2020年湖北省武汉市青山区中考数学二模试卷及答案

2020年湖北省武汉市青山区中考数学二模卷

一、选择题

1．（4分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始6min内既出水又进水，在随后的4min内只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则7min容器内的水量为（　　）

A．35L B．37.5L C．40L D．42.5L

2．（4分）对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18

3．（4分）如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（　　）

A． B．1 C． D．

4．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

当n＜0时，下列结论中一定正确的是　   　（填序号即可）．

①abc＜0；

②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；

③a＜﹣1；

④当n＝﹣时，关于x的不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为x＜﹣3或x＞1．

二、填空题

5．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为△ABC外一点，且∠D＝45°，过点A作AF∥BC交DC于点F，交BD于点E，若EF＝，AE＝2，则BC＝　   　．

三、解答题

6．（8分）在由边长为1的小正方形构成的6×6网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（5，3），C（1，5）．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：

（1）画出以AB为斜边的等腰Rt△ABD（D在AB下方）；

（2）连接CD交AB于点E，则∠ACE的度数为　   　°；

（3）在直线AB下方找一个格点F，连接CF，使∠ACF＝∠AEC，直接写出F点坐标为　   　；

（4）根据上述作图，直接写出tan∠AEC的值为　   　．

7．（8分）已知，⊙O过矩形ABCD的顶点D，且与AB相切于点E，⊙O分别交BC，CD于H，F，G三点．

（1）如图1，求证：BE﹣AE＝CG；

（2）如图2，连接DF，DE．若AE＝3，AD＝9，tan∠EDF＝，求FC的值．

8．（10分）某水果经销商以20元/千克的价格新进1000kg杨梅进行销售，因为杨梅不耐储存，在运输储存过程损耗率为．为了得到日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

（1）这批杨梅的实际成本为　   　元/千克，每千克定价为　   　元时，这批杨梅可获得5000元利润；

（2）①请你根据表中的数据直接写出y与x之间的函数表达式．

②该水果经销商应该如何确定这批杨梅的销售价格，才能使日销售利润w1最大？

（3）该水果经销商参与电商平台助农活动，开展网上直销，可以完全避免运输储存过程中的损耗成本，但每销售1千克杨梅需支出a元（a＞0）的相关费用，销售量与销售价格之间关系不变．当25≤x≤30，该水果经销商日获利w2的最大值为1200元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）

9．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠B＝n，CD⊥AB于点D．

（1）如图1，求证：＝n2；

（2）如图2，AF⊥CE于点G，交BC于点F，若n＝，＝，求的值；

（3）如图3，A为CM中点，MD交BC于点N，若MC＝3CN，则n＝　   　．

10．（12分）已知，直线l：y＝kx+2与y轴交于点M，且与抛物线C：y＝x2交于A，B两点（A在B的右边）．

（1）如图1，求S△AOB（用含k的式子表示）；

（2）如图2，当k＝时，过O点的另一条直线与直线y＝kx+2交于点Q（Q在线段AB上），与抛物线C交于点N．若sin∠OQM＝，求点N的坐标；

（3）如图3，作抛物线y＝x2的任意一条切线（不含x轴）与直线y＝2交于点N1，与直线y＝﹣2交于点N2．求MN22﹣MN12的值．

2020年湖北省武汉市青山区中考数学备考复习试卷（二）

参考答案与试题解析

一、选择题

1．（4分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始6min内既出水又进水，在随后的4min内只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则7min容器内的水量为（　　）

A．35L B．37.5L C．40L D．42.5L

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得当6≤x≤10时，y与x的函数关系式，然后将x＝7代入函数解析式，得到相应的y的值，即7min容器内的水量，本题得以解决．

【解答】解：当6≤x≤10时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，

∵点（6，50），（10，0）在此函数图象上，

∴，

解得，，

即当6≤x≤10时，y与x的函数关系式为y＝﹣12.5x+125，

当x＝7时，y＝﹣12.5×7+125＝37.5，

即7min容器内的水量为37.5L，

故选：B．

2．（4分）对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18

【分析】按照题目规则，分别调换数字，求出三个数字，求和后除以111，即可求解．

【解答】解：n＝468，对调百位与十位上的数字得到648，对调百位与个位上的数字得到864，对调十位与个位上的数字得到486，

这三个新三位数的和为648+864+486＝1998，

1998÷111＝18，

所以F（468）＝18．

故选：D．

3．（4分）如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（　　）

A． B．1 C． D．

【分析】如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．利用全等三角形的性质证明CJ＝BF，OJ＝OF，设BF＝CJ＝x，OJ＝OF＝y，构建方程组解决问题即可．

【解答】解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．

∵＝，

∴AC＝BC，OC⊥AB，

∵AB是直径，

∴ACB＝90°，

∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，

∵CF⊥AD，

∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，

∴∠CAJ＝∠BCF，

∴△CAJ≌△BCF（ASA），

∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，

∵OC＝OB，

∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，

∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，

∴△ACE≌△CBH（AAS），

∴EC＝BH＝1，

∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，

∴△CEJ∽△COF，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴EJ＝，

∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，

∴△BHF≌△CEJ（AAS），

∴FH＝EJ＝，

∵AE∥BH，

∴＝，

∴＝，

整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，

解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），

∴y＝2x，

∴＝，

解得x＝或﹣（舍弃）．

∴BF＝，

故选：A．

4．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

当n＜0时，下列结论中一定正确的是　②③④　（填序号即可）．

①abc＜0；

②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；

③a＜﹣1；

④当n＝﹣时，关于x的不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为x＜﹣3或x＞1．

【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．

【解答】解：①∵n＜0，由图表中数据可得出二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝﹣1.5，

∴a＜0，b＜0，

又∵x＝0时，y＝4，

∴c＝4＞0，

∴abc＞0，故①错误；

②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝﹣1.5，

∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确；

③∵c＝3，

∴二次函数y＝ax2+bx+4，

∵当x＝1时，y＝n＜0，

∴a+b+4＜0，

∵﹣＝﹣1.5，

∴b＝3a，

∴a+3a+4＜0，

解答a＜﹣1，故③正确；

④∵点（﹣3，4）和（1，﹣）是直线y＝﹣x上的点，且二次函数y＝ax2+bx+c经过这两个点，

∴抛物线与直线y＝﹣x的交点为（﹣3，4），（1，﹣），

∴关于x的不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为x＜﹣3或x＞1，故④正确．

故答案为②③④．

二、填空题

5．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为△ABC外一点，且∠D＝45°，过点A作AF∥BC交DC于点F，交BD于点E，若EF＝，AE＝2，则BC＝　5　．

【分析】如图，连接AD，过点F作FH⊥BC于H．过点E作EK⊥AD于K，EJ⊥DF于J．设AB＝BC＝x．首先证明AD：DF＝7：3，再证明∠DAF＝∠CFH，根据tan∠CFH＝tan∠DAF构建方程求解即可．

【解答】解：如图，连接AD，过点F作FH⊥BC于H．过点E作EK⊥AD于K，EJ⊥DF于J．设AB＝BC＝x．

∵BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，

∵∠BDC＝45°，

∴∠BAC＝∠BDC，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠ADB＝∠ACB＝45°，

∴∠ADE＝∠EDF，

∵EK⊥AD，EJ⊥DF，

∴EK＝EJ，

∵＝＝＝＝，

∵AF∥BC，FH⊥BC，

∴∠BAF＝∠ABC＝∠FHB＝90°，

∴四边形ABHF是矩形，

∴BH＝AF＝2+＝，AB＝FH＝x，CH＝x﹣，

∵∠FCH+∠HFC＝90°，∠DAF+∠BAF+∠FCH＝180°，

∴∠DAF＝∠CFH，

∴tan∠CFH＝tan∠DAF＝＝，

∴＝，

∴＝，

解得x＝5，

∴BC＝5，

故答案为5．

三、解答题

6．（8分）在由边长为1的小正方形构成的6×6网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（5，3），C（1，5）．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：

（1）画出以AB为斜边的等腰Rt△ABD（D在AB下方）；

（2）连接CD交AB于点E，则∠ACE的度数为　45　°；

（3）在直线AB下方找一个格点F，连接CF，使∠ACF＝∠AEC，直接写出F点坐标为　（6，0）　；

（4）根据上述作图，直接写出tan∠AEC的值为　3　．

【分析】（1）取格点M，N，连接AM，BN交于点D，点D即为所求．

（2）利用四点共圆的性质解决问题即可．

（3）取格点G，作直线CG可得点F．

（4）在Rt△ACF中，求出AF，AC即可解决问题．

【解答】解：（1）如图，△ABD即为所求．

（2）∠ACE＝45°．

理由：∵∠ACB+∠ADB＝180°，

∴A，C，B，D四点共圆，

∵DA＝DB，

∴＝，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°．

故答案为45°．

（3）点F即为所求．F（6，0）．

理由：在△ACE和△ACG中，

∵∠CAE＝∠CAG，∠ACE＝∠AGC＝45°，

∴∠AEC＝∠ACG，

即∠ACF＝∠AEC．

故答案为（6，0）．

（4）在Rt∠ACF中，tan∠ACF＝＝＝3，

∵∠ACF＝∠AEC，

∴tan∠AEC＝3．

故答案为3．

7．（8分）已知，⊙O过矩形ABCD的顶点D，且与AB相切于点E，⊙O分别交BC，CD于H，F，G三点．

（1）如图1，求证：BE﹣AE＝CG；

（2）如图2，连接DF，DE．若AE＝3，AD＝9，tan∠EDF＝，求FC的值．

【分析】（1）连接OE，延长EO与CD交于点M，证明四边形AEMD和四边形BEMC都是矩形，得AE＝DM，BE＝CM，由垂径定理得DM＝GM，再由线段和差便可得结论；

（2）连接EO，延长EO交⊙O于点N，交CD于点M，连接OD，EF，FN，过点N作NH⊥BC，与BC的延长线交于点H，设⊙O的半径为r，在Rt△OMD中，由勾股定理列出r的方程求得半径r，再在Rt△EFN中，由勾股定理求得EF与FN，再证明△BEF∽△HFN，由相似三角形的性质求得结果．

【解答】解：（1）连接OE，延长EO与CD交于点M，

∵⊙O与AB相切于点E，

∴OE⊥AB，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，

∴EM⊥CD，

∴∠EMD＝∠EMC＝90°，DM＝GM，

∴四边形AEMD和四边形BEMC都是矩形，

∴AE＝DM，BE＝CM，

∵CM﹣CG＝GM，

∴BE﹣AE＝CG；

（2）连接EO，延长EO交⊙O于点N，交CD于点M，连接OD，EF，FN，过点N作NH⊥BC，与BC的延长线交于点H，如图2，

由（1）知，四边形AEMD为矩形，

∴AE＝DM＝MG＝3，AD＝EM＝9，

设⊙O的半径为r，则OD＝r，OM＝9﹣r，

∵OD2﹣OM2＝DM2，

∴r2﹣（9﹣r）2＝32，

解得，r＝5，

∴BH＝EN＝2r＝10，

∴CH＝BH﹣BC＝BH﹣AD＝1，

∵EN为⊙O的直径，

∴∠EFN＝90°，

∵∠ENF＝∠EDF，tan∠EDF＝，

∴tan∠ENF＝，

设EF＝4x，则FN＝3x，

∵EF2+FN2＝EN2，

∴16x2+9x2＝100，

解得，x＝2，或x＝﹣2（舍），

∴EF＝8，FN＝6，

设CF＝y，BE＝HN＝z，则BF＝9﹣y，FH＝y+1，

∵∠EFN＝90°，∠B＝∠H＝90°，

∴∠BFE+∠HFN＝∠BFE+∠BEF＝90°，

∴∠BEF＝∠HFN，

∴△BEF∽△HFN，

∴，即，

解得，y＝，

即CF＝．

8．（10分）某水果经销商以20元/千克的价格新进1000kg杨梅进行销售，因为杨梅不耐储存，在运输储存过程损耗率为．为了得到日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

（1）这批杨梅的实际成本为　24　元/千克，每千克定价为　30　元时，这批杨梅可获得5000元利润；

（2）①请你根据表中的数据直接写出y与x之间的函数表达式．

②该水果经销商应该如何确定这批杨梅的销售价格，才能使日销售利润w1最大？

（3）该水果经销商参与电商平台助农活动，开展网上直销，可以完全避免运输储存过程中的损耗成本，但每销售1千克杨梅需支出a元（a＞0）的相关费用，销售量与销售价格之间关系不变．当25≤x≤30，该水果经销商日获利w2的最大值为1200元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）

【分析】（1）由题意得：成本价为20÷（1﹣）＝24（元），设当定价为x元/千克时获利为5000元，则1000×（1﹣）（x﹣24）＝5000，即可求解；

（2）①假设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（20，300）、（25，225）代入上式即可求解，最后把其它点代入验证即可；

②由题意得：w1＝y（x﹣24）＝（﹣15x+600）（x﹣24）＝﹣15（x﹣40）（x﹣24），求函数的最大值即可；

（3）由题意得：w2＝y（x﹣20﹣a），函数的对称轴为x＝30+a＞30，故当25≤x≤30时，在x＝30时，w2取得最大值为1200，进而求解．

【解答】解：（1）由题意得：成本价为20÷（1﹣）＝24（元），

设当定价为x元/千克时获利为5000元，则1000×（1﹣）（x﹣24）＝5000，

解得x＝30（元/千克），

故答案为24，30；

（2）①假设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，

将点（20，300）、（25，225）代入上式得，解得，

故函数的表达式为y＝﹣15x+600，

把其它点代入验证，表达式也成立，

故函数的表达式为y＝﹣15x+600；

②由题意得：w1＝y（x﹣24）＝（﹣15x+600）（x﹣24）＝﹣15（x﹣40）（x﹣24），

∵﹣15＜0，故函数w1有最大值，当x＝（40+24）＝32（元/千克）时，w1的最大值为960（元），

即销售价格为32元/千克时，日销售利润w1最大值为960元；

（3）由题意得：w2＝y（x﹣20﹣a）＝﹣15（x﹣40）（x﹣20﹣a），

函数的对称轴为x＝（40+20+a）＝30+a＞30，

故当25≤x≤30时，在x＝30时，w2取得最大值为1200，

即﹣15（30﹣40）（30﹣20﹣a）＝1200，

解得a＝2．

9．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠B＝n，CD⊥AB于点D．

（1）如图1，求证：＝n2；

（2）如图2，AF⊥CE于点G，交BC于点F，若n＝，＝，求的值；

（3）如图3，A为CM中点，MD交BC于点N，若MC＝3CN，则n＝　1或　．

【分析】（1）证明△ADC∽△CDB，推出＝，推出CD2＝AD•DB，因为tanB＝＝n，可得＝n2，由此可得结论．

（2）如图2中，过点E作EH⊥BC于H．设FH＝4x，设CF＝4k，BE＝5k，利用平行线分线段成比例定理国际关系在求出x与k的关系即可解决问题．

（3）如图3中，连接BM，过点M作MT⊥BA交BA的延长线于T．设CD＝x，AD＝y．证明△MAD∽△BAM，推出∠AMD＝∠ABM，推出tan∠AMD＝tan∠ABM＝＝，由此构建关系式，求出x与y的关系即可解决问题．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠ADC＝∠CDB＝90°，

∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，

∴∠ACD＝∠B，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝，

∴CD2＝AD•DB，

∵tanB＝＝n，

∴＝n2，

∴＝n2，

∴＝n2．

（2）解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H．设FH＝4x，

∵＝，

∴可以假设CF＝4k，BE＝5k，

∵tanB＝＝，

∴EH＝3k，BH＝4k，

∴BC＝CF+BH+FH＝8k+4x＝4（2k+x），

∵tanB＝＝，

∴AC＝3（2k+x），

∵CE⊥AF，

∴∠AGC＝90°，

∵∠GCF+∠GCA＝90°，∠GCA+∠CAG＝90°，

∴∠CAG＝∠GCF，

∴tan∠CAF＝tan∠ECH，

∴＝，

∴＝，

∴x＝k，

∴CH＝4k+k＝k，

∴tan∠ECH＝tan∠CAF＝＝，

由（1）可知，＝（tan∠CAF）2＝．

（3）如图3中，连接BM，过点M作MT⊥BA交BA的延长线于T．设CD＝x，AD＝y．

∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，

∴△ACD∽△ABC，

∴＝，

∴AC2＝AD•AB，

∵AC＝AM，

∴＝，

∵∠MAD＝∠MAB，

∴△MAD∽△BAM，

∴∠AMD＝∠ABM，

∴tan∠AMD＝tan∠ABM＝＝，

∵MT⊥TA，CD⊥AB，

∴∠T＝∠CDA＝90°，

∵∠MAT＝∠CAD，MA＝AC，

∴△MTA≌△CDA（AAS），

∴MT＝CD＝x，AT＝AD＝y，

∵tan∠MBT＝＝，

∴BT＝3x，DB＝3x﹣2y，

由△ADC∽△CDB，可得CD2＝AD•DB，

∴x2＝y（3x﹣2y），

∴x2﹣3xy+2y2＝0，

解得x＝y或x＝2y，

当x＝y时，∠ABC＝45°，n＝tan45°＝1，

当x＝2y时，n＝tan∠ABC＝＝＝＝，

综上所述，n的值为1或．

故答案为1或．

10．（12分）已知，直线l：y＝kx+2与y轴交于点M，且与抛物线C：y＝x2交于A，B两点（A在B的右边）．

（1）如图1，求S△AOB（用含k的式子表示）；

（2）如图2，当k＝时，过O点的另一条直线与直线y＝kx+2交于点Q（Q在线段AB上），与抛物线C交于点N．若sin∠OQM＝，求点N的坐标；

（3）如图3，作抛物线y＝x2的任意一条切线（不含x轴）与直线y＝2交于点N1，与直线y＝﹣2交于点N2．求MN22﹣MN12的值．

【分析】（1）由，消去y得到，x2﹣4kx﹣8＝0，可得xA+xB＝4k，xA•xB＝﹣8，推出|xA﹣xB|＝＝4•，再根据S△AOB＝•OM•|xA﹣xB|，求解即可．

（2）如图2中，过点O作OH⊥AB于H．设Q（m，m+2），构建方程组求出A，B两点坐标，解直角三角形求出OQ的长，再求出点Q的坐标，求出直线OQ的解析式，构建方程组确定交点N坐标即可．

（3）设切线的解析式为y＝ax+b（a≠0），代入y＝x2，得x2＝4（ax+b），即x2﹣4ax﹣4b＝0，由△＝0得（4a）2+16b＝0，化简整理得b＝﹣a2．故切线的解析式可写成y＝ax﹣a2．分别令y＝2、y＝﹣2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（﹣+a，﹣2），再利用 勾股定理，构建方程求解即可．

【解答】解：（1）∵直线y＝kx+2交y轴于M，

∴M（0，2），

由，消去y得到，x2﹣4kx﹣8＝0，

∴xA+xB＝4k，xA•xB＝﹣8，

∴|xA﹣xB|＝＝4•，

∴S△AOB＝•OM•|xA﹣xB|＝4•．

（2）如图2中，过点O作OH⊥AB于H．设Q（m，m+2），

由，解得或，

∴A（4，4），B（﹣2，1）．

∴AB＝＝3，

∵S△AOB＝•AB•OH＝4，

∴OH＝，

∵sin∠OQH＝＝，

∴OQ＝4，

∴m2+（m+2）2＝16，

解得m＝﹣4或，

∵点Q在线段AB上，

∴Q（，），

∴直线OQ的解析式为y＝x，

由，解得（即原点）或，

∴点N（，）．

（3）设切线的解析式为y＝ax+b（a≠0），代入y＝x2，得x2＝4（ax+b），即x2﹣4ax﹣4b＝0，

由△＝0得（4a）2+16b＝0，化简整理得b＝﹣a2．

故切线的解析式可写成y＝ax﹣a2．

分别令y＝2、y＝﹣2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（﹣+a，﹣2），

∴MN22﹣MN12＝（﹣a）2+42﹣（+a）2＝8．