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1.5 正弦函数和余弦函数的图像与性质再认识-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】(北师大2019版第二册)
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1.5正弦函数和余弦函数的图像与性质再认识【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】一、单选题1.设,,,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】转化为比较、、的正弦值的大小,利用正弦函数的单调性比较可得答案.【详解】,,,因为在锐角范围内为增函数,且,所以,即.故选:D【点睛】本题考查了利用正弦函数的单调性比较大小,属于基础题.2.已知函数在上的最小值是,则的最小值等于( )A. B. C.2 D.3【答案】B【分析】由题意可得函数的四分之一周期小于等于,由周期公式可得的不等式,解不等式可得.【详解】∵函数在区间上的最小值是,∴只需函数的四分之一周期小于等于即可,即,解得,∴的最小值为故选:B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值和周期性,通过三角函数的图象记忆性质是解题的关键,属于中档题.3.函数的定义域和值域都是[a,b],这样的区间[a,b]( )A.1个 B.2个 C.3个 D.不存在【答案】C【分析】考虑与的交点情况,由函数的值域为,故只需考虑,数形结合,即可得到答案.【详解】在同一坐标系中作出函数和函数的图象,如图所示由图可知:的定义域和值域都是,这样的区间有,,共3个,故正确的答案为故选【点睛】本题考查函数图象的应用,属于基础题.4.设,则的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】A【分析】利用正弦函数的单调性即可比较大小.【详解】∵在在单调递增,又,∴,∴故选:A【点睛】本题考查三角函数的大小比较,考查正弦函数的单调性,属于基础题.5.要得到函数的图象,只需将函数的图象( )A.关于原点对称 B.关于轴对称C.关于轴对称 D.关于直线对称【答案】B【解析】由于与的图象关于轴对称,所以要得到函数的图象,只需将函数的图象关于轴对称.考点:正弦函数的简单应用.6.已知某函数图象如下图所示,则此函数的解析式可能是( )A. B.C. D.【答案】B【分析】分析各选项中函数的奇偶性及其在轴右侧函数值符号变化,结合图象可得出合适的选项.【详解】根据题意,由图象可得:该函数为偶函数,且在轴右侧,先为正值,后为负值,据此分析选项,四个选项中函数的定义域均为.对于A选项,,,该函数为偶函数,当时,,,则,不合乎题意;对于B选项,,,该函数为偶函数,当时,,,则,合乎题意;对于C选项,,,该函数为奇函数,不合乎题意;对于D选项,,,该函数为奇函数,不合乎题意.故选:B.【点睛】本题考查函数的图象分析,注意结合图象分析函数的奇偶性、单调性以及函数值符号,考查推理能力,属于中等题.7.函数的图像与直线,及轴所围成的图形的面积是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】作出函数的图像,利用割补法,补成长方形,计算面积即可.【详解】作出函数的图象,如图所示,利用割补法,将到部分的图象与轴围成的图形补到图中到处阴影部分,凑成一个长为,宽为的长方形,后面到,同理;∴的图象与直线,及轴所围成的面积为,故选:C.【点睛】用“五点法”作的简图,主要是通过变量代换,设,由取,,,,来求出相应的,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.8.函数在区间上所有零点的和等于( )A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【分析】由图可得函数的零点就是和交点的横坐标,画出函数图象,可得出在有8个零点,且关于对称,即可求出.【详解】,令,则,则函数的零点就是和交点的横坐标,可得和的函数图象都关于对称,则交点也关于对称,画出两个函数的图象,观察图象可知,和在有8个交点,即有8个零点,且关于对称,故所有零点的和为.故选:D.【点睛】本题考查求函数的零点之和,解题的关键是将题目化为找和交点的横坐标,从而通过函数图象求解.9.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为,若定义,则函数,在区间内的图象是( )A.B.C.D.【答案】A【分析】由题知,利用求出,再根据题给定义,化简求出的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断,即可得出答案.【详解】根据题意,的图象与直线的相邻交点间的距离为,所以 的周期为, 则, 所以,由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选:A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象,以及正弦函数的图象,解题关键是对新定义的理解.10.已知函数,若存在实数,,,,当时,满足,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】作出的图象,由图象可知,则可得出,在上的图象关于直线对称,所以,且,那么,利用二次函数的性质求出其值域即可.【详解】作出函数的图象如图所示,可以发现,即,所以,.由余弦函数的图象可知,在上的图象关于直线对称,所以,且,因此变形为,所以当时,;当时,.所以的取值范围是.故选:D.【点睛】本题考查函数图象的应用,考查函数与方程思想的运用,难度一般,准确画出函数的图象是关键.二、多选题11.已知函数,,下列结论正确的是()A.的图象关于直线轴对称 B.在区间上单调递减C.的图象关于直线轴对称 D.的最大值为【答案】BCD【分析】,画出其图象,然后逐一判断即可.【详解】,其图象如下所示:由图可知,的图象关于直线对称,故A错误,C正确;在区间上单调递减,故B正确;的最大值为,的最小值为,故D正确故选:BCD【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质,考查了学生对基础知识的掌握情况,属于中档题.12.已知函数则下列说法正确的是( )A.的值域是 B.是以为最小正周期的周期函数C.在区间上单调递增 D.在上有个零点【答案】ACD【分析】采用数形结合,并逐一验证可得结果.【详解】根据题意,画出函数在的图象,如图所示A. 根据图像可知,的值域是,正确;B. 是以为最小正周期的周期函数,错误;C. 在区间上单调递增,正确;D. 在上有个零点,正确;故选:ACD.【点睛】本题主要考查函数的性质,本题关键在于能画出函数图形,形是数的载体,通俗易懂,形象直观,属中档题.三、填空题13.已知的定义域为,则的定义域是________.【答案】,【分析】由的定义域为,解不等式,求解即可得解.【详解】解:由的定义域为,则,解得,即的定义域是,,故答案为:,.【点睛】本题考查了复合函数定义域的求法,属基础题.14.设函数的最大值为,最小值为,则________.【答案】2【分析】构造函数,可知为上奇函数,且的最大值为,最小值为,结合奇函数的性质,可求出.【详解】由题意,,令,所以的最大值为,最小值为.又,所以为上奇函数,所以,即.故答案为:2.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查学生的计算求解能力,属于中档题.15.在内使成立的实数的取值范围是______.【答案】【分析】易得,即,在平面直角坐标系中画出与的图象,观察图象即可得结果.【详解】∵,∴,∴,在同一平面直角坐标系中画出与的图象,如图所示,观察图象易得.故答案为.【点睛】本题主要考查学生灵活运用正弦、余弦函数的图象与性质,考查了数形结合的数学思想,属于道中档题.16.设函数,若在区间上,函数有4个零点,则实数的取值范围是______.【答案】【分析】去绝对值,将的解析式化简,作出的图象,函数有4个零点,则与的图象有4个不同的交点,数形结合即可得到答案.【详解】当时,,当时,,作出的图象,如图所示,函数有4个零点,则与的图象有4个不同的交点,所以.故答案为:【点睛】本题考查已知函数的零点个数求参数的取值范围,涉及到正弦型函数的作图,考查学生数形结合思想,转化与化归思想,是一道中档题.四、解答题17.求下列函数的值域:(1);(2).【答案】(1).(2)【分析】(1)先分类讨论去绝对值,得到,分别求每段的值域可得结果;(2)分离常数得,根据求值域即可.【详解】解:(1)当时,;当时,,.当时,,;当时,,故,函数的值域为;(2).则,,所以该函数的值域为.【点睛】本题考查了三角型函数的值域,注意分离常数法的使用,是基础题.18.方程sinx=在x∈上有两个实数根,求a的取值范围.【答案】.【解析】试题分析:根据正弦函数的单调性,得到当时,在区间上且时,存在两个自变量对应同一个.由此得到若有两个零点,即,在上有两个零点,由此建立关于的不等式,解之即可得到实数的取值范围.试题解析:首先作出,的图象,然后再作出的图象,如果,与的图象有两个交点,方程,就有两个实数根.设,,.,的图象如图.由图象可知,当,即时,,的图象与的图象有两个交点,即方程在上有两个实根.点睛:本题给出三角函数式,求满足函数在指定区间上有两个零点的参数的取值范围,着重考查了三角函数的单调性与函数的图象与性质等知识,属于中档题.19.已知函数. (1)求函数f(x)的最大值,并求此时x的值;(2)写出的解集.【答案】(1)最大值1,;(2).【分析】(1)当时,函数取最大值得解;(2)根据三角函数的图象解不等式得解集.【详解】(1)当即时,;(2)由题得,所以不等式的解集为.【点睛】关键点睛:解答这类题的关键是熟练掌握三角函数的图象和性质,再灵活利用其解题.20.已知函数,.(1)作出函数的图象;(2)求方程的解.【答案】(1)图象见解析;(2).【分析】(1)将函数表示为分段函数,即可作出函数的图象;(2)分和两种情况解方程即可.【详解】(1)当时,,则;当时,,则.,函数的图象如下图所示:(2)当时,令,即,得,解得;当时,令,得,该方程无解.综上所述,方程的解为.【点睛】本题考查三角函数图象的作法,同时也考查了三角方程的求解,考查计算能力,属于基础题.21.已知函数的定义域为,最大值为,求实数的值.【答案】或【分析】将函数化为二次函数型的顶点式,结合二次函数的对称轴与值域的关系,由最大值为2求得的值.【详解】(1)当时,当即时原函数取得最大值,既有解得;(2)当时,当时原函数取得最大值,即有,解得或,均与矛盾,为增根,舍去;(3)当时,当即时原函数取得最大值,即有,解得;综上所述,实数的值为或.【点睛】本题考查了三角函数与二次函数的综合应用,三角函数值域与二次函数对称轴的关系,属于基础题.
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