【假期专项练习】运动类问题训练-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)

2021-2022学年八上期末金牌运动动类问题训练

（时间：60分钟  总分：100）      班级  姓名 得分

一、解答题

1.  在中，射线平分交于点，点在边上运动不与点重合，过点作交于点．
    

如图，点在线段上运动时，平分

若，，则___________；

若，则_________；

试探究与之间的数量关系？请说明理由；

点在线段上运动时，的角平分线所在直线与射线交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由

【答案】 

【解析】解：若，，
则，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
若，则，
平分，平分，
，，
，
；
故答案为：；；
；理由如下：
由得：，，，
，
；
如图所示：；理由如下：
由得：，，，
，

．
若，，由三角形内角和定理求出，由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，，由三角形的外角性质得出，再由三角形的外角性质即可得出结果；
若，则，由角平分线定义得出，，由三角形的外角性质即可得出结果；
由得：，，，由三角形的外角性质得出，再由三角形的外角性质即可得出结论；
由得：，，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．
 

2. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为坐标系中的一个动点．
   
    

请直接写出直线的表达式；

求出的面积；

当与面积相等时，求实数的值．

【答案】解：设直线所在的表达式为：，则
解得：
故直线的表达式为：；
在中，
由勾股定理得：
为等腰直角三角形，
；
连接，，，则：
若点在第一象限时，如图：

，，，
，
即，
解得；
若点在第四象限时，如图：

，，，
，
即，
解得；
综上所述，当与面积相等时，实数的值为或．

【解析】【试题解析】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
将点、的坐标代入一次函数表达式：，即可求解；
证明为等腰直角三角形，则；
分点在第一象限、点在第四象限两种情况，分别求解即可．
 

3.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接交轴于点．
    

求点的坐标；

动点从点出发以每秒个单位的速度沿方向运动，同时动点从点出发也以每秒个单位的速度沿轴正半轴方向运动当点运动到点时，两点都停止运动设从出发起运动了秒．                 

请用含的代数式分别表示，两点的坐标；

当时，轴上是否存在一点，使得的面积与的面积相等？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】解：作轴，

，，
，，
，
，为等腰直角三角形，
，
；
，；
存在．设的坐标为，
当时，，，
，
情况一：在的上方 

情况二：在的下方 

则点的坐标为：或．

【解析】本题考查的是坐标与图形特征、三角形的面积，根据点的坐标确定线段的长度、掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．
作轴，根据点的坐标求出、、，根据等腰直角三角形的性质解答即可；
根据题意、结合图形解答；
分在的上方和在的下方两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
 

4.  如图，直线与直线垂直相交于，点在直线上运动，点在直线上运动，、分别是和的角平分线．
    

求的大小；
如图，若是的外角的角平分线，与相交于点，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；

如图，过作直线与交于，且满足，求证：．

【答案】、分别是和角的平分线，

，，

，

，                  

，

，

，

；

是角的平分线，

，

 ， 

 又，

，                

点、在运动的过程中，不发生变化，其值为；

，

又已知：，

，

，

【解析】本题主要考查角平分线定义、三角形内角和定理以及平行线的判定等．

利用平分线定义得到，，再用三角形内角和定理得到，代入数值计算即可；

利用平分线定义得以及、三角形内角和定理得出点、在运动的过程中，不发生变化，其值为；

用三角形内角和定理得出，联系，得出，最后用平行线判定得出结论．

5. 如图，平面直角坐标系中，，，轴，点从原点出发在轴上以单位秒的速度向轴的正方向运动，运动的时间为秒。，平分。提示：中，。若，则，反之亦然
   当时，          

当的面积为时，求点运动的时间，

当时，求的度数用含的式子表示，且不含绝对值。

【答案】
  
      ，如图，取则，过作的平行线与轴的交点即为所求点，       
 当时，
 当时，或   
当时，
当时，
当时， 
 

【解析】此题考查了平面直角坐标系的知识，还有全等三角形的判定，还考查了动点问题，难度较难。解题时需要根据平面直角坐标系的知识画出对应的图形，根据题意一步一步求解。
 

6. 如图，长方形的顶点，在轴上，，点从原点出发，
   沿的路径，以每秒个单位的速度移动．
   写出长方形个顶点的坐标．
   经过，指出点的坐标．
   经过多长时间，的面积为平方单位．
   经过多长时间，的面积最大．
    

【答案】解：由题意：，，，；

经过运动的路程为，，
点在线段上，；

，的面积为平方单位．
点到的距离为，
或，
经过或时间，的面积为平方单位．

当点在线段上时，的面积最大，
当与重合时，需要经过；当与重合时，，
当时，的面积最大．

【解析】本题考查坐标与图形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据、、、的位置，以及已知条件写出坐标即可；
求出经过的路程，判断点的位置即可解决问题；
求出的边上的高，即可解决问题；
当点在线段上时，的面积最大，求出这个时间段即可；
 

7. 如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交直线于点．
    

若，，求的度数；

当点在线段上运动时，猜想与、的数量关系，写出结论并证明．

【答案】解：，，
，
平分，
，
，
；
．
设，，平分，

，
，
，，
，
，
，
，
，
．

【解析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义的运用．
中，首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数；
中，根据第小题的思路即可推导这些角之间的关系．
 

8. 如图，，分别为线段上的两个动点，且于点，于点，，，交于点．
    

求证：，．

当，两点移动到如图所示的位置时，其他条件不变，中的结论是否仍然成立？若成立，则给出证明；若不成立，则说明理由．

【答案】解：连接，．
于，于，
，，
在和中，
，
≌，
．
四边形是平行四边形．
，；
成立，证明如下：
连接，．
于，于，
，，
在和中，
，
≌，
．
四边形是平行四边形．
，．

【解析】本题考查直角三角形全等的判定和性质，垂线的性质，平行四边形的判定和性质，难度不大．掌握直角三角形全等的判定条件时解题的关键．
通过证明≌，结合垂线的性质得出四边形是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论；
证明≌，得出四边形是平行四边形．由平行四边形的性质即可得出结论．
 

9. 如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点运动，同时点从点出发以的速度向点运动，运动的时间为，解决以下问题：
    

当为何值时，为等边三角形；
当为何值时，为直角三角形．

【答案】解：根据题意可得，，，
，，
，
，为等边三角形，
，
，
，
当为时，为等边三角形；
当为直角时，，
，
，
；
当为直角时，，
，
，
．
当为或时，为直角三角形．

【解析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质及直角三角形的判定，熟练掌握度角的直角三角形的边角关系是解题的关键．
根据等边三角形的性质列出方程求出的值；
分两种情况讨论：当为直角时，当为直角时，分别利用度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出的值．
 

10. 如图，在等边中，在边上任取一点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，求证：
    
    
    
    在上面的条件下，点在边上任意运动，延长交于，请画出图形问与之间是否存在确定关系？若存在，请指明这个关系，并证明你的结论，若不存在，请说明理由．

【答案】证明：在等边中，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在与中，
，，，
≌，
；
解：，
是等边三角形，
，，
，
，
同理，，
为等边三角形，
，
在与中，
，，，
≌，
，
在上取点，使，

在与中，
，，，
≌，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
．

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，推出是等边三角形，得到，证得≌，根据全等三角形的性质即可得到结论；
根据等边三角形的性质得到，，由平行线的性质得到，同理，，推出为等边三角形，于是得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，在上截取点，使，证得≌，由全等三角形的性质得到，，推出为等边三角形，等量代换即可得到结论．
 

11. 如图，在等边中，线段为边上的中线．动点在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结．
    
     

求的度数；

若点在线段上时，求证：≌；

当动在直线上时，设直线与直线的交点为，试判断是否为定值？并说明理由．

【答案】是等边三角形，
，
线段为边上的中线，
，
；
与都是等边三角形，
，，，
，
．

在和中，

≌；

是定值，理由如下：

当点在线段上时，如图，由可知≌，则，

又，
，
是等边三角形，线段为边上的中线，
平分，即，
；
当点在线段的延长线上时，如图，

与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，

≌，
．

由得：，
；
当点在线段的延长线上时，

与都是等边三角形，
，，，
，
．
在和中，

≌，
，
由得：，
，
，，
．
综上所述：当动点在直线上时，是定值，．

【解析】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
根据等边三角形的性质就可以得出，，，由等式的性质就可以，根据就可以得出≌；
分情况讨论：当点在线段上时，如图，由可知≌，就可以求出结论；当点在线段的延长线上时，如图，可以得出≌而有而得出结论；当点在线段的延长线上时，如图，通过得出≌同样可以得出结论．
 

12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点为轴上点右侧的动点，以为腰作等腰，使，，直线交轴于点．
     

求证：；

求证：≌；

当点运动时，点在轴上的位置是否发生变化，为什么？

【答案】解：如图
 

证明：作于点，
，，
，，
在与中，
，
≌，
；
证明：，
，
即，
在与中，
，
≌；
点在轴上的位置不发生改变．
理由：由知，≌，
，
，
 
固定不变，
不变，
，
长度不变，
点在轴上的位置不发生改变．

【解析】【试题解析】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．

作于点，由定理得出≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；
先根据，得出，再由定理即可得出≌；
由知，≌，由全等三角形的性质可得出，固定不变，故不变，因为可知的长度不变，故可得出结论．

13. 如图，在等边三角形中，点，，分别为，，边的中点，为边上的动点，以为一边在的右侧作等边三角形．
    
    连接，，请说明和均为等边三角形；
    请你判断与的数量关系，并说明理由；
    请你判断点是否在直线上？说明理由．

【答案】解：点，，分别为，，边的中点，
，，，
等边，
，，
，，
是等边，是等边；
．
理由：等边，
，，
等边；
，，
，
，
，
等边，
，，
，
，
在与中，

≌，
；
点在直线上．
理由：当点在上时，连接，如图，

是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
点，，分别为，，边的中点，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
≌，
，
，
，
，

点在上
当点在上时，连接、，如图，

同理可证，
，
，
点在上，
综上所述，点在直线上．

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．
利用等边三角形性质证，，又因，即可得出结论；
利用证≌，即可得出结论；
分两种情况：当点在上时，连接，证即可得出点在直线上；当点在上时，连接、，同理证，得出结论点在直线上．
 

14.  如图，在中，，，点从出发以每秒个单位的速度在线段上从过点向点运动，点同时从出发以每秒个单位的速度在线段上从点运动，连接、，设、两点运动时间为秒
     

运动____秒时，；

运动多少秒时，≌能成立，并说明理由；

若≌，，则____用含的式子表示．

【答案】解：；
当≌成立时，，
，
解得，此时，
运动秒时，≌能成立；
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键．
依据，可得，，再根据当，时，，可得的值；
当≌成立时，，根据，可得的值；
依据，，，即可得到，再根据，，即可得出．
【解答】
解：由题可得，，

，，
当，时，，
解得，
故答案为：；
见答案；
当≌时，，
又，，
，
又，，

故答案为  

15. 已知，其中，，点、分别在、上且，线段、相交于点．
    
    
    与相等吗？请说明理由．
    求的度数．

当点，运动到，的延长线上时，的度数是否发生改变？请说明理由．

【答案】解：
相等；
在和中，

≌，
；
≌，
，

，
 
结论改变，

，，
，
在和中，，
≌，
，，，
．

【解析】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
根据，，可证明≌，从而证得结论；
根据，可知．
根据．