______.【答案】【分析】用弧长公式求出扇形半径，再用扇形面积公式得解.【详解】因为扇形的圆心，弧长为，， 故答案为：【点睛】本题考查弧长公式和扇形面积公式，属于基础题.15．（2020·北京铁路二中高三期中）已知函数，若满足，则的一个取值为________．【答案】（答案不唯一）【分析】根据的值域为可知若满足则必有的值分别为,再根据三角函数的性质分析即可.【详解】因为的值域为,故若满足则必有的值分别为,故的最小值当且仅当为相邻的两个最值点取得.此时为的半个周期,即.故答案为：【点睛】关键点点睛：相邻的两个最值点的横坐标的距离为半个周期是解题的突破点.16．（2021·全国高三月考（文））已知函数的部分图象如图所示，则______.【答案】【分析】根据周期求出，再根据五点法作图求得，可得函数的解析式，从而求得的值．【详解】由题意可得,可得,则，所以 则由，所以则，所以所以故答案为：四、解答题17．（2020·陕西高一期末）已知向量、的夹角为，且，（1）求的值；（2）求与的夹角的余弦.【答案】（1）（2）.【分析】（1）先求出的值，再开方即可求出的值；（2）设与的夹角为，由 可以求出.【详解】（1）， ；（2）设与的夹角为，，，故与的夹角的余弦.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，正确使用数量积的定义运算，对于，一般先平方，再开方进行求解.18．（2020·黑龙江建三江分局第一中学高三期中（理））已知函数.（1）求函数的对称轴；（2）当时，求函数的最大值与最小值.【答案】（1）对称轴方程为：()；（2）最大值为2，最小值为.【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值.【详解】（1）函数.令()，解得()，所以函数的对称轴方程为：().（2）由于，所以，故.则：故当时，函数的最小值为.当时，函数的最大值为2.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.19．（2021·江苏高一课时练习）已知向量，．（1）若时，求的值；（2）若向量与向量的夹角为锐角，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）且．【分析】（1）先求出，的坐标，再由得，列方程可求出的值；（2）由向量与向量的夹角为锐角，可得，且向量与向量不共线，从而可求出的取值范围【详解】解：（1）因为向量，，所以，，因为 ，所以，所以，即，解得或，（2）因为向量与向量的夹角为锐角，所以，且向量与向量不共线，所以，解得且，所以的取值范围为且20．（2021·安徽芜湖市·高一期末）已知集合（1）求集合；（2）求集合.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）作出正弦函数一个周期内的图象，利用图象即可求解.（2）利用集合的交运算即可求解.【详解】（1）作出正弦函数在内的图象，如下：由图象可知当时，则，所以不等式的解集.（2）由，，所以.21．（2021·江苏高一课时练习）设是不共线的非零向量，且.（1）证明：可以作为一组基底；（2）以为基底，求向量的分解式；（3）若，求λ，μ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3和1.【分析】（1）根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理进行求解即可；（2）根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理进行求解即可；（3）根据平面向量共线定理进行求解即可【详解】（1）证明　若共线，则存在λ∈R，使，则.由不共线得，，所以λ不存在，故平面向量不共线，可以作为一组基底；（2）解　设 (m，n∈R)，得：，因为，是不共线的非零向量，所以所以；（3）解　由得：又是不共线的非零向量，所以故所求λ，μ的值分别为3和1.22．（2021·安徽省泗县第一中学高一开学考试）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.（1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；（2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解（2）根据扇形的扇形公式结合二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得，解得(舍去)，.故扇形圆心角为.（2）由已知得，.所以，所以当时，取得最大值25，此时，.