精品解析：2020年湖北省武汉市江岸区中考数学二模试题（解析版+原卷版）

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2020年中考数学二模卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的选项涂黑．1. 2020的相反数是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用相反数的定义即可得出答案．【详解】解：2020的相反数是-2020．故选：D．【点睛】本题考查了相反数的定义．只有符号不同的两个数称互为相反数．2. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）A. 且 B.  C.  D. 【答案】C【解析】分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【详解】解：根据题意得：2x﹣4≥0，解得：x≥2．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数；掌握知识点是解题关键．3. 下列事件不属于随机事件的是（    ）A. 品学兼优的小涛在考试中取得满分 B. 太阳从西边升起C. 掷一枚骰子得到的点数为6 D. 小王在抽奖活动中获得一等奖【答案】B【解析】【分析】根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．【详解】A，C，D表述的事件可能发生，也可能不发生，属于随机事件；B表述的“太阳从西边升起”是不可能出现的，属于不可能事件，故选：B．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ）①菱形②等边三角形③圆④梯形⑤正方形A. ②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①③⑤ D. ②③⑤【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析即可．【详解】①菱形是中心对称图形；②等边三角形不是中心对称图形；③圆是中心对称图形；④梯形不是中心对称图形；⑤正方形是中心对称图形；因此是中心对称图形的有①③⑤，故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5. 如图所示的几何体的俯视图是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】解：此几何体的俯视图如图：故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．6. 在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用反比例函数的性质得出2k-8＜0，进而得出k的取值范围．【详解】∵在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，∴2k-8＜0，∴k＜4，∴k的取值范围为：k＜4，故选：D．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．7. 小鲲在上学的路上有三个红绿灯，在畅通无阻的时候需要步行8分钟，闪红灯和绿灯的时间各占一半（不闪黄灯），遇到红灯的时候需要停顿1分钟，小明在10分钟内（包括10分钟）到达学校的概率为（    ）A.  B.  C. 0 D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，若小明在10分钟内（包括10分钟）到达学校，则遇到的红灯的个数最多2个，画出树状图，即可求出概率．【详解】解：若小明在10分钟内（包括10分钟）到达学校，则遇到的红灯的个数最多2个，树状图如下：总共有8种情况，满足条件的共7种，所以小明在10分钟内（包括10分钟）到达学校的概率为，故选：D．【点睛】本题考查了列举法求某事件的概率问题，解题的关键是得出遇到的红灯的个数最多2个，并画出树状图．8. 将军和将军要在甲地秘密集合，他们从不同地方出发相向而行．由于甲地地处密林而路况复杂，因此有一联络员在两人间不停地骑车往返来通风报信．在某一次遇见时，刚好抵达了甲地，联络员就骑车去接．已知到甲地的距离相同，且在一开始（时）是从将军处向将军处骑去．此过程中的行进距离（单位：）随时间（单位：）的函数图像如图所示．若点对应到达，且到达的时间恰为计划时间，则迟到了（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意结合函数图象分析可知200s时B将军已经到了甲地，此时A将军在前往甲地的路上，C在接A将军的路上，并在225s时接上了A将军，据此根据题意进一步分析求出C去接A将军来回所耗的时间即可得出答案.【详解】由题意得：200s时B将军已经到了甲地，此时A将军在前往甲地的路上，C在接A将军的路上，并在225s时接上了A将军，∴C从离开B将军去接到A将军花的时间为25s，则C接到A将军回到B将军处的时间也为25s，∴A将军迟到了50s，故选：C.【点睛】本题主要考查了函数图象的应用，根据题意正确得出相应的行程路线是解题关键.9. 如图，为⊙的内接四边形，且平分，与⊙相切．若，则（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据“三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例”得出，由此可知，紧接着通过证明得出，最后进一步分析求解即可.【详解】∵平分，∴，∴，如图，连接半径OC、OD，∵DE是圆的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC=90°−∠CDE，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=90°−∠CDE，∴∠O=180°−2∠OCD=2∠CDE，∵∠EBD=∠O，∴∠EBD=∠CDE在与中，∵∠E=∠E，∠EDC=∠EBD，∴，∴，∴，故选：C.【点睛】本题主要考查了角平分线定理及性质和相似三角形性质与判定及圆周角性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.10. 【问题背景】“整体替换法”是数学里的一种常用计算方法．利用式子的特征进行整体代换，往往能解决许多看似复杂的问题．【迁移运用】计算的值解：设原式，则可分析得：根据上述方程解得：，而原式，故：原式【联系拓展】___________A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据题目呈现的“整体替换法”，令，，作差即可求解．【详解】解：设，，则，故选：B．【点睛】本题为新定义类型问题的考查，解题的关键是读懂题目中“整体替换法”的概念，应用到解题当中．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 计算：___________．【答案】【解析】【分析】可利用30°特殊直角三角形三边关系并结合余弦三角函数定义求解本题．【详解】30°直角三角形三边比例关系为，．故本题答案为．【点睛】本题考查余弦三角函数，熟练记忆其定义即可，对于特殊角度的三角形函数值，可背诵下来提升解题速度．12. 某质量检测实验室统一采购了一批芯片共16件，收集尺寸如下表：尺寸/195205220225275315数量/件221335 这组数据的中位数是_________．【答案】250【解析】【分析】表格中的数据已经是按照顺序排列的，找出最中间的两个数对应的尺寸，求其平均数即可．【详解】芯片一共16件，第8件的尺寸为225，第9件对应的尺寸为275，故中位数为：，故答案为：250．【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．13. 计算：_________．【答案】【解析】【分析】先通分，再根据同分母的分式加减法则计算．【详解】解：原式=．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的加减运算，属于基础题型，熟练掌握分式的加减运算法则是解题关键．14. 在四边形中，且，，，，则___________．【答案】【解析】【分析】先根据已知利用勾股定理的逆定理得出∠DAB=90º，再解直角三角形得到∠BAC=30º，即可解答．【详解】在ΔABD中，∵，，，∴，∴ΔABD是直角三角形，且∠DAB=90º，∵且，，∴sin∠BAC=，∴∠BAC=30º∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=90º+30º=120º，故答案为：120º．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、解直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及解直角三角形方法是解答的关键．15. 如图，拋物线过，且与轴的交点分别为（在左侧）．观察图像，选出下列选项中的正确项___________．①；②；③；④若，则；⑤若抛物线满足且经过，则与轴必有两个不相同的交点．【答案】②④【解析】【分析】因为点在函数上，故将点代入函数可得到关于a,b,c具体关系式，根据图像上所给信息，可判断x=-2时，函数值正负以判定①正误，并结合a,b,c关系式判断②正误，根据对称轴与1的大小判断③正误，利用求根公式估算AB大小，借助不等式判定④正误，最后将点代入并结合根的判别式判断⑤正误．【详解】∵过，代入有，而根据图象，时，，不取等号故①错误．时，且，结合，有，故②正确．观察图像可知：，因为函数开口方向向下，故有，整理有，故③错误．观察图象可知：，根据求根公式可求得AB距离，得，（，直接两边乘并平方）得：．因为，故，有，故④正确．对于，我们可知，故，，时有，此时也满足题意，故可以与轴仅有一交点，故⑤错误．故答案为：②④．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，此类型题目主要在于根据图象所给信息，选取特殊的点进行判断，并需要结合点在函数上求解系数关系式，根据根的判别式判断与横轴的交点个数．16. 如图，在四边形中，，交于，使得且．若在线段上取一点，满足：平分且，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】由，设，由外角定义和角平分线证得，进而证得∠BCG=90º，由可设DG=1，利用勾股定理和相关结论分别求出CG、AG、GD，即可解答．详解】由，设则，∵平分，BD⊥AC，∴而，故，，，∵，∴∠DCG+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90º，∴∠BCG=90º，不妨令，则，，∴BC=，过点C作CM⊥AB于点M，交BD于点N，∵∠ABC=45º,∴CM=BM=BC﹒cos45º=，∠BCM=45º，∴∠ACM=∠BCG-∠BCM-∠ACG=,∵∠ACM=∠ABD，CM=BM，∠AMC=∠BMN，∴ΔACM≌ΔNBM，∴AM=MN，BN=AC，设AM=MN=x，DN=y，则AC=BN=9-y，AD=AC-CD=6-y，易证ΔCDN∽ΔCMA，∴在ΔCDN中，CN=CM-MN=，CD=3，NC=y，由勾股定理得：，解得:y=，y=6(舍去)，∴AD=6-y=，中，且中，故，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线性质、解直角三角形等知识，是一道有难度的综合填空题，解答的关键是认真审题，分析相关条件与所求的联系，确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．三、解答题（共8小题，共72分）．17. 计算：．【答案】【解析】【分析】根据同底数幂的乘法运算法则以及提公因式法和平方差公式对原式加以计算即可.【详解】原式.【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则及公式是解题关键.18. 如图，矩形在四边形中，且满足．
 求证：四边形为平行四边形．【答案】证明见解析【解析】【分析】由ABCD为矩形,可得AD⊥CE,CB ⊥AF，令AD和BC分别为△AED和△CFB的高线,根据题目，可得出BF=DE，又ABCD为矩形，所以AB=CD，AB∥CD，所以得到AF=EC且AF∥EC，得出AECF为平行四边形.【详解】证明：∵为矩形∴，，AB=CD,AF//CE，又∵，则而∴∴，∴又∵∴为平行四边形【点睛】本题考查了矩形的性质和平行四边形的判定，根据矩形的性质判断出有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,进而得出结论.19. 在武汉人民的共同努力下，疫情防控态势稳步向好，学生们分批回到了向往已久的校园．为了有序地分类开展体育活动，体育老师在全年级针对大家的兴趣爱好进行了抽样调查，并以收集的结果绘制出了以下两幅不完整的规范统计图．其中代表跑步，代表俯卧撑，代表蹦跳，代表跳绳，代表其他类别．根据以上信息，回答下列问题：（1）此次共有__________人接受调查；最受欢迎的运动是_____________．（2）若图中的圆半径为2，则扇形统计图中组所对应的弧长为___________．（3）若该校共有1200名学生，请估计该校喜欢蹦跳的学生共有多少．【答案】（1）60；跳绳；（2）；（3）240人【解析】【分析】（1）用条形统计图中C类人数除以扇形统计图中C类所占百分比即可求出接受调查的总人数，扇形统计图中占比最多的类别即为最受欢迎的运动；（2）用求出的条形统计图中E组的人数除以调查人数再乘以360°即得答案；（3）用扇形统计图中C类人数所占百分比×1200即得结果．【详解】解：（1）12÷20%=60人，所以此次共有60人接受调查，因为跳绳的人数占调查人数的50%，占比最多，所以最受欢迎的运动是跳绳；故答案为：60，跳绳；（2）D组的人数=60×50%=30人，E组的人数=人，，所以扇形统计图中组所对应的弧长=；故答案为：；（3）20%×1200=240人，答：估计该校喜欢蹦跳的学生共有240人．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、弧长公式和利用样本估计总体等知识，属于常考题型，熟练掌握上述相关知识是解题的关键．20. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，仅用无刻度直尺，在给定网格中画图，完成下列问题．（1）过点作直线直线；（2）作线段中点；（3）作点关于直线的对称点；（4）根据以上提示，点、、分别为边、、上的动点，当的周长最小时，作出点、、，并直接写出的周长为____________．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析，；（4）作图见解析，【解析】【分析】（1）利用两直角边对应成比例的直角三角形相似得对应角相等即可作出垂线；（2）利用格点构造全等的直角三角形即可找到中点； （3）只需作出CB´=CB交直线l于点B´，则交点B´为所求作对称点；（4）由图知，ΔABC是等腰三角形，故作出,作出，则ΔPMN周长最小，进而求出周长．【详解】（1）如图，直线即为所求作的垂线；（2）如图，点R即为所求作的中点；（3）如图，点B´即为所求作的对称点；（4）由图知，ΔABC等腰三角形，故作出,作出，顺次连接P、M、N，此时ΔPMN周长最小，则点M、N、P即为所求作的点．由图知，AP=4，PC=BP=3，∴AC=AB=5，PN=PC=3，由得：6×4=5BN，解得：BN=，∴AN=，同理，AM=，由等腰三角形的对称性知PM=PN=3，MN⊥AP，∴MN∥BC，∴，即，解得：MN=，此时ΔPMN的周长=PM+PN+MN=3+3+=，故答案为：【点睛】本题考查了在方格中作图，解答的关键是理解题目意思，熟悉基本几何作图的性质和基本作图方法.21. 如图，⊙过的顶点、，交于，连接、、，．（1）证明：为⊙的切线；（2）平分交于，且分别交、⊙于、．已知，，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出即可证明；（2）作于，连，由，得，，进而，，，由得，即可求得．【详解】（1）证明：设，则又∵，∴,∴,∴,∴为的切线；（2）解：作于，连，∵，即又∵平分∴，即∴，即∵，AB=5，∴设，则且，则∴且∴，则，∴，∵在中，，∴，∵在与中，且，∴，∴，∴，∴，∴ ∴的值为．【点睛】本题考查圆的综合，熟练掌握圆的切线判定定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的计算是解决问题的关键．22. 某品牌恤现在已经火遍全武汉．有一家商店正在火热售卖该恤，每日销售量（件）与销售单价（元/件）之间存在一次函数关系，如下表所示．已知该恤的成本为30元/件．销售单价（元/件）405060销售量（件）220200180（1）直接写出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）当销售单价为________元时，每日销售利润最大．此时最大利润为__________．（直接写出答案）（3）该品牌总经理为了给武汉各店送福利，将该恤的成本降低了元（）．同时，应市场要求，每日销售量不得超过100件，此时每日最大销售利润为7600元．求的值．【答案】（1）；（2）90；7200；（3）6【解析】【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）设销售单价（元/件）时，每日的销售利润为w元，根据每日销售利润=每件的利润×销售量即可得出w关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质即可求出结果；（3）先由每日销售量不得超过100件求出x取值范围，然后根据每日销售利润=每件的利润×销售量列出w关于x的二次函数（含m），然后根据二次函数的性质即可得到w的最大值，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．【详解】解：（1）设与的函数关系式为，根据题意，得：，解得：，∴与的函数关系式为；（2）设销售单价（元/件）时，每日的销售利润为w元，根据题意，得，∴当x=90元时，w最大=7200元；故答案为：90，7200；（3）由题意可列出不等式组：，解得：，∴，∴该二次函数的图象开口向下且对称轴为直线：，∵，∴，又∵，∴当时，W最大，又∵W最大，∴，解得：．∴的值为6．【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、列出函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23. 平行四边形中，为线段上一动点．（1）如图1，已知．若，求证：四边形为平行四边形；（2）如图2，已知．若为的角平分线，为线段上一点，的延长线交线段于点，满足：且．请认真思考（1）中图形，探究的值．（3）如图3，平行四边形中，，，在线段上，在线段上，满足：．直接写出的最小值为________．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】(1)过点D作DE⊥BA的延长线于E，过点B作BF⊥DC的延长线于F，通过条件可证明，得出DE=BF，再求证，得ER=FN，从而得出BR=DN，再判断平行四边形即可．(2)作DR∥BN交AB于R，连接RM，可得RBND是平行四边形，BR=DN，再根据角度转换得到，，设BM=a，代入三角函数中计算即可．(3)作出菱形的对称图形，将三部分结合在一个三角形内，由此判断最小值．【详解】(1)过点D作DE⊥AB,过点B作BF⊥CD，根据平行四边形的性质可得，∴，又∵DR=BN，∴，∴DE=BF，∴，∵BFDE是矩形,BE=DF，∴ER=FN，∴BR=DN，又BR∥DN∴四边形DRBN为平行四边形．（2）解：作交于，连，∵、，∴∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∵，∴，，∴，，∴，中，∴，∴．（3）【点睛】本题考查平行四边形的动点综合问题，关键掌握平行四边形的性质与判定，充分理解题意，再结合题目条件上作出合理的辅助线．24. 如图1，抛物线交轴于．
 （1）直接写出抛物线的解析式______________．（2）如图1，轴上两动点满足：．若（在左侧）为线段上的两个动点，且满足：点和点关于直线对称．过作轴交于，过作轴交于，连接．求的最大值（用含的代数式表示）．（3）如图2，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线．对称轴左侧的抛物线上有一点，其横坐标为．以为直径作，记⊙的最高点为．若在直线上，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）将带入抛物线解析式，求得b的值，即可得到抛物线的解析式；（2）设，则，求并进行化简，由且得，则当时，取，带入，即可求得；（3）依题意将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线，求得解析式，根据解析式特点设，得到，由圆的特性易求得，⊙的最高点点坐标为：，设，则，化简得到，由点在上，得，继而得到，解得或．详解】解：（1）将带入抛物线，得b=1，则，（2）设，则，∴，∵且，∴时，，即，∴，（3）根据题意，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线，∴，∴，∴，∴由圆的特性易求得，⊙的最高点点坐标为：，设，则，∴，化简上式得：，∵点在上，则，∴为上述方程的一个解，∴分析可知，，∴，解得：，（经检验，是方程的解），故或．【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．