1.6函数y=Asin(wx+φ)的性质和图像-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】（北师大2019版第二册）

1.6函数y=Asin（wx+φ）的性质和图像【课时分层练】

2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】

一、单选题

1．将函数图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到函数的图象，若在区间上的最大值为1，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题先求出，可得，要满足题意，则，即可求出.

【详解】

将横坐标缩短为原来的得到，再向右平移个单位得到，

，则，

要使在区间上的最大值为1，则，即，

则的最小值为.

故选：D.

【点睛】

本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是通过图象变化得出，再根据正弦函数的性质求解.

2．函数的部分图象如图所示，为了得的图象，只需将的图象（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】B

【分析】

首先根据图象求函数的解析式，再根据左右平移规律判断选项.

【详解】

由图象可知，即，

当时，，

解得：，，，，

，

要得到的图象，只需将的图象向右平移个单位.

故选：B

【点睛】

方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.

3．设函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则下列说法正确是（    ）

A．的图象过点；

B．在上单调递减；

C．的一个对称中心是；

D．将的图象向左平移个单位长度得到函数 的图象.

【答案】D

【分析】

先根据对称轴及最小正周期，求得函数的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上可判断A，求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D.

【详解】

函数的最小正周期是

所以，则，

图象关于直线对称,

对称轴为,代入可得，

解得，因为，所以当时, ，

则，

对于A,当时, ，所以错误；

对于B,的单调递减区间为，

解得，因为，则在上不是减函数,所以错误；

对于C，，所以不是的一个对称中心，所以错误；

对于D，，将的图象向左平移个单位长度得到可得，所以能得到的图象,所以正确.

故选: D.

【点睛】

本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.

4．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用三角函数的最值，取自变量、的特值，然后判断选项即可.

【详解】

因为函数的周期为，由题意可得：，

若，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有，

所以不妨取，则，即在取得最小值，

所以，此时，又，所以此时不符合题意，

取，则，即在取得最小值，

所以，此时，当时，满足题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出，得出，再利用正弦函数取得最小值的点，求得的值，属于中档题．

5．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，若函数在上单调递减，则正数的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】

先根据图象变换得到的解析式，根据可得此函数单调减区间的一般形式，根据其在上的单调性可求正数的范围，故可得正确的选项.

【详解】

，故，

令，故，

故存在，使得，

故即，解得，故正数的最大值为.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：含参数的正弦型函数，若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据包含关系可求参数的取值范围.

6．先将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先根据三角函数图象的变换得出的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析的条件并求解的值.

【详解】

由题意可知，则函数的最大值为，最小值为，

又的最大值为，

所以当有实根时，的最大值点与的最小值点重合，

故应平移个单位，所以，

得，故只有C选项符合.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于：
（1）得出函数的解析式；

（2）分析出时，的最大值点与的最小值点重合.

7．函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

设 ，因为，所以，即函数的图象在上恰有两个最大值点，结合正弦函数的图象可得答案.

【详解】

设 ，因为，所以

函数的图象在上恰有两个最大值点

即函数的图象在上恰有两个最大值点，如图

则，，

故选：D．

【点睛】

关键点睛：本题考查根据正弦型函数的最值的个数求参数的范围，解答本题的关键是利用换元的思想，设 ，将问题转化为函数的图象在上恰有两个最大值点，属于中档题.

8．将函数的图象向右平移个单位后，关于轴对称，则的可取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

求得图象向右平移个单位后的函数解析式，根据其对称性列方程，从而求得的可取值.

【详解】

函数的图象向右平移个单位后得到

，

的图象关于轴对称，

所以（），当时，.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.

9．将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到的表示并计算出的结果.

【详解】

因为变换平移后得到函数，由条件可知为奇函数，

所以，.

故选C．

【点睛】

本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数为奇函数时，为偶函数时.

10．已知函数的部分图像如图所示，记关于的方程在区间上所有解的和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由函数图象得函数，再根据函数的性质得方程在区间上所有的解共有2个且这2个解的和等于，进而得答案.

【详解】

解：由图可知，，

再把点代入可得，所以，又，所以，

由五点作图法原理可得，所以，故函数，

当时，，令，得，

由图像可知方程在区间上所有的解共有2个，

且这2个解的和等于，即，所以，

故选：B．

【点睛】

本题考查利用三角函数图象求解析式，函数的对称性，考查运算能力，是中档题.

二、多选题

11．已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】

根据图像变换法则可求得的解析式，利用其为偶函数求出，又由三角函数的性质可求得，对进行赋值，与选项对比即可得出答案.

【详解】

由，得，

因为偶函数，则，所以，即

当时，；当时，.

故选：AD.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是利用三角函数的性质和函数的奇偶性，得出，，进而判断选项.

12．已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是（     ）

A． B．点是的图象的一个对称中心

C．在上的值域为 D．的图象在上有四条对称轴

【答案】BD

【分析】

根据题意，求得平移后的解析式，根据其为偶函数，可求得的表达式，根据的范围，即可求得的值，即可判断A的正误；根据的解析式，代入，即可判断B的正误；根据x的范围，即可求得的范围，结合正弦型函数的图象，即可判断C的正误；令，即可求得对称轴的表达式，对k赋值，即可求得的对称轴，即可判断D的正误，即可得答案.

【详解】

对于A：将函数的图象向左平移个单位所得的解析式为：，

由题意得：其图象对应的函数为偶函数，

则，，解得，

因为，令，得，故A错误．

所以；

对于B：因为，所以，

所以点是的图象的一个对称中心，故B正确；

对于C：因为，所以，

所以当时，即时，有最大值2，

当时，即时，有最小值，故C错误；

对于D：令，解得，

因为时，令，解得

令，解得，

令，解得，

令，解得，

所以的图象在上有四条对称轴，故D正确.

故选：BD

【点睛】

解题的关键是熟练掌握正弦型函数的图象与性质，并灵活应用，在求解值域时，通过换元法令，将其转化为研究的性质，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.

三、填空题

13．已知函数，若函数恰有3个零点，分别为，则的值为________.

【答案】

【分析】

令，则，通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为和，结合图像可知，，从而求得，，进而求得的值．

【详解】

令，则

函数恰有3零点，等价于的图像与直线恰有3个交点，即与直线恰有3个交点，设为，如图

函数，的图像取得最值有2个t值，分别为和，由正弦函数图像的对称性可得，即

，即，

故 ，
故答案为：．

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

14．已知函数的图象的一个对称中心为其中则以下结论正确的是_________.

（1）函数的最小正周期为

（2）将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称

（3）函数在区间上单调递增

（4）函数在区间上有66个零点

【答案】（1）（3）

【分析】

先根据的对称中心求得，然后求：的最小正周期、单调区间、零点，由此确定（1）（3）（4）的正确性.求得函数的图象向左平移所得函数的解析式，由此判断（2）的正确性.

【详解】

由函数的图象的一个对称中心为,得,

因为，所以,则，

所以周期，（1）正确；

由,取，得,即是数的一个单调递增区间，又是的子集，所以函数在区间上单调递增，（3）正确；

由,得.解得由，，得，因为，所以,所以函数在区间上有67个零点，（4）错误.

将函数的图象向左平移，得,显然的图象不关于原点对称，（2）错误；

故答案为：（1）（3）

【点睛】

求三角函数的单调区间可以采用整体代入法.三角函数图象变换，要注意的影响.

15．对任意两实数a，b，定义运算“”：，则函数的值域为______.

【答案】

【分析】

先分析题意，把函数化简整理为，再利用三角函数的图像与性质求值域即可得到答案.

【详解】

由，则函数

整理可得：

由，得，即

所以的值域为.

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的分类讨论思想及处理新定义问题的能力，属于中档题.

16．已知函数在区间上单调递增，若把的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数的图象重合，则的最大值为_______.

【答案】

【分析】

先利用函数在区间上单调递增，得到，再利用平移后的图象与函数的图象重合，得到，即可得出结论.

【详解】

由，解得，

令得，依题意且，得，①

把的图象向左平移个单位长度，

得，

又所得到的图象与函数的图象重合，

则，②

由①②得：的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图像与性质，考查了考生的运算求解能力，分析问题和解决问题的能力.属于中档题.

四、解答题

17．已知函数满足条件：，且．

（1）求的解析式；

（2）由函数的图象经过适当的变换可以得到的图象．现提供以下两种变换方案：①→→②→→请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）根据周期求ω，利用对称轴求φ；

（2）选择①，先平移变换，后进行周期变换；选择②，先周期变换，后进行平移变换.

【详解】

（1）由，知函数的周期为π ，所以，即.

由，知函数的图象关于对称

所以，即，所以.

因为，所以，所以.

（2）方案①：

将的图象向右平移个单位后，得到的图象；再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象

方案②：

将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象；再将所得图象向右平移个单位，得到得到的图象.

【点睛】

(1)求三角函数解析式的方法：①求A通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点代入即可求解.

(2)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a个单位长度那么相位就会改变ωa；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa，那么平移长度不等于a；

18．若函数，的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6．

（1）求函数的解析式；

（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当时，求的值域．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）求出函数的周期，求解，利用函数经过的点，求解，然后得到函数的解析；

（2）利用函数的图象的平移变换推出函数的解析式，求解相位的范围，然后求解函数的最值，即可得的值域．

【详解】

（1）因为相邻的两个零点差的绝对值为6，

记的周期为，则，

所以，所以，

所以；

因为的图象经过点，所以，

所以，又，所以 ，

所以函数的解析式为．

（2）由(1)知，

因为将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，

所以函数的解析式为，

当时，，所以，

综上，当时，的值域为．

【点睛】

关键点点睛：由函数的部分图象确定解析式关键在于确定参数，的值．

(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定.

(2)因为，所以往往通过求周期来确定，可通过已知曲线与轴的交点从而确定，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为；相邻的两个零点之间的距离为.

19．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求，，的值；

（2）先将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，求的取值范围.

【答案】（1），，；（2）.

【分析】

（1）根据图形可知，利用周期可得，最后代点可得.

（2）根据平移可得，然后可得，然后使用整体法，并结合函数的单调性可得，最后可得结果.

【详解】

解：（1）由图可知，

，所以.将点代入，得，

又，所以.

（2），，

则，

因为，所以，所以，即，

所以的取值范围为.

【点睛】

本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数的性质，掌握，，决定什么，考查分析问题的能力，属中档题.

20．已知函数的部分图象如图所示，，，为该图象与轴的交点，点在图象上，，.

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，求函数的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）和.

【分析】

（1）根据题意推出为正三角形，结合，可解得；

（2）求出后，利用正弦函数的单调递增区间可求得结果.

【详解】

（1）连接，因为，为的中点，

所以.

又由图象性质知，所以为正三角形，

所以，.

因为，所以，，

所以，，，

所以.

（2）由（1）得，

令，，得，，

令，得；令，得.

因为，所以的单调递增区间为和.

【点睛】

关键点点睛：第一问根据题意推出为正三角形是解题关键，第二问利用正弦函数的单调递增区间求解是解题关键.

21．如图，函数的图象与轴交于点，若时，的最小值为.

（1）求和的值；

（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当时，求的值.

【答案】（1），；（2）或.

【分析】

（1）由函数过点即可得，再由三角函数的图象与性质可得最小正周期，即可得；

（2）由中点坐标公式可得点P的坐标为，由点在图象上即可得解.

【详解】

（1）将代入函数中得，即，

因为，所以，

由已知可得函数的最小正周期且，

所以；

（2）因为点A的坐标为，是的中点，，

所以点P的坐标为，

又点P在的图象上，且，

所以，

从而得或，

所以或.

【点睛】

本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，牢记知识点是解题关键，属于中档题.