资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩5页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
【假期知识回顾】专题02 三角形-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)
展开
这是一份【假期知识回顾】专题02 三角形-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)，文件包含假期知识回顾专题02三角形-2021-2022学年上学期八年级数学人教版原卷版docx、假期知识回顾专题02三角形-2021-2022学年上学期八年级数学人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
【考点链接】
考点一、 三角形的三边关系
例1、（2021·四川宜宾·中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．
【详解】
根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．
考点二、 三角形的高、中线、角平分线
例2、（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________．
【答案】
【分析】
由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，
∴BF⊥AC，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，
∴，
∴，
∴CE：AD：BF=，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．
考点三、 与平行线有关的三角形内角和问题
例3、（2021·江苏常州·中考真题）如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________．
【答案】100
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出，即可．
【详解】
解：∵，
∴∠A=180°-40°-60°=80°，
∵，
∴180°-80°=100°．
故答案是100．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
考点四、 三角形内角和定理的应用
例4、（2021·四川雅安·中考真题）如图，为正六边形，为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=______．
【答案】
【分析】
分别计算正六边形和正方形的每个内角的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出答案．
【详解】
解：∵ABDEF是正六边形，
∴
∵ABGH是正方形，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与正多边形每个内角的计算等知识点，熟知多边形的内角和的计算公式是解题的关键．
考点五、 直角三角形两锐角互余
例5、（2021·辽宁大连·中考真题）如图，，，垂足为E，若，则的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．90°
【答案】B
【分析】
由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
考点六、 三角形外角的定义及性质
例6、（2021·吉林长春·中考真题）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为_______度．
【答案】
【分析】
根据两直线平行，得同位角相等，根据三角形外角性质求得，利用平角为即可求解．
【详解】
设交于点G
故答案为．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，平角的概念，解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系．
【达标检测】
一、单选题
1．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间线段最短；B．长方形的四个角都是直角；
C．两点确定一条直线；D．三角形具有稳定性；
【答案】D
【分析】
根据三角形的稳定性（三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点）即可得．
【详解】
解：这样做的根据是三角形具有稳定性，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，掌握理解定义是解题关键．
2．已知一个三角形的两条边长分别为4和7，则第三条边的长度不能是（ ）
A．11B．9C．8D．7
【答案】A
【分析】
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．
【详解】
解：设第三边长为x，由三角形三边关系定理得：7-4＜x＜7+4，即3＜x＜11，
故第三条边的长度不能是11．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．
3．如图， BD是△ABC的中线，AB=6，BC=4，△ABD和△BCD的周长差为（ ）
A．2B．4C．6D．10
【答案】A
【分析】
根据题意可得，，△ABD和△BCD的周长差为线段的差，即可求解．
【详解】
解：根据题意可得，
△ABD的周长为，△BCD的周长为
△ABD和△BCD的周长差为
故选：A
【点睛】
本题考查了三角形中线的性质及三角形周长的计算，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．
4．如果三角形的三个内角的度数比为2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等边三角形
【答案】A
【分析】
根据三角形内角和可直接进行排除选项．
【详解】
解：∵三角形的三个内角的度数比为2：3：4，且三角形的内角和为180°，
∴这个三角形的三个内角分别为：，，；
∴这个三角形是锐角三角形；
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
5．一个正多边形的外角与相邻的内角的度数之比为1：3，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．6D．5
【答案】A
【分析】
设每个内角与它相邻的外角的度数分别为3x、x，根据邻补角的定义得到x＋3x＝180°，解出x＝45°，然后根据多边形的外角和为360°即可计算出多边形的边数．
【详解】
解：设每个内角与它相邻的外角的度数分别为3x、x，
∴x＋3x＝180°，
∴x＝45°，
故这个多边形的边数＝＝8．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的外角定理：多边形的外角和为360°．也考查了邻补角的定义．
6．如图，F是△ABC的角平分线CD和BE的交点，CG⊥AB于点G．若∠ACG＝32°，则∠BFC的度数是（ ）
A．119°B．122°C．148°D．150°
【答案】A
【分析】
根据垂直的定义求出∠A，再根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD，∠ABE=∠CBE，再利用三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】
解：∵CG⊥AB，∠ACG=32°，
∴∠A=90°-32°=58°，
∵CD和BE分别平分∠ACB和∠ABC，
∴∠ACD=∠BCD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BFC=180°-（∠CBE+∠BCD）
=180°-（∠ACB+∠ABC）
=180°-（180°-∠A）
=119°，
故选A．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和定理结合整体思想表示出∠BFC．
7．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是（ ）
A．99°B．99°或49.5°C．99°或54°D．99°或49.5°或54°
【答案】C
【分析】
根据题意设三角形的三个内角分别是m、n、α且α=2m，由题意得α=99°或m=99°或n=99°，分这三种情况讨论即可．
【详解】
解：设三角形的三个内角分别是m、n、α且α=2m，
当α=99°，则m=49.5°,n=31.5°,
当m=99°，则α=2m=198°（舍去）,
当n=99°，则m+α=180°-n=81°,
∴3m=81°,
∴m=27°,
∴α=2m=54°．
综上：倍角α的度数为99°或54°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理即三角形内角和是180°是解决本题的关键，注意分类讨论方法的运用．
8．具备下列条件是△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．∠A：∠B：∠C＝1：3：4D．∠A＝2∠B＝3∠C
【答案】D
【分析】
分别求出各个选项中，三角形的最大的内角，即可判断．
【详解】
解：A、由，可以推出，本选项不符合题意．
B、由，可以推出，本选项不符合题意．
C、由，可以推出，本选项不符合题意，
D、由，推出，是钝角三角形，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键．
二、填空题
9．将一副三角板按如图所示的方式叠放，∠1=30°，∠2=45°，则∠3=_______°．
【答案】
【分析】
根据平行线的判定与性质可得，，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】
解：根据平行线的判定与性质可得，
由三角形外角的性质可得：
故答案为
【点睛】
此题考查了三角形外角的性质，涉及了平行线的判定与性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
10．已知三角形两边长分别是2和4，第三边长是奇数，则第三边长为 ___．
【答案】3
【分析】
首先根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是奇数求解即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得第三边大于4-2=2，而小于4+2=6．
当第三边是奇数时，则第三边是3或5；
故答案为：3或5．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和．
11．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S阴影＝16cm2，则S△ABC等于_____cm2
【答案】64
【分析】
由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△CFB＝S△EFB＝16cm2，于是得到S△CEB＝32cm2，再求出S△BDE＝16cm2，利用E点为AD的中点得到S△ABD＝2S△BDE＝32cm2，然后利用S△ABC＝2S△ABD求解．
【详解】
解：∵F点为CE的中点，
∴S△CFB＝S△EFB＝16cm2，
∴S△CEB＝32cm2，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE＝S△BCE＝16cm2，
∵E点为AD的中点，
∴S△ABD＝2S△BDE＝32cm2，
∴S△ABC＝2S△ABD＝64cm2．
故答案为：64．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键．
12．在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为_______°．
【答案】或或10
【分析】
根据三角形内角和求得的度数，再根据为直角三角形，分情况讨论求解即可．
【详解】
解：在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，∴
为直角三角形，
∴当时，如下图：
，，
当时，如下图：
，
故答案为：或
【点睛】
此题考查了三角形内角和的性质，掌握三角形内角和为是解题的关键．
13．如图，△ABC中，∠A＝60°将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′DB＝50°，那么∠A′ED的度数为______．
【答案】55°度
【分析】
首先求得∠ADA′，根据折叠的性质可得∠A′DE=∠ADE=∠ADA′，在△A′DE中利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵∠ADA′=180°-∠A′DB=180°-50°=130°，
∴根据折叠的性质得：∠A′DE=∠ADE=∠ADA′=65°，∠DA′E=∠A=60°，
∴∠A′ED=180°-∠A′DE-∠DA′E=180°-65°-60°=55°．
故答案为：55°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，找出图形中相等的角是关键．
14．一个多边形的内角和是它的外角和的两倍，则这个多边形的边数为 ___．
【答案】6
【分析】
根据内角和等于外角和的2倍则内角和是720°利用多边形内角和公式得到关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】
解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝360×2，
解得：n＝6．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
15．在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为是__________．
【答案】60°
【分析】
根据∠A＝65°，∠B＝75°，求出∠C＝40°，可得∠CDE+∠CED＝140°，再由折叠得出翻折后的∠C′DE+∠C′ED＝140°，再根据平角定义求解即可．
【详解】
解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，
∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，
由折叠可知∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
∴∠2+2∠CDE＝180°，∠1+2∠CED＝180°，
∴∠2+2∠CDE+∠1+2∠CED＝360°，
∠2＝360°﹣∠1-2（∠CED+∠CDE）＝360°﹣20°-280°＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和与折叠问题．解题关键是熟记三角形内角和定理，利用折叠建立角之间的关系．
16．如图，在中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足，，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点若的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．
【答案】
【分析】
连接AO，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．
【详解】
如图，连接AO，
∵CD=3AD，
∴AD：CD=1：3，
∴，，，
∵，
∴，，
∵AF∥BC，
∴，
∴，
∴，，
∵AE=2BE，
∴BE：AE=1：2，
∴，，
∴，，
∴，
即，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴S四边形AEOD．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的边与面积之间的关系，平行线之间距离处处相等，能正确把边之间的关系转化为面积之间的关系是解题的关键．
三、解答题
17．如图，已知，
求作：（1）边上的高；（2）边上的高．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）过点B向作垂线即可；
（2）过点A向BC的延长线作垂线即可．
【详解】
解：（1）如图，垂线BD即为边上的高；
（2）如图，垂线AE即为边上的高．
【点睛】
此题考查作三角形的高线，过三角形的一个顶点向对边作垂线，从顶点到垂足之间的线段即为该边的高线，掌握三角形高线的定义是解题的关键．
18．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：
（1）AD的长；
（2）△BCE的面积．
【答案】（1）；（2）48．
【分析】
（1）利用面积法得到AD•BC＝AB•AC，然后把AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm代入可求出AD的长；
（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以S△BCE＝S△ABC．
【详解】
解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴AD•BC＝AB•AC，
∴AD＝＝（cm）；
（2）∵CE是AB边上的中线，
∴S△BCE＝S△ABC＝××12×16＝48（cm2）．
【点睛】
本题考查三角形中线的性质，涉及等积法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
19．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F．求证：DA平分∠EDF．
【答案】见解析
【分析】
根据角平分线的定义可得∠DAE=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠DAF，∠ADF=∠DAE，从而得解．
【详解】
解：∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠DAF，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠DAE，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠ADE=∠ADF．
DA平分∠EDF．
【点睛】
本题综合考查了平行线和角平分线的性质，注意等量代换的应用．
20．（1）如图所示，直角三角板和直尺如图放置．若，试求出的度数．
（2）已知ABC的三边长a、b、c，化简．
【答案】（1）40°；（2）2b-2c
【分析】
（1）过F作FH∥AB，则AB∥FH∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）先根据三角形三边关系判断出a+b-c与b-a-c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．
【详解】
（1）过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，FH∥AB，
∴AB∥CD∥FH，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠EFG=∠3+∠4=∠1+∠2，
∵∠G=90°，∠E=30°，
∴∠EFG=90°-∠E=90°-30°=60°，
即∠1+∠2=60°，
∵∠1=20°，
∴∠2=60°-∠1=60°-20°=40°；
（2）∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b-a＜c，
∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，
∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-（-b+a+c）=a+b-c+b-a-c=2b-2c．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，用到的知识点是平行线的性质定理、三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a+b-c与b-a-c的符号．
21．按要求完成下面问题：
（1）能够把三角形分成两个面积相等的小三角形的是__________；
①三角形的中线 ②三角形的高 ③三角形的角平分线
（2）请用尺规作图的办法把△ABC分成面积相等的两块．（保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）
【答案】（1）①；（2）作图见解析
【分析】
（1）根据三角形中线的性质判断即可；
（2）作出BC的垂直平分线，确定出BC的中点D，连接AD即可；
【详解】
（1）能够把三角形分成两个面积相等的小三角形的是三角形的中线；
故答案是① ；
（2）作图如下：
【点睛】
本题主要考查了中线的性质和线段垂直平分线的作图，准确分析判断是解题的关键．
22．△ABC与△A1B1C1在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A、B、C；
（2）△ABC是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的?
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，求△A1B1C1内部的对应点P1的坐标；
（4）求△ABC的面积．
【答案】（1）（1，3 ），（2，0 ），（3，1）；（2）△ABC是由△A1B1C1向右平移4个单位，向上平移2个单位得到的 ；（3）点P1的坐标为（x-4，y-2）；（4） ．
【分析】
（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据对应点A、A′的变化写出平移方法即可；
（3）根据平移规律写出点P1的坐标；
（4）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解．
【详解】
解：（1）A（1，3）； B（2，0）；C（3，1）；
（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；
或：先向上平移2个单位，再向右平移4个单位；
（3）点P（x，y）是△ABC内部一点，向左平移4个单位，横坐标减4得x=4,再向下平移2个单位，纵坐标减2得y-2，则P1（x-4，y-2）；
（4）根据割补法，补成长方形ADEF，
∴S△ABC =S长方形ADEF-S△ADB-S△BEC-S△AFC=2×3-×1×3-×1×1-×2×2，
=6-1.5-0.5-2，
=2．
【点睛】
本题考查了利用平移变换作图，图形与坐标，三角形面积，熟练掌握网格结构，根据对应点的坐标确定出平移的方法是解题的关键．
23．在中，，，于D．
（1）如图①，已知于E，求证：
（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证：
（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析，．
【分析】
(1)分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证；
(2)连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证；
(3)作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可得解．
【详解】
解：（1）证明：
（2）如图②，连接PB，
，
（3）如图③，即为图像，
连接PB，作交BC的延长线于E点，
，
【点睛】
本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以（2）（3）两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握．
【考点链接】
考点一、 三角形的三边关系
例1、（2021·四川宜宾·中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．
【详解】
根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．
考点二、 三角形的高、中线、角平分线
例2、（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________．
【答案】
【分析】
由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，
∴BF⊥AC，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，
∴，
∴，
∴CE：AD：BF=，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．
考点三、 与平行线有关的三角形内角和问题
例3、（2021·江苏常州·中考真题）如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________．
【答案】100
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出，即可．
【详解】
解：∵，
∴∠A=180°-40°-60°=80°，
∵，
∴180°-80°=100°．
故答案是100．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
考点四、 三角形内角和定理的应用
例4、（2021·四川雅安·中考真题）如图，为正六边形，为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=______．
【答案】
【分析】
分别计算正六边形和正方形的每个内角的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出答案．
【详解】
解：∵ABDEF是正六边形，
∴
∵ABGH是正方形，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与正多边形每个内角的计算等知识点，熟知多边形的内角和的计算公式是解题的关键．
考点五、 直角三角形两锐角互余
例5、（2021·辽宁大连·中考真题）如图，，，垂足为E，若，则的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．90°
【答案】B
【分析】
由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
考点六、 三角形外角的定义及性质
例6、（2021·吉林长春·中考真题）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为_______度．
【答案】
【分析】
根据两直线平行，得同位角相等，根据三角形外角性质求得，利用平角为即可求解．
【详解】
设交于点G
故答案为．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，平角的概念，解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系．
【达标检测】
一、单选题
1．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间线段最短；B．长方形的四个角都是直角；
C．两点确定一条直线；D．三角形具有稳定性；
【答案】D
【分析】
根据三角形的稳定性（三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点）即可得．
【详解】
解：这样做的根据是三角形具有稳定性，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，掌握理解定义是解题关键．
2．已知一个三角形的两条边长分别为4和7，则第三条边的长度不能是（ ）
A．11B．9C．8D．7
【答案】A
【分析】
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．
【详解】
解：设第三边长为x，由三角形三边关系定理得：7-4＜x＜7+4，即3＜x＜11，
故第三条边的长度不能是11．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．
3．如图， BD是△ABC的中线，AB=6，BC=4，△ABD和△BCD的周长差为（ ）
A．2B．4C．6D．10
【答案】A
【分析】
根据题意可得，，△ABD和△BCD的周长差为线段的差，即可求解．
【详解】
解：根据题意可得，
△ABD的周长为，△BCD的周长为
△ABD和△BCD的周长差为
故选：A
【点睛】
本题考查了三角形中线的性质及三角形周长的计算，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．
4．如果三角形的三个内角的度数比为2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等边三角形
【答案】A
【分析】
根据三角形内角和可直接进行排除选项．
【详解】
解：∵三角形的三个内角的度数比为2：3：4，且三角形的内角和为180°，
∴这个三角形的三个内角分别为：，，；
∴这个三角形是锐角三角形；
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
5．一个正多边形的外角与相邻的内角的度数之比为1：3，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．6D．5
【答案】A
【分析】
设每个内角与它相邻的外角的度数分别为3x、x，根据邻补角的定义得到x＋3x＝180°，解出x＝45°，然后根据多边形的外角和为360°即可计算出多边形的边数．
【详解】
解：设每个内角与它相邻的外角的度数分别为3x、x，
∴x＋3x＝180°，
∴x＝45°，
故这个多边形的边数＝＝8．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的外角定理：多边形的外角和为360°．也考查了邻补角的定义．
6．如图，F是△ABC的角平分线CD和BE的交点，CG⊥AB于点G．若∠ACG＝32°，则∠BFC的度数是（ ）
A．119°B．122°C．148°D．150°
【答案】A
【分析】
根据垂直的定义求出∠A，再根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD，∠ABE=∠CBE，再利用三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】
解：∵CG⊥AB，∠ACG=32°，
∴∠A=90°-32°=58°，
∵CD和BE分别平分∠ACB和∠ABC，
∴∠ACD=∠BCD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BFC=180°-（∠CBE+∠BCD）
=180°-（∠ACB+∠ABC）
=180°-（180°-∠A）
=119°，
故选A．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和定理结合整体思想表示出∠BFC．
7．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是（ ）
A．99°B．99°或49.5°C．99°或54°D．99°或49.5°或54°
【答案】C
【分析】
根据题意设三角形的三个内角分别是m、n、α且α=2m，由题意得α=99°或m=99°或n=99°，分这三种情况讨论即可．
【详解】
解：设三角形的三个内角分别是m、n、α且α=2m，
当α=99°，则m=49.5°,n=31.5°,
当m=99°，则α=2m=198°（舍去）,
当n=99°，则m+α=180°-n=81°,
∴3m=81°,
∴m=27°,
∴α=2m=54°．
综上：倍角α的度数为99°或54°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理即三角形内角和是180°是解决本题的关键，注意分类讨论方法的运用．
8．具备下列条件是△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．∠A：∠B：∠C＝1：3：4D．∠A＝2∠B＝3∠C
【答案】D
【分析】
分别求出各个选项中，三角形的最大的内角，即可判断．
【详解】
解：A、由，可以推出，本选项不符合题意．
B、由，可以推出，本选项不符合题意．
C、由，可以推出，本选项不符合题意，
D、由，推出，是钝角三角形，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键．
二、填空题
9．将一副三角板按如图所示的方式叠放，∠1=30°，∠2=45°，则∠3=_______°．
【答案】
【分析】
根据平行线的判定与性质可得，，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】
解：根据平行线的判定与性质可得，
由三角形外角的性质可得：
故答案为
【点睛】
此题考查了三角形外角的性质，涉及了平行线的判定与性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
10．已知三角形两边长分别是2和4，第三边长是奇数，则第三边长为 ___．
【答案】3
【分析】
首先根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是奇数求解即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得第三边大于4-2=2，而小于4+2=6．
当第三边是奇数时，则第三边是3或5；
故答案为：3或5．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和．
11．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S阴影＝16cm2，则S△ABC等于_____cm2
【答案】64
【分析】
由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△CFB＝S△EFB＝16cm2，于是得到S△CEB＝32cm2，再求出S△BDE＝16cm2，利用E点为AD的中点得到S△ABD＝2S△BDE＝32cm2，然后利用S△ABC＝2S△ABD求解．
【详解】
解：∵F点为CE的中点，
∴S△CFB＝S△EFB＝16cm2，
∴S△CEB＝32cm2，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE＝S△BCE＝16cm2，
∵E点为AD的中点，
∴S△ABD＝2S△BDE＝32cm2，
∴S△ABC＝2S△ABD＝64cm2．
故答案为：64．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键．
12．在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为_______°．
【答案】或或10
【分析】
根据三角形内角和求得的度数，再根据为直角三角形，分情况讨论求解即可．
【详解】
解：在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，∴
为直角三角形，
∴当时，如下图：
，，
当时，如下图：
，
故答案为：或
【点睛】
此题考查了三角形内角和的性质，掌握三角形内角和为是解题的关键．
13．如图，△ABC中，∠A＝60°将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′DB＝50°，那么∠A′ED的度数为______．
【答案】55°度
【分析】
首先求得∠ADA′，根据折叠的性质可得∠A′DE=∠ADE=∠ADA′，在△A′DE中利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵∠ADA′=180°-∠A′DB=180°-50°=130°，
∴根据折叠的性质得：∠A′DE=∠ADE=∠ADA′=65°，∠DA′E=∠A=60°，
∴∠A′ED=180°-∠A′DE-∠DA′E=180°-65°-60°=55°．
故答案为：55°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，找出图形中相等的角是关键．
14．一个多边形的内角和是它的外角和的两倍，则这个多边形的边数为 ___．
【答案】6
【分析】
根据内角和等于外角和的2倍则内角和是720°利用多边形内角和公式得到关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】
解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝360×2，
解得：n＝6．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
15．在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为是__________．
【答案】60°
【分析】
根据∠A＝65°，∠B＝75°，求出∠C＝40°，可得∠CDE+∠CED＝140°，再由折叠得出翻折后的∠C′DE+∠C′ED＝140°，再根据平角定义求解即可．
【详解】
解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，
∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，
由折叠可知∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
∴∠2+2∠CDE＝180°，∠1+2∠CED＝180°，
∴∠2+2∠CDE+∠1+2∠CED＝360°，
∠2＝360°﹣∠1-2（∠CED+∠CDE）＝360°﹣20°-280°＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和与折叠问题．解题关键是熟记三角形内角和定理，利用折叠建立角之间的关系．
16．如图，在中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足，，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点若的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．
【答案】
【分析】
连接AO，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．
【详解】
如图，连接AO，
∵CD=3AD，
∴AD：CD=1：3，
∴，，，
∵，
∴，，
∵AF∥BC，
∴，
∴，
∴，，
∵AE=2BE，
∴BE：AE=1：2，
∴，，
∴，，
∴，
即，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴S四边形AEOD．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的边与面积之间的关系，平行线之间距离处处相等，能正确把边之间的关系转化为面积之间的关系是解题的关键．
三、解答题
17．如图，已知，
求作：（1）边上的高；（2）边上的高．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）过点B向作垂线即可；
（2）过点A向BC的延长线作垂线即可．
【详解】
解：（1）如图，垂线BD即为边上的高；
（2）如图，垂线AE即为边上的高．
【点睛】
此题考查作三角形的高线，过三角形的一个顶点向对边作垂线，从顶点到垂足之间的线段即为该边的高线，掌握三角形高线的定义是解题的关键．
18．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：
（1）AD的长；
（2）△BCE的面积．
【答案】（1）；（2）48．
【分析】
（1）利用面积法得到AD•BC＝AB•AC，然后把AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm代入可求出AD的长；
（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以S△BCE＝S△ABC．
【详解】
解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴AD•BC＝AB•AC，
∴AD＝＝（cm）；
（2）∵CE是AB边上的中线，
∴S△BCE＝S△ABC＝××12×16＝48（cm2）．
【点睛】
本题考查三角形中线的性质，涉及等积法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
19．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F．求证：DA平分∠EDF．
【答案】见解析
【分析】
根据角平分线的定义可得∠DAE=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠DAF，∠ADF=∠DAE，从而得解．
【详解】
解：∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠DAF，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠DAE，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠ADE=∠ADF．
DA平分∠EDF．
【点睛】
本题综合考查了平行线和角平分线的性质，注意等量代换的应用．
20．（1）如图所示，直角三角板和直尺如图放置．若，试求出的度数．
（2）已知ABC的三边长a、b、c，化简．
【答案】（1）40°；（2）2b-2c
【分析】
（1）过F作FH∥AB，则AB∥FH∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）先根据三角形三边关系判断出a+b-c与b-a-c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．
【详解】
（1）过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，FH∥AB，
∴AB∥CD∥FH，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠EFG=∠3+∠4=∠1+∠2，
∵∠G=90°，∠E=30°，
∴∠EFG=90°-∠E=90°-30°=60°，
即∠1+∠2=60°，
∵∠1=20°，
∴∠2=60°-∠1=60°-20°=40°；
（2）∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b-a＜c，
∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，
∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-（-b+a+c）=a+b-c+b-a-c=2b-2c．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，用到的知识点是平行线的性质定理、三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a+b-c与b-a-c的符号．
21．按要求完成下面问题：
（1）能够把三角形分成两个面积相等的小三角形的是__________；
①三角形的中线 ②三角形的高 ③三角形的角平分线
（2）请用尺规作图的办法把△ABC分成面积相等的两块．（保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）
【答案】（1）①；（2）作图见解析
【分析】
（1）根据三角形中线的性质判断即可；
（2）作出BC的垂直平分线，确定出BC的中点D，连接AD即可；
【详解】
（1）能够把三角形分成两个面积相等的小三角形的是三角形的中线；
故答案是① ；
（2）作图如下：
【点睛】
本题主要考查了中线的性质和线段垂直平分线的作图，准确分析判断是解题的关键．
22．△ABC与△A1B1C1在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A、B、C；
（2）△ABC是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的?
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，求△A1B1C1内部的对应点P1的坐标；
（4）求△ABC的面积．
【答案】（1）（1，3 ），（2，0 ），（3，1）；（2）△ABC是由△A1B1C1向右平移4个单位，向上平移2个单位得到的 ；（3）点P1的坐标为（x-4，y-2）；（4） ．
【分析】
（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据对应点A、A′的变化写出平移方法即可；
（3）根据平移规律写出点P1的坐标；
（4）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解．
【详解】
解：（1）A（1，3）； B（2，0）；C（3，1）；
（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；
或：先向上平移2个单位，再向右平移4个单位；
（3）点P（x，y）是△ABC内部一点，向左平移4个单位，横坐标减4得x=4,再向下平移2个单位，纵坐标减2得y-2，则P1（x-4，y-2）；
（4）根据割补法，补成长方形ADEF，
∴S△ABC =S长方形ADEF-S△ADB-S△BEC-S△AFC=2×3-×1×3-×1×1-×2×2，
=6-1.5-0.5-2，
=2．
【点睛】
本题考查了利用平移变换作图，图形与坐标，三角形面积，熟练掌握网格结构，根据对应点的坐标确定出平移的方法是解题的关键．
23．在中，，，于D．
（1）如图①，已知于E，求证：
（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证：
（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析，．
【分析】
(1)分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证；
(2)连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证；
(3)作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可得解．
【详解】
解：（1）证明：
（2）如图②，连接PB，
，
（3）如图③，即为图像，
连接PB，作交BC的延长线于E点，
，
【点睛】
本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以（2）（3）两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握．
相关试卷
2022-2023学年人教版数学八年级上册考点大串讲 专题02 全等三角形 【知识梳理+解题方法+专题过关】： 这是一份2022-2023学年人教版数学八年级上册考点大串讲 专题02 全等三角形 【知识梳理+解题方法+专题过关】，文件包含专题02全等三角形突破核心考点知识梳理+解题方法+专题过关解析版docx、专题02全等三角形突破核心考点知识梳理+解题方法+专题过关原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
【假期专项练习】旋转问题训练-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)： 这是一份【假期专项练习】旋转问题训练-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)，文件包含假期专项练习旋转问题训练-2021-2022学年上学期八年级数学人教版原卷版docx、假期专项练习旋转问题训练-2021-2022学年上学期八年级数学人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
【假期知识回顾】专题10 分式-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)： 这是一份【假期知识回顾】专题10 分式-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)，文件包含假期知识回顾专题10分式-2021-2022学年上学期八年级数学人教版原卷版docx、假期知识回顾专题10分式-2021-2022学年上学期八年级数学人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
