第4章对数运算和对数函数 基础测试-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习

北师大新版数学必修第一册第四章对数运算和对数函数基础测试题

一、单选题

1．计算等于（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数，则（    ）

A．-7 B．2 C．7 D．-4

4．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

5．给出下列三个等式：，．下列函数中不满足其中任何一个等式（    ）

A． B． C． D．

6．若函数是函数（且）的反函数，且，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知，则等于 （    ）

A．-1 B．2 C．3 D．1

8．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A．

B．

C．

D．

9．若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．或 C． D．或

10．已知函数，则函数的减区间是（    ）

A． B． C． D．

11．设x，y是实数，则“，且”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

12．函数的图象过一个定点，则这个定点坐标是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若，则的值为______.

14．已知，则_________.

15．设函数，则______.

16．函数的递增区间是________．

三、解答题

17．计算下列各式：

（1）；

（2）；

（3）.

18．已知函数.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）设，解不等式.

19．已知对数函数的图象经过点（9,2）.

(1)求函数的解析式；

（2）如果不等式成立，求实数的取值范围．

20．已知函数，.

（1）若，求函数的单调递减区间；

（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.

21．已知函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.

（1）求，的解析式，并判断的单调性；

（2）已知，且，不等式成立，求的取值范围.

22．已知函数

（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；

（2）当a>0时，解关于x的不等式.

参考答案

1．C

【分析】

直接利用对数的运算法则化简得解.

【详解】

由题得.

故选：C

2．C

【分析】

由函数解析式可得，解出即可.

【详解】

要使函数有意义，

则，解得，

故的定义域为.

故选：C.

3．A

【分析】

根据解析式，分别求出和，即可得出结果.

【详解】

因为，

所以，，

因此.

故选：A.

4．D

【分析】

利用对应指对数函数性质即可判断，，的范围，即可知它们的大小关系.

【详解】

由的性质知：，

由的性质知：，

由的性质知：，

所以.

故选：D

5．D

【分析】

对各个函数分别进行验证即可

【详解】

解：对于A，，

对于B，，

对于C，，

对于D，，

，

所以函数不满足其中任何一个等式，

故选：D

6．B

【分析】

由题意可得出，结合可得出的值，进而可求得函数的解析式.

【详解】

由于函数是函数（且）的反函数，则，

则，解得，因此，.

故选：B.

7．D

【分析】

利用对数和指数互化，可得，，再利用即可求解.

【详解】

由得：，，

所以，

故选：D

8．B

【分析】

根据函数奇偶性的定义及指数函数、对数函数的图像性质判断即可.

【详解】

因为为奇函数，函数和函数不具有奇偶性，故排除A，C，D，

又为偶函数且在上递增，故B符合条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数奇偶性的判断、单调性的判断，属于基础题. 掌握幂指对函数的基本性质是关键.

9．B

【分析】

将不等式化成同底，即可得答案；

【详解】

，

或

解得：或，

故选：B.

10．C

【分析】

先求得的定义域，然后根据复合函数同增异减确定的减区间.

【详解】

由解得或，

所以的定义域为.

函数的开口向上，对称轴为，

函数在上递减，

根据复合函数单调性同增异减可知函数的减区间是.

故选：C

11．A

【分析】

首先判断“，且”能否推出 “；再判断

能否推出“，且”，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.

【详解】

若“，且”,则，，

所以“，且”是“充分条件；

若，则，可得，但得不出“，且”，如，可得，所以

得不出“，且”，

所以“，且”是“充分不必要条件；

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件.

12．A

【分析】

当时，是与无关的常数，由此可求出定点的坐标

【详解】

解：令，则，此时，

所以函数的图像恒过点，

故选：A

13．2

【分析】

直接利用指数式和对数式互化求解.

【详解】

因为，

所以,

解得,

故答案为:2

14．

【分析】

由得，再根据对数的运算性质可得解.

【详解】

因为，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：掌握指数式化对数式和对数的运算性质是本题解题关键.

15．4

【分析】

根据分段函数定义域，代入可求得，根据的值再代入即可求得的值．

【详解】

因为

所以

所以

故答案为:4

16．

【分析】

求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性得出增区间．

【详解】

函数的定义域为，

函数在上单调递减，在上单调递增，

又函数单调递增，

函数在上单调递减，在上单调递增．

故答案为：．

【点睛】

结论点睛：本题考查复合函数的单调性，复合函数的单调性：在定义域内，单调性如下：

17．（1）.（2）.（3）

【分析】

（1）根据对数的运算性质进行运算即可得出结论；

（2）根据对数的运算性质进行运算即可得出结论；

（3）根据对数的运算性质进行运算即可得出结论；

【详解】

解：（1）.

（2）.

（3）

.

【点睛】

本题主要考查对数运算性质：；; (其中且.考查学生的计算能力，属于基础题.

18．（1）奇函数；（2）.

【分析】

应用函数的奇偶性的定义，证明 即可.

将式子直接代入，得,再就是对自变量分情况讨论，即可得出不等式的解.

【详解】

解:(1).函数的定义域为，

∴是奇函数；

（2）原不等式可化为，

当时， ，

∴， ∴，

当时， ， ∴， ∴， ∴，

故所求不等式的解集为.

【点睛】

本题考查奇偶性的判断和利用对数函数的单调性解不等式,考查分类讨论思想, 是基础题.

19．（1）； （2）.

【分析】

（1）根据条件可得，解得a，即可得解析式；

（2）由函数解析式可得，解对数不等式即可得解.

【详解】

（1）因为函数过点（9，2）

所以，即，

因为，所以.

所以函数的解析式为;

.

由可得，即

即，即.

所以，实数的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查了解对数不等式，注意真数大于0，属于基础题.

20．（1）；（2）

【分析】

（1）先求出函数的义域为或，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调减区间；（2）等价于在R上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析得解.

【详解】

（1）若，, 函数的定义域为或，

由于函数是定义域上的增函数，

所以的单调递减区间等价于函数或的减区间，

或的减区间为，

所以函数的单调递减区间.

（2）由题得在R上恒成立，

当时，2＞0恒成立，所以满足题意；

当时，，所以.

综合得

【点睛】

本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

21．（1），，单调递增；（2）.

【分析】

（1）由可得，然后结合奇偶性可解出，的解析式，然后判断出的单调性即可；

（2）由可得，然后可得，然后分、两种情况讨论即可.

【详解】

（1）由题可得，则

又，所以，

因为在上单调递增，在上单调递减

所以函数在上单调递增

（2）等价于

因为函数单调递增，则

当时，上式等价于，即

当时，上式等价于，即

综上可知，

22．（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）由题意可得恒成立，即恒成立，然后分和两种情况讨论即可；

（2）由，得，然后分，，求解即可

【详解】

解：(1)由题意知恒成立  ∴恒成立

①当时，2>0恒成立

② ∴0<a<2

综上：

(2)由，得，

①当时，， ∴x(2，)

②当时，， ∴x(，2)

③当时，， ∴x

综上：当时，不等式的解集为(2，) ；当时，不等式的解集为(，2) ；当时，不等式的解集为.