1.6函数y=Asin(wx+φ)的性质和图像-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】（北师大2019版第二册）

1.6函数的性质和图像【课时分层练】

2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】

一、单选题

1．已知函数（为常数）为奇函数，那么（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据奇函数定义，代入即可求得的值．

【详解】

因为函数（为常数）为奇函数

所以，代入

所以选A

【点睛】

本题考查了奇函数的应用及三角函数的求值，属于基础题．

2．函数的部分图象如图所示, 为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点 ( )

A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

【答案】A

【解析】

试题分析：由得：.所以，故将的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变便可得的图象.

考点：三角函数的图象及其变换.

3．函数的部分图像如图所示,则（    ）

A．     B．     C．        D．

【答案】B

【分析】

根据图像可求得,再代入最大值点,即可求得结果.

【详解】

因为,所以.显然,故,所以,

因为|φ|＜,因此,

故选：B.

【点睛】

本题考查根据三角函数图像求解析式,考查学生的看图分析能力,注意求φ时代入最值点求解,属基础题.

4．为了得到的图象，可以将的图象（    ）

A．向右平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

【答案】D

【分析】

由题意利用诱导公式、函数的图象变换规律，得出结论．

【详解】

为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左平移个单位.

故选：D．

【点睛】

本题主要考查诱导公式、函数的图象变换规律，属于基础题．

5．在区间（0，2）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是

A．(,)∪(,)      B．(,) C．(,)∪(,)    D．(,)

【答案】D

【解析】

略

6．已知函数的最小正周期为，将的图象向右移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的一个值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由函数的周期求得ω＝2，再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数y＝sin（2x2） 它为奇函数，故有2kπ，k∈z，

结合所给的选项可得的值．

【详解】

由题意可得 π，∴ω＝2．把函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度（＞0），

所得图象对应的函数解析式为y＝sin[2（x）]＝sin（2x2）．

再由它的图象关于原点对称，可得它为奇函数，故有2kπ，k∈z，

∴，,

结合所给的选项，故可以等于，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．

7．将函数的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是（    ）

A．最小正周期为B．图象关于直线对称

C．图象关于点对称D．图象在上单调递减

【答案】C

【分析】

根据正弦型函数图象变换性质写出相应变换后的解析式，最后利用正弦型函数的性质逐一判断即可.

【详解】

函数的图象向左平移个单位，得到，的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到.

A：最小正周期为，所以本选项正确；

B：当时，，所以本选项正确；

C：当时，，所以本选项不正确；

D：当 时，，图象在上单调递减，所以本选项正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查了正弦型函数图象的变换，考查了正弦型函数的性质，属于基础题.

8．将函数的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

先求得的最小正周期，然后根据三角函数图象变换的知识求得变换后的函数解析式.

【详解】

因为函数的最小正周期为，所以将的图象向右平移个最小正周期即，所得图象对应的函数解析式为.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查三角函数图象变换，属于基础题.

9．函数，直线与图象相邻两个交点的横坐标之差的绝对值恒等于，且，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

先由直线与图象相邻两个交点的横坐标之差的绝对值恒等于，得到，求出，再由求出，从而可求出结果.

【详解】

直线与图象相邻两个交点的横坐标之差的绝对值恒等于，

，，因此，

又，所以，因为，解得，

故选B

【点睛】

本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式的问题，熟记正弦函数的图像与性质即可，属于常考题型.

10．已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，则下列判断正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递增

C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象关于点对称

【答案】B

【解析】

图像相邻两条对称轴之间的距离为，即三角函数的周期为,所以,又是偶函数，,即,又,解得,所以.A项,最小正周期,错误;B项, 由,解得单调递增区间为,k=1时成立,故正确;;C项, ,解得对称轴是,错误;D项, 由,解得对称中心是,错误;综上所述,应选B.

二、多选题

11．已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于点对称

D．函数的图象关于直线对称

【答案】ABC

【分析】

利用正弦函数的周期性以及图像的对称性，求出函数的解析式，再根据函数的图像变化规律、正弦函数的图像的对称性，得出结论.

【详解】

函数的最小正周期为，，故，

将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图像，

根据得到的图象对应的函数为偶函数，可得，，

故，

对于A，，故A正确；

对于B，当 时，则，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D错误；

故选：ABC

【点睛】

本题考查了三角函数的平移变换以及三角函数的性质，解题的关键是求出函数的解析式，属于基础题.

12．已知函数的最小正周期为，且，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】

根据周期公式可求出，再根据可知直线为函数图象的一条对称轴，即可得或，即可解出．

【详解】

由题意知，，因为，

所以直线为函数图象的一条对称轴，即或，

所以，，，解得，．

因为，所以或．

故选：AD．

【点睛】

本题主要考查三角函数周期公式的应用，利用三角函数性质求解析式，属于基础题．

三、填空题

13．函数的部分图像如图所示，则的值为_______________.

【答案】-1

【解析】

【分析】

有函数图象得函数 的周期性、对称轴、对称中心，求得

【详解】

由函数图象得，得最小正周期为，所以，由图象函数图象关于点中心对称，关于轴对称，且 则

【点睛】

由的图象求解析式或求值，可根据图象得函数周期，最值，特殊值点，再分别求得，，的值，解决问题，也可根据函数性质，将问题转化为给定区间内问题，借助图象及性质解决

14．若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称，则的最小值为________________.

【答案】

【分析】

由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得的最小值.

【详解】

解：将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，可得

的图象.

根据图象与的图象关于轴对称，可得，

，，即时，的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.

15．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离（）和时间（）的函数关系是，（），则__________．

【答案】

【解析】

最大，

故答案为

16．已知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则=______.

【答案】

【分析】

画出函数的图象，结合函数图象的特点，利用导数求出曲线的切线方程，可以求出的值.

【详解】

函数的图象如下图所示：直线过定点，

当时，，，由图象可知切点坐标为，

切线方程为：，又因为切线过点，则有

，即

【点睛】

本题考查了三角函数图象的画法，以及利用导数求曲线切线方程，考查了数形结合思想.

四、解答题

17．把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象.

（1）写出函数的解析式；

（2）若时，关于的方程有两个不等的实数根，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据图象左右平移和横向伸缩变换的原则可得到解析式；
（Ⅱ）方程有两个不等实数根等价于直线与有两个交点，结合函数图象可知范围．

试题解析：

（Ⅰ）函数的图象向左平移个单位长度，得到，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，∴.（Ⅱ）由得.令，由得,

方程有两个不等实数根等价于直线与有两个交点，结合函数图象可知.

点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

18．已知点是函数图像上一点，点到直线：的距离为1.

（1）求函数的解析式；

（2）令，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）先利用，求出，最后，利用到直线：的距高为1.，求得答案

（2）利用令  ①

  ②；

进行求解即可

【详解】

（1）∵是上点，

∴，，，∴.

又到直线：的距高为1.得，

∴.

（2）∵，

令  ①

  ②

①+②得，得.

【点睛】

本题考查三角函数的应用，属于基础题

19．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；（2）求函数的定义域.

【答案】（1）（2）

【分析】

（1）先由函数图像，得到，，求出，再由，根据题中条件，求出，即可得出函数解析式；

（2）根据解析式，得到，即，根据正弦函数的性质求解，即可得出结果.

【详解】

（1）由函数的部分图象知，，，

∴，∴；

又，∴；

又，∴；∴；

（2）∵函数，∴，

∴；

又，∴，

∴，解得：；

∴的定义域为.

【点睛】

本题主要考查由三角函数的图像求函数解析式，以及求复合函数定义域的问题，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.

20．已知函数在一个周期内的图像经过点和点，且的图像有一条对称轴为.

（1）求的解析式及最小正周期；

（2）求的单调递增区间.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）由函数的图象经过点且f（x）的图象有一条对称轴为直线，

可得最大值A，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．

（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．

【详解】

（1）函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象经过点，，且f（x）的图象有一条对称轴为直线，

故最大值A＝4，且,

∴，∴ω＝3．所以.

因为的图象经过点，所以，所以，.

因为，所以，所以.

（2）因为，所以，，

所以，，

即的单调递增区间为.

【点睛】

本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题．

21．已知函数（，）的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

（1）求和的值；

（2）若（），求的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）由可得，又的图象关于直线对称，可得，，即可算出；

（2），利用平方和及的范围计算即可得到答案.

【详解】

解：（1）因为的图象上相邻两个最高点距离为π，所以的最小正周期，从而.

又的图象关于直线对称，所以，，即，.

由得.

（2）由（1）得，

所以.由得，

所以.

【点睛】

本题考查利用三角函数的性质求解析式以及给值求值的问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.

22．函数的图像如图所示，求A，B，，的值.

【答案】；；

【分析】

由函数y的部分图象结合最值，周期，求出A、B、ω和φ的值即可．

【详解】

因为函数的最大值为2，最小值为0，

∴解方程，得.

∵，∴.∴.

∴函数为.

∵函数图像过点，

∴.∴.∴.

∵，∴.

【点睛】

本题考查了由三角函数的部分图象求解析式的问题，是基础题．