必修 第二册第一章 三角函数8 三角函数的简单应用达标测试

1.8三角函数的简单应用【课时分层练】

2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】

一、单选题

1． 下列函数中，函数图象关于y轴对称，且在（0，+）上单调递增的是

A．  B． C．  D．

【答案】B

【解析】

试题分析：由函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数，排除A,C

对于B选项，开口向上，所以在 单调递增，故选B

对于D选项，当x>0时，函数为 在 单调递增，故错

考点：本题考查函数的奇偶性，单调性

点评：解决本题的关键是熟练掌握指数函数，对数函数，幂函数的图象和性质

2．已知函数（a、b为常数，）在处取得最小值，则函数是（    ）

A．奇函数且它的图象关于点对称B．奇函数且它的图象关于点对称

C．偶函数且它的图象关于点对称D．偶函数且它的图象关于点对称

【答案】B

【解析】

试题分析：函数（a、b为常数，）在处取得最小值，所以，即，则；

则，又，所以奇函数且它的图象关于点对称．

考点：1．函数的最值；2．三角函数的图像与性质．

3．函数y=++的值域是（  ）

A．{3}           B．{3，﹣1}    C．{3，1，﹣1}    D．{3，1，﹣1，﹣3}

【答案】B

【解析】

试题分析：由函数的解析式对x进行分类讨论，分别利用三角函数值的符号化简求值，再求出函数y=++的值域．

解：当x是第一象限角时，sinx＞0、cosx＞0、tanx＞0，

则y=++=1+1+1=3；

当x是第二象限角时，sinx＞0、cosx＜0、tanx＜0，

则y=++=1﹣1﹣1=﹣1；

当x是第三象限角时，sinx＜0、cosx＜0、tanx＞0，

则y=++=﹣1﹣1+1=﹣1；

当x是第四象限角时，sinx＜0、cosx＞0、tanx＜0，

则y=++=﹣1+1﹣1=﹣1；

综上可得，函数y=++的值域是{﹣1，3}，

故选：B．

考点：三角函数值的符号；函数的值域．

4．函数的图象大致为（ ）

A．B．C． D．

【答案】A

【解析】

试题分析：因为为奇函数，所以不选C,D．当时，，选A．

考点：函数图像与性质

5．设当时，取得最大值，则的值为（    ）

A．            B．            C．          D．

【答案】C

【解析】

试题分析：（其中，

∵时，函数取得最大值，

，即，

又联立得．选C

考点：两角和与差的正弦函数，同角三角函数间的基本关系式

6．已知函数，若的图象与函数的图象交于A，B两点，则(O为坐标原点)的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

联立函数可求出A，B坐标，即可求出面积.

【详解】

由题意有，有，

有，解得或（舍去），

由可得或，

则点A的坐标为，点B的坐标为.

线段中点的坐标为，则的面积为.

故选：B.

7．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据建立的模型利用三角函数的性质求最值.

【详解】

如图，记，在中，，，

在中，，

所以，

设矩形的面积为，

由，所以当，即时，取最大值，为,

故选：A.

8．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ）米．

A．10 B． C．15 D．

【答案】C

【分析】

由，得是等腰三角形，且可求得，在直角中易得塔高．

【详解】

由题知

∴，∴等腰的，∴

∴中，，．

故选：C．

9．下表是某市近30年来月平均气温（℃）的数据统计表：

则适合这组数据的函数模型是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

利用函数的最大值与最小值排除选项A，D，再利用函数的单调性排除选项B，从而得出符合题意的函数.

【详解】

根据题意，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值因此排除选项A，D；

又当时，函数y是单调递增的，当时，函数y是单调递减的，由此排除选项B；

故选：C

【点睛】

本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，属于基础题.

10．已知函数，将函数向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

对进行化简，然后根据平移规则得到平移后的解析式，再根据奇函数的特点，求出的值.

【详解】

由，

向右平移个单位后得到

因为为奇函数，所以，所以，得，

即，因为，所以的最小值为，

故选B项.

【点睛】

本题考查三角函数辅助角公式，函数的平移，奇函数和正弦型函数的性质，属于简单题.

二、多选题

11．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（    ）

A．该质点的运动周期为0.7s              B．该质点的振幅为5

C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零    D．该质点的运动周期为0.8s

E.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零

【答案】BCD

【分析】

观察图像，振动周期为，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即可判断C、E的正误.

【详解】

由题图可知，振动周期为，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故C正确，E错.综上，BCD正确.

故选：BCD

【点睛】

本题考查三角函数的应用，根据图像判断简谐运动的周期与振幅，属于基础题.

12．为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】

根据题意，设y与时间t的函数关系式为,求得初相，再根据周期，即可判断选择.

【详解】

设y与时间t的函数关系式为,由题意可得，初始位置为，即初相为，故可得，，则,.

又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，

所以|ω|＝，即ω＝－.

故满足题意的函数解析式为：.

故选：CD.

三、填空题

13．对于函数给出下列四个命题：

①该函数是以π为最小正周期的周期函数；

②当且仅当时，该函数取得最小值是－1；

③该函数图象关于对称；

④当且仅当

其中正确命题的序号是___________（请将所有正确命题的序号都填上）

【答案】③④

【解析】

试题分析：画出函数的图象可知该函数是以为最小正周期的周期函数，当 (k∈Z)或(k∈Z)时，该函数取得最小值－1，所以①②均不正确.

考点：本小题主要考查分段函数图象的画法和三角函数的图象和性质的应用，考查学生数形结合思想的应用.

点评：解决本小题的关键是正确画出分段函数的图象，根据图象求解判断即可.

14．某地一天0~24时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是____________℃.

【答案】14

【分析】

根据，可知，由三角函数的性质即可求出.

【详解】

，，

当，即时，.

故答案为：14.

【点睛】

本题考查三角函数的实际应用，考查正弦型函数最值的求法，属于基础题.

15．设，且，则的取值范围为_________．

【答案】

【分析】

根据题意可得：，作出函数和在上的图像，结合图像即可得到满足条件的的取值范围。

【详解】

由题意可知，即，在同一坐标系中画出与的图象．如图所示，

所以当时，观察图象得．

故答案为

【点睛】

本题考查三角函数的不等式，考查三角函数的符号和三角函数的图像与性质等知识，属于基础题。

16．如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地，现欲在其中修建一个正方形花坛，若已知花坛面积为正方形草地面积的，则________

【答案】或

【分析】

设，，用，表示出草地和正方形的面积，根据面积比列出方程得出．

【详解】

设，则．

∵花坛面积为正方形草地面积的， ∴ ，即．

∴，解得 或 ，即或者

∴或． 故答案为：或．

【点睛】

本题考查了解三角形的实际应用，属于基础题．

17．设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则__________

【答案】

【解析】

试题分析：的根为函数与函数的交点横坐标，根据函数图像可知要满足有三个交点，需，此时

考点：1.函数与方程的转化；2.三角函数图像及性质

四、解答题

18．已知.

（1）求的值；（2）求的值.

【答案】(1) (2)-

【分析】

(1)先求出根据同角三角函数的关系,原式上下同时除以即可.

(2)根据同角三角函数的关系, 原式中,再上下同时除以即可.也可以先再求解.

【详解】

解法一：

∵，∴.

（1）；

（2）.

解法二：

∵，∴.

（1）；

（2）∵，

∴，∴.

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的关系,属于基础题型.

19．已知，

（1）若，求的最大值及对应的x的值.

（2）若， ，求tanx的值.

【答案】（1）时取最大值2（2）

【解析】

试题分析：（1）先根据配角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数性质求其最值：当即时有最大值2

（2）由确定，从而得到，再根据同角三角函数关系求出，即得

试题解析：（1）            （2分）

当

时有最大值2;                  （6分）

(2)                         (8分）

或

                   （14分）

考点：配角公式，同角三角函数关系

20．已知函数，（）的最小值为1.

（1）求的值及取此最小值时的值；

（2）求函数的最小正周期和单调递增区间.

【答案】（1）m=3,此时；（2）最小正周期为，单调递增区间为

【解析】

【分析】

(1)由题意首先求得m的值，然后确定x的值即可；

(2)由三角函数的性质确定函数的最小正周期和单调递增区间即可.

【详解】

（1）由得，，

此时，解得；

（2）最小正周期，

由，解得，

所以单调递增区间

【点睛】

本题主要考查三角函数的周期公式，三角函数的最值，三角函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的周期为π，且图象上有一个最低点为M。

(1)求f(x)的解析式；(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合。

【答案】(1)f(x)＝3sin  (2){x|kπ－＜x＜kπ，k∈Z}

【解析】

【分析】

（1）先由函数的最值和周期易得A和ω的值，再由3sin＝－3，φ＋＝－＋2kπ，k∈Z，从而得解析式；

（2）由条件可得sin＜，于是2kπ－＜2x＋＜2kπ＋ (k∈Z)，从而得解.

【详解】

(1)由题意知：A＝3，ω＝2，由3sin＝－3，得φ＋＝－＋2kπ，k∈Z，

即φ＝＋2kπ，k∈Z。而0＜φ＜，所以k＝1，φ＝。故f(x)＝3sin。

(2)f(x)＜等价于3sin＜，即sin＜，

于是2kπ－＜2x＋＜2kπ＋ (k∈Z)，解得kπ－＜x＜kπ(k∈Z)，

故使f(x)＜成立的x的取值集合为{x|kπ－＜x＜kπ，k∈Z}。

【点睛】

本题考查了三角函数的图象和性质，由的部分图象确定其解析式的方法.解决问题的关键是熟练掌握各个参数的意义，代表振幅，可由图象的最小最大值确定；可由函数的周期确定；是初相，可由特殊点确定.

22．已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作：y＝f（t），下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f（t）的曲线可近似地看成是函数

（1）根据以上数据，求函数的最小正周期T，振幅A及函数表达式；

（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

【答案】（1）；（2）上午9∶00至下午3∶00．

【解析】

试题分析：（1）设函数，从表格中找出同和是同一个周期内的最小值点和最大值点，由此算出函数的周期并得到，算出和，最后根据时函数有最小值解出，从而得到函数近似表达式；

（2）根据（1）的解析式，解不等式，可得，取，将得到的范围与对照，可得从点到点共小时的时间可供冲浪者进行运动．

试题解析：解： （1）由表中数据知周期T＝12，∴ ，

由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.

∴A＝0.5，b＝1，∴． 

（2）由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，∴cos t＋1＞1，

∴cos t＞0，∴2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z，即12k－3＜t＜12k＋3，k∈Z.① 

∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24．

∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，

即上午9∶00至下午3∶00． 

考点：三角函数的图像与性质．