第4章对数运算和对数函数 综合测试-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习

北师大新版数学必修第一册第四章对数运算和对数函数综合测试题

一、单选题

1．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

2．下列函数中在区间上是递增的函数的是（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．10

4．设a＝()0.5，b＝30.5，c＝log30.2，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．c<a<b B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b

5．若a，b，c是实数，则“”是“”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要的条件

6．设，则 （    ）

A． B．25 C． D．

7．为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点（    ）

A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移2个单位长度

B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

C．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，再向右平移个单位长度

8．若函数，则的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

9．已知，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数,若,则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

11．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数的值域为R．则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．若，则=________．

14．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则的值等于______.

15．若函数（且），满足对任意的、，当时，，则实数的取值范围为___________．

16．已知函数函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是__________．

三、解答题

17．解下列方程.

（1）；

（2）.

18．已知函数，．

（1）判断函数的奇偶性并证明；

（2）若成立，求的取值范围．

19．已知

（1）判断函数的奇偶性并证明；

（2）解不等式.

20．已知，函数.

（1）求的定义域；

（2）若在上的最小值为，求的值.

21．已知函数，且不恒为0．

（1）若为奇函数，求实数a的值；

（2）若，且函数在上单调递减，求实数a的取值范围．

22．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，（）.

（1）求的函数解析式：

（2）当时，求满足不等式的实数的取值范围.

参考答案

1．D

【分析】

根据函数解析式，利用分式、根式、对数的性质即可求函数定义域.

【详解】

要使函数有意义，则，即或，

故函数的定义域为．

故选：D．

2．C

【分析】

根据各选项的函数类型判断其单调性可得选项．

【详解】

对于A选项：是常函数，在区间上是递增不成立，故A不正确；

对于B选项：的定义域为，所以函数在区间上是递增不成立，故B不正确；

对于C选项：在上单调递增，在上单调递减，故C正确；

对于D选项：在和上单调递减，故D不正确，

故选：C．

3．B

【分析】

根据分段函数的解析式直接计算即可.

【详解】

.

故选：B.

4．A

【分析】

借助中间值0和1，进行比较大小.

【详解】

因为且，，；

所以；

故选：A.

5．B

【分析】

根据必要不充分定义进行判断可得答案.

【详解】

当时，不成立，

当时，得，所以即.

故选：B.

6．D

【分析】

由对数化为指数可得答案

【详解】

由，可得，所以，

故选：D.

7．A

【分析】

将函数转化为，再利用伸缩变换和平移变换求解.

【详解】

因为，

所以将纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移2个单位长度得到，

故选：A

8．A

【分析】

令，则，根据解析式，先求出函数定义域，结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出结果.

【详解】

令，则，由真数得，

∵抛物线的开口向下，对称轴，

∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，

又∵在定义域上单调递减，

由复合函数的单调性可得：

的单调递增区间为.

故选：A.

9．C

【分析】

利用二次函数的单调性可判断A选项的正误；利用反比例函数的单调性可判断B选项的正误；利用对数函数的单调性可判断C选项的正误；利用指数函数的单调性可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，由于二次函数在为增函数，且，则，A选项错误；

对于B选项，由于反比例函数在上为减函数，且，则，B选项错误；

对于C选项，由于对数函数在上为增函数，且，则，C选项正确；

对于D选项，由于指数函数为上的增函数，且，则，D选项错误.

故选：C.

10．C

【分析】

先判断函数的奇偶性及单调性，再解不等式即可

【详解】

由题意知的定义域为，且为偶函数，易知当，为单调递增函数，且 ，则，解得：

故选：C

【点睛】

关键点点睛：本题关键是判断函数的单调性及奇偶性，发现

11．C

【分析】

是R上的增函数，则每个分支所对应的函数是增函数，分段点处的函数值需满足，列出不等式组即可得到答案.

【详解】

因为在上单调递增，所以

，解得

故选：C

【点睛】

关键点睛：在处理分段函数的单调性时，除了每个分支所对应的函数具有单调性外，还要注意分段点处的函数值的大小.

12．A

【分析】

当函数的值域为时，命题等价于函数的值域必须包含区间得解

【详解】

的值域为R

令，则

的值域必须包含区间

当时，则

当时，符合题意；

当时，不符合题意；

当时，，解得

，即实数的取值范围是

故选：A

【点睛】

转化命题的等价命题是解题关键.

13．

【分析】

先由指对互化求出，再利用对数的运算得出结果．

【详解】

由题意因为，所以根据指对数互化可得，，则，

故答案为：．

14．

【分析】

由题可知函数的周期为2，结合奇函数性质可得，代入解析式即可求解.

【详解】

，是周期为2的函数，

，，

是定义在上的奇函数，

.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和周期性求解，解题的关键是判断出函数的周期为2，利用周期性和奇函数的性质得出，再代入解析式求解.

15．

【分析】

由题意可知，函数在上单调递减，利用复合函数的单调性分析出外层函数的单调性，再由可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】

由题意可知，函数在上单调递减，

由于内层函数在区间上单调递减，

所以，外层函数单调递增，则，

且当时，恒成立，即，

，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：解本题的关键点：

（1）对底数进行分类讨论；

（2）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性；

（3）不要忽略了真数要恒大于零.

16．

【分析】

由解得结果即可得解.

【详解】

因为函数是上的单调函数，

所以，解得.

故答案为：.

【点睛】

解决分段函数的单调性时，需考虑函数在每一段区间上的单调性，还需考虑函数在各区间的端点处的函数值的大小关系.

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用对数与指数的转化由外到内可解出的值；

（2）利用指数的运算性质可得出，由此可解得的值.

【详解】

（1），，则，解得；

（2）由可得，，解得.

18．（1）是奇函数；证明见解析；（2）.

【分析】

（1）先求出函数的定义域，然后利用奇偶性的定义证明即可；

（2）由，得，即，再由对数函数的单调性可得，从而可求出的取值范围

【详解】

解：（1）是奇函数.

由，得定义域为

，都有

∴是奇函数     

（2）由，得

即

由函数的单调性得，

则.

19．（1）奇函数；证明见解析；（2）.

【分析】

（1）根据奇偶函数的定义判断；

（2）根据对数的运算及对数函数的单调性求解即可.

【详解】

（1）由题意，因为，

所以，解得－2<x<2，所以函数的定义域为，关于原点对称，

因为，

所以函数为上的奇函数；

（2）因为，

所以，解得－2<x<1，

所以不等式的解集为.

20．（1）；（2）.

【分析】

（1）由真数大于0可得定义域；

（2）由，可求真数在时最小值，进而可得解.

【详解】

（1）由已知，∴，

∴，∴定义域为.

（2）

∵，

当时，

且，∴，

∴，∴，∴.

21．（1）；（2）.

【分析】

（1）由条件可知，由此列出关于的方程，求解出的值；

（2）先计算出的解析式，采用分离常数的方法对进行变形，然后结合单调性和对数的真数大于零列出关于的不等式组，求解出的取值范围.

【详解】

（1）由奇函数的定义可知：，

即，

则：，

又当时，恒为0，矛盾，所以．     

（2）在上单调递减，

在上恒成立，且在上单调递减，

且，

解得：.

【点睛】

结论点睛：常见函数的单调性分析：

（1）一次函数：当时，在上递增，当时，在上递减；

（2）反比例类型的函数，当时，在和上递减；当时，在和上递增；

（3）二次函数：当时，在上递减，在上递增；当时，在上递增，在上递减.

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据已知和函数的奇偶性可得的解析式从而求得；

（2）当时，分别解每一段小于1的不等式，最后求两段的并集可得答案.

【详解】

（1）设，，，又∵为偶函数，，∴.

综上：.

（2）当时，可知：，，

原不等式等价于，解得，

同理可知：，，

原不等式等价于，解得，

综上：实数的取值范围为.

【点睛】

求分段函数的解析式，要根据函数的奇偶性、对称性、周期性等结合已知条件进行求解，要注意定义域.