2021-2022学年上学期初中数学北师大新版七年级期末必刷常考题之一元一次方程

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A．4x﹣3＝3x+2变形得：4x﹣3x＝2+3
B．3x＝2变形得：
C．2（3x﹣2）＝3（x+1）变形得：6x﹣4＝3x+3
D．变形得：4x﹣1＝3x+18
2．（2020秋•宁波期末）已知x＝1是关于x的一元一次方程2x﹣a＝0的解，则a的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
3．（2020秋•瑞安市期末）已知等式3x＝2y+4，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3x﹣4＝2yB．3x+1＝2y+5C．3mx＝2my+4D．x＝
4．（2020秋•鄞州区期末）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x个人，则可列方程是（ ）
A．3（x+2）＝2x﹣9B．3（x+2）＝2x+9
C．+2＝D．﹣2＝
5．（2020秋•海曙区期末）为了双十一促销，宁波天一广场某品牌服装按原价第一次降价25%，第二次降价120元，此时该服装的利润率是15%．已知这种服装的进价为800元，那么这种服装的原价是多少？设这种服装的原价为x元，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•宁波期末）已知关于x的方程（a+3）x﹣4＝x﹣4a的解为x＝﹣2，则a＝ ．
7．（2021春•市中区期末）若2x3k﹣5＝3是关于x的一元一次方程，则k＝ ．
8．（2020秋•南宁期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相间，每题必答，下表记录了其中3名参赛者的得分情况，若参赛者D得88分，则他答对 题．
9．（2021春•烟台期末）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为 千米/小时．
10．（2021春•莱山区期末）七年级学生去某处旅游，如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出1辆汽车．则七年级共有 名学生．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•瑞安市期末）解方程：
（1）4x﹣3＝12﹣x；
（2）+1＝．
12．（2020秋•海曙区期末）解方程：
（1）2（x﹣1）＝2﹣5（x+2）；
（2）．
13．（2020秋•云南期末）在预防新型冠状病毒期间，电子体温枪成为最重要的抗疫资源之一．某品牌电子体温枪由甲、乙两部件各一个组成，加工厂每天能生产甲部件600个，或者生产乙部件400个，现要在30天内生产最多的该种电子体温枪，则甲、乙两种部件各应生产多少天？
14．（2020秋•江北区期末）小北同学在校运动会400米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒．请问：
（1）小北同学冲刺的时间有多长？
（2）如果他想把成绩提高1秒（即减少1秒钟），他需要提前几秒开始最后冲刺？
15．（2020秋•宁波期末）小商品批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种小商品700件．
（1）现有两种购买方案：①分两次购买，第一次购买240件，第二次购买460件；②一次性购买700件．问哪种购买方案费用较省？省多少元？说明理由．
（2）若该客户分两次购买该商品共700件（第二次多于第一次），共付费1860元，则第一次、第二次分别购买该商品多少件？
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版七年级期末必刷常考题之一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2020秋•海曙区期末）下列方程变形不正确的是（ ）
A．4x﹣3＝3x+2变形得：4x﹣3x＝2+3
B．3x＝2变形得：
C．2（3x﹣2）＝3（x+1）变形得：6x﹣4＝3x+3
D．变形得：4x﹣1＝3x+18
【考点】等式的性质；解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】各项方程变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、4x﹣3＝3x+2变形得：4x﹣3x＝2+3，不符合题意；
B、3x＝2变形得：x＝，不符合题意；
C、2（3x﹣2）＝3（x+1）变形得：6x﹣4＝3x+3，不符合题意；
D、x﹣1＝x+3变形得：4x﹣6＝3x+18，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解．
2．（2020秋•宁波期末）已知x＝1是关于x的一元一次方程2x﹣a＝0的解，则a的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】把x＝1代入方程2x﹣a＝0得出2﹣a＝0，再求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝1代入方程2x﹣a＝0得：2﹣a＝0，
解得：a＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键，注意：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫方程的解．
3．（2020秋•瑞安市期末）已知等式3x＝2y+4，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3x﹣4＝2yB．3x+1＝2y+5C．3mx＝2my+4D．x＝
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵3x＝2y+4，
∴3x﹣4＝2y，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、∵3x＝2y+4，
∴3x+1＝2y+5，原变形正确，故本选项不符合题意；
C、∵3x＝2y+4，
∴等式两边都乘以m得：3mx＝2my+4m，原变形错误，故本选项符合题意；
D、∵3x＝2y+4，
∴x＝y+，原变形正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质的内容是解此题的关键．等式的性质：1、等式两边加同一个数（或整式）结果仍得等式；2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数（或整式），结果仍得等式是解题关键．
4．（2020秋•鄞州区期末）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x个人，则可列方程是（ ）
A．3（x+2）＝2x﹣9B．3（x+2）＝2x+9
C．+2＝D．﹣2＝
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】根据“每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：+2＝．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2020秋•海曙区期末）为了双十一促销，宁波天一广场某品牌服装按原价第一次降价25%，第二次降价120元，此时该服装的利润率是15%．已知这种服装的进价为800元，那么这种服装的原价是多少？设这种服装的原价为x元，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设这种服装的原价为x元，根据“宁波天一广场某品牌服装按原价第一次降价25%，第二次降价120元，此时该服装的利润率是15%”，列方程即可得到答案．
【解答】解：设这种服装的原价为x元，
根据题意得，，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确的列出方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•宁波期末）已知关于x的方程（a+3）x﹣4＝x﹣4a的解为x＝﹣2，则a＝ 4 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】把x＝﹣2代入方程（a+3）x﹣4＝x﹣4a得出﹣2（a+3）﹣4＝﹣2﹣4a，再求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程（a+3）x﹣4＝x﹣4a得：﹣2（a+3）﹣4＝﹣2﹣4a，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键，注意：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫方程的解．
7．（2021春•市中区期末）若2x3k﹣5＝3是关于x的一元一次方程，则k＝ 2 ．
【考点】一元一次方程的定义．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据一元一次方程的定义得到x的指数为1，列出方程，解方程即可．
【解答】解：依题意得：3k﹣5＝1，
解得k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
8．（2020秋•南宁期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相间，每题必答，下表记录了其中3名参赛者的得分情况，若参赛者D得88分，则他答对 18 题．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】其他问题；应用意识．
【分析】设参赛者D答对了y道题，则他答错了（20﹣y）道题，根据答对题目的得分+答错题目的得分＝88分建立方程求出其解即可．
【解答】解：由参赛者B可得：答对1题得100÷20＝5（分），
设答错一题扣x分，
根据参赛者A的得分列得：19×5﹣x＝94，
解得：x＝1，
即答对一道题得5分，答错一道题扣1分；
设参赛者D答对y道题，
根据题意得：5y﹣1×（20﹣y）＝88，
解得：y＝18，
则他答对18道题．
故答案为：18．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
9．（2021春•烟台期末）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为 12 千米/小时．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设该轮船在静水中的速度为x千米/小时，利用顺流的速度﹣轮船在静水中的速度＝轮船在静水中的速度﹣逆流的速度，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出该轮船在静水中的速度．
【解答】解：设该轮船在静水中的速度为x千米/小时，
依题意得：﹣x＝x﹣，
解得：x＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（2021春•莱山区期末）七年级学生去某处旅游，如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出1辆汽车．则七年级共有 240 名学生．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设一共有汽车x辆，根据两种不同的坐法学生人数不变建立方程求出其解，进一步求得七年级共有多少名学生．
【解答】解：设一共有汽车x辆，由题意，得
45x+15＝60（x﹣1），
解得：x＝5，
则45x+15＝225+15＝240．
故答案为：240．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据学生人数不变建立方程是关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•瑞安市期末）解方程：
（1）4x﹣3＝12﹣x；
（2）+1＝．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）移项得：4x+x＝12+3，
合并得：5x＝15，
解得：x＝3；
（2）去分母得：3（1﹣x）+12＝4（2x+1），
去括号得：3﹣3x+12＝8x+4，
移项得：﹣3x﹣8x＝4﹣3﹣12，
合并得：﹣11x＝﹣11，
解得：x＝1．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解．
12．（2020秋•海曙区期末）解方程：
（1）2（x﹣1）＝2﹣5（x+2）；
（2）．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得：2x﹣2＝2﹣5x﹣10，
移项得：2x+5x＝2﹣10+2，
合并得：7x＝﹣6，
解得：x＝﹣；
（2）去分母得：2（5x+1）﹣（7x+2）＝4，
去括号得：10x+2﹣7x﹣2＝4，
移项得：10x﹣7x＝4﹣2+2，
合并得：3x＝4，
解得：x＝．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解．
13．（2020秋•云南期末）在预防新型冠状病毒期间，电子体温枪成为最重要的抗疫资源之一．某品牌电子体温枪由甲、乙两部件各一个组成，加工厂每天能生产甲部件600个，或者生产乙部件400个，现要在30天内生产最多的该种电子体温枪，则甲、乙两种部件各应生产多少天？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据品牌电子体温枪由甲、乙两部件各一个组成和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：设甲种部件生产x天，则乙种部件生产（30﹣x）天，
由题意可得600x＝400（30﹣x），
解得x＝12，
∴30﹣x＝18，
答：甲、乙两种部件各应生产12天、18天．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
14．（2020秋•江北区期末）小北同学在校运动会400米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒．请问：
（1）小北同学冲刺的时间有多长？
（2）如果他想把成绩提高1秒（即减少1秒钟），他需要提前几秒开始最后冲刺？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）设设小北同学冲刺的时间为x秒，则以6米/秒的速度跑的时间为（65﹣x）秒，然后根据路程＝速度×时间即可列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据路程＝速度×时间，可以列出相应的方程，注意此时的总的时间为64秒．
【解答】解：（1）设小北同学冲刺的时间为x秒，则以6米/秒的速度跑的时间为（65﹣x）秒，
由题意可得，6（65﹣x）+8x＝400，
解得x＝5，
答：小北同学冲刺的时间有5秒；
（2）设他最后冲刺冲刺的时间为a秒，
由题意可得，6（64﹣a）+8a＝400，
解得a＝8，
8﹣5＝3（秒），
答：他需要提前3秒开始最后冲刺．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
15．（2020秋•宁波期末）小商品批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种小商品700件．
（1）现有两种购买方案：①分两次购买，第一次购买240件，第二次购买460件；②一次性购买700件．问哪种购买方案费用较省？省多少元？说明理由．
（2）若该客户分两次购买该商品共700件（第二次多于第一次），共付费1860元，则第一次、第二次分别购买该商品多少件？
【考点】有理数的混合运算；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，分别求出选择方案①②所需费用，比较做差后可得出购买方案②费用较省，省470元；
（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品（700﹣x）件，分0＜x＜200，200≤x≤300及300＜x＜350三种情况考虑，利用总价＝单价×数量，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）购买方案②费用较省，理由如下：
购买方案①所需费用为3×240+2.5×460＝720+1150＝1870（元），
购买方案②所需费用为2×700＝1400（元）．
∵1870＞1400，1870﹣1400＝470（元），
∴购买方案②费用较省，省470元．
（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品（700﹣x）件．
①当0＜x＜200时，3x+2（700﹣x）＝1860，
解得：x＝460（不合题意，舍去）；
②200≤x≤300时，3x+2.5（700﹣x）＝1860，
解得：x＝220，
∴700﹣x＝700﹣220＝480．
③当300＜x＜350时，2.5x+2.5（700﹣x）＝1750≠1860，该情况不存在．
答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键：（1）利用总价＝单价×数量，分别求出选择方案①②所需费用；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
3．一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
4．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
5．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
6．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
7．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
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日期：2021/12/9 14:41:01；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867参赛者
答对题目
答错题目
得分
A
19
1
94
B
20
0
100
C
10
10
40
参赛者
答对题目
答错题目
得分
A
19
1
94
B
20
0
100
C
10
10
40