专题04 正切函数图像与性质【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（北师大版2019必修第二册）

专题04 正切函数图像与性质【专项训练】-2020-2021学年高一数学

下学期期中专项复习（北师大2019版）

一、单选题

1．（2021·四川高一开学考试）函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

利用函数的单调区间求解．

【详解】

由得，，

增区间为，．

故选：A．

2．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高一期末）函数的对称中心坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据正切函数的对称中心整体代换求解．

【详解】

令），

解得，

故函数的对称中心为，

故选：C．

3．（2020·全国高一课时练习）若，则等于（    ）

A．- B． C．0 D．-2

【答案】C

【分析】

根据的值出现的规律知，此函数的一个周期为3的函数，利用函数的周期性知，由此计算的值．

【详解】

解：，；

，，，

， ， ，；

故选：．

4．（2020·全国高一课时练习）函数（）的图象上的相邻两支曲线截直线所得的线段长为.则ω的值是（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【分析】

根据函数（）的图象上的相邻两支曲线截直线所得的线段长为该函数的最小正周期，求出的值即可.

【详解】

由题意可得的最小正周期为，则，.

故选：C.

5．（2020·全国高一课时练习）函数是（    ）

A．奇函数 B．偶函数

C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数

【答案】A

【分析】

根据函数奇偶性定义的判断可得结果.

【详解】

由得

所以函数的定义域为，定义域关于原点对称

又

∴是奇函数.

故选：A

6．（2021·湖北高一期末）函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由解出范围即可.

【详解】

由，可得，所以函数的单调递增区间为，

故选C.

7．（2021·四川雅安市·高一期末）已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T，然后由求出，然后再代点讨论满足题意的，即可得出答案.

【详解】

由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为，得.

则由得，即得.

由，且在区间内单调递减，则可得，

∴.

由得，因，可得或，

当时，，

由，得，

则函数的单调减区间为，

令，由，得函数在上不是单调递减，

所以不满足题意；

当时，，

由，得，

则函数的单调减区间为，

令，由，得函数在上单调递减，

所以满足题意；

综上可得：满足题意.

故选：A.

【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意正切函数的对称中心为.

8．（2021·江苏苏州市·高三期末）已知，，函数图象相邻的两个对称中心之间的距离为，函数图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

求出函数、的最小正周期，结合正弦型函数和正切型函数的对称性可得出结论.

【详解】

函数的最小正周期为，则，

函数的最小正周期为，则，

因此，.

故选：C.

9．（2021·南昌市·江西师大附中高一期末）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据三角函数的图象变换，得出与函数的图象重合，得到，即可求解.

【详解】

由函数的图像向右平移个单位长度后，

可得与函数的图象重合，

，其中，即，

当时，可得，即的最小值为.

故选：B.

10．（2021·安徽六安市·六安一中高一期末）与函数的图象不相交的一条直线是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

令可求出.

【详解】

可得，则，

当时，，故与的图象不相交.

故选：D.

二、多选题

11．（2021·江苏启东市·高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若的最小正周期是，则

B．当时，的对称中心的坐标为

C．当时，

D．若在区间上单调递增，则

【答案】AD

【分析】

根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.

【详解】

解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确；

对于B选项，当时，，所以令，解得：，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项错误；

对于C选项，当时，，，，由于在单调递增，故，故C选项错误；

对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确.

故选：AD

【点睛】

本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得，再结合和得，进而得答案.

12．（2020·全国高三专题练习）已知函数，则(    )

A．的值域为

B．的单调递增区间为

C．当且仅当时，

D．的最小正周期时

【答案】AD

【分析】

根据三角函数的性质可得当时，，当时，，结合图象逐一判断即可.

【详解】

当，即时，；

当，即时，.

综上，的值域为，故A正确；

的单调递增区间是和，B错误；当时，，故C错误；

结合的图象可知的最小正周期是，故D正确.

故选：AD.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的性质，得出函数的解析式是解题的关键，属于中档题.

三、填空题

13．（2021·安徽高三一模（文））已知函数的最小正周期为，则ω=___________.

【答案】

【分析】

利用正切函数周期公式直接求解

【详解】

函数的最小正周期为，故

故答案为：2

14．（2020·全国高一课时练习）函数y=|tanx|，y=tanx，y=tan(-x)，y=tan|x|在上的大致图象依次是___________(填序号).

【答案】①②④③

【分析】

借助正切函数的图象和性质，依次判断即可得出结果.

【详解】

∵|tanx|≥0，∴图象在x轴上方，∴y=|tanx|对应①；

∵tan|x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y=tan|x|对应③；

而y=tan(-x)与y=tanx关于y轴对称，∴y=tan(-x)对应④，

y=tanx对应②，

故四个图象依次是①②④③.

故答案为：①②④③

15．（2021·四川眉山市·高一期末）已知函数，若，则__________.

【答案】0

【分析】

由解析式可得，即可求解.

【详解】

，

，则，

.

故答案为：0.

16．（2021·重庆市清华中学校高一期末）函数的定义域是__________．

【答案】

【分析】

根据偶次根式被开方数大于等于0，可求得的范围，根据正切函数的性质，即可得答案.

【详解】

由题意得，即，所以，

所以.故答案为：

四、解答题

17．（2020·全国高一课时练习）求函数的定义域和单调区间．

【答案】定义域为，单调增区间为，无单调减区间.

【分析】

利用整体法，结合正切函数的定义域和单调区间，即可求得结果.

【详解】

令，解得，

故的定义域为；

令，解得，

故的单调增区间为，

该函数没有单调减区间.

【点睛】

本题考查正切型三角函数定义域和单调区间的求解，属综合基础题.

18．（2020·全国高一课时练习）判断函数f(x)＝lg的奇偶性．

【答案】f(x)是奇函数．

【分析】

解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断.

【详解】

由>0，得tan x>1或tan x<－1.

∴函数定义域为∪ (k∈Z)，关于原点对称．

f(－x)＋f(x)＝lg＋lg

＝lg＝lg 1＝0.

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

【点睛】

本题考查含正切函数奇偶性的判断，涉及正切不等式的求解，属综合基础题.

19．（2019·长沙铁路第一中学高一月考）求函数在时的值域.

【答案】

【分析】

先求出的取值范围，再结合二次函数性质得值域．

【详解】

∵，∴，

，∴时，，

函数无最大值，

∴所求值域为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查对数型函数的值域，解题时利用整体思想（即换元思想）转化为二次函数值域问题求解，使问题更加简便易求．

20．（2020·全国高一课时练习）设函数.

（1）求函数f(x)的最小正周期､对称中心；

（2）作出函数f(x)在一个周期内的简图.

【答案】（1）最小正周期，对称中心是；（2）答案见解析.

【分析】

（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数的对称中心.

（2）根据函数的解析式得到的图象与轴的交点坐标为，图象上的、两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可.

【详解】

（1），，

令，，解得，，

故对称中心为.

（2）令，解得，

令，解得，

令，解得，

令，解得，

令，解得，

所以函数的图象与轴的一个交点坐标为，

图象上的点有、两点，

在这个周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为和，

从而得到函数在一个周期内的简图(如图).

【点睛】

本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.

21．（2020·上海高一课时练习）函数在上的最大值和最小值分别为和，求a，b的值．

【答案】

【分析】

根据在上单调递增或单调递减，可代入区间端点值，列出关于的等式再求解即可.

【详解】

当时，在上单调递增，故 ，即，解得.

当时，在上单调递减，故 ，即，解得.

故

【点睛】

本题主要考查了根据正切型函数的单调性与最值求解参数的问题，属于基础题.

22．（2020·全国高一课时练习）设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．

（1）求f(x)的解析式；

（2）求f(x)的单调区间；

（3）求不等式－1≤f(x)≤的解集．

【答案】（1）f(x)＝tan；（2）单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间；（3）.

【分析】

（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；

（2）利用整体法，即可求得函数的单调区间；

（3）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可求得不等式.

【详解】

（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，

即，

因为ω>0，所以ω＝2，

从而f(x)＝tan(2x＋φ)．

因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，

所以2×＋φ＝，k∈Z，

即φ＝＋，k∈Z.

因为0<φ<，所以φ＝，

故f(x)＝tan.

（2）令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，

得，

即

所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．

（3）由（1）知，f(x)＝tan.

由－1≤tan≤，

得

即

所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.

【点睛】

本题考查正切型三角函数解析式的求解，单调性的求解，以及三角不等式的求解，属综合基础题.