1.4正弦函数和余弦函数的概念及性质-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】（北师大2019版第二册）

1.4正弦函数和余弦函数的概念及性质【课时分层练】

2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】

一、单选题

1．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据已知角的终边与单位圆交于点，结合三角函数的定义即可得到的值.

【详解】

因为角的终边与单位圆交于点，所以，所以，

故选B.

【点睛】

该题考查的是有关已知角终边上一点求其三角函数值的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.

2．已知角的始边为轴的非负半轴，终边上一点的坐标为，则角可能是（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】D

【分析】

求出角的正切值，求得角的可能值.

【详解】

由题意得，所以可能成立.

故选：D

【点睛】

本题考查三角函数的定义、诱导公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

3．已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为(　　)

A．           B．              C．          D．

【答案】B

【分析】

先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值．

【详解】

因为，，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知

，故角的最小正值为．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．

4．若角600°的终边上有一点（-4，a），则a的值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

∵角的终边上有一点，根据三角函数的定义可得，即，故选C.

5．如图所示，已知轴上一点按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过角，经过2秒钟点在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角的弧度数为　　

A． B． C．或 D．无法确定

【答案】C

【分析】

经过2秒钟后点转过角，推导出，从而．再由，能求出．

【详解】

秒钟时间点转过角．经过2秒钟后点转过角，

又2秒钟后点在第三象限．，．

又经过14秒钟，点与最初位置重合．．

又，或，或．

故选：C．

【点睛】

本题考查角的大小的求法、象限角的定义等基础知识，考查运算求解能力．

6．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据终边关于y轴对称可得关系，再利用诱导公式，即可得答案；

【详解】

在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，

∴，

∵，∴

故选：B.

【点睛】

本题考查角的概念和诱导公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用诱导公式化简已知可得,进而利用诱导公式，二倍角的余弦函

数公式化简所求即可计算得解.

【详解】

，

.

故选：D.

【点睛】

本题考查诱导公式、倍角公式的综合运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意观察角的特点，再进行配凑.

8．已知钝角终边上一点的坐标为.则角的弧度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用三角函数的定义和三角函数的诱导公式，即可求得角的弧度数，得到答案.

【详解】

由题意，钝角终边上一点的坐标为，

即点P的坐标为，其中位于第二象限，

由三角函数的定义，可得，

所以角的弧度数为.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了任意角的三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，合理应用三角函数的诱导公式求解是解答的关键，着重考查了计算能力.

9．圆周运动是一种常见的周期性变化现象，可表述为：质点在以某点为圆心半径为r的圆周上的运动叫“圆周运动”，如图所示，圆O上的点以点A为起点沿逆时针方向旋转到点P，若连接OA、OP，形成一个角，当角，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

运用求任意角的三角函数值的步骤：化正、脱周、变锐角和求值，可得所求值.

【详解】

.

故选：A.

【点睛】

本题考查任意角三角函数值的求法，属于基础题.

10．在平面直角坐标系中，是单位圆上的一段弧(如右图)，点P是圆弧上的动点，角α以Ox为始边，OP为终边．以下结论正确的是（ ）

A．tanα<cosα<sinα B．cosα<tanα<sinα

C．sinα<cosα<tanα D．以上答案都不对

【答案】D

【分析】

根据三者的符号可得，利用作差法可得大小关系不确定，从而可得正确的选项.

【详解】

由题设可得上的动点的坐标为且，

其中，，

注意到当，，故按如下分类讨论：

若，则，

故.

若，则，且

所以，

因为，故，故，

所以有正有负，所以有正有负，

而，，故有正有负，

故大小关系不确定.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：三角函数式的大小比较，可先依据终边的位置判断出它们的符号，也可以利用作差作商法来讨论，注意根据三角函数值的范围确定代数式的符号.

二、多选题

11．已知，则下列等式恒成立的是(   )

A． B．

C． D．

E.

【答案】CDE

【分析】

利用诱导公式，判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论．

【详解】

∵sin（﹣x）＝﹣sinx，故A不成立；∵，故B不成立；

∵，故C成立；∵，故D成立，

∵，故E成立.

故选CDE．

【点睛】

本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．

12．下列命题中正确的是（    ）

A．若角是第三象限角，则可能在第三象限

B．

C．若且，则为第二象限角

D．锐角终边上一点坐标为，则

【答案】ACD

【分析】

运用象限角知识、诱导公式、三角函数定义等知识对四个选项进行判断.

【详解】

对于,角是第三象限角,即,所以,当时, 为第一象限角; 当时, 为第三象限角; 当时, 为第四象限角,故可能在第三象限正确,故选项正确.

对于,运用诱导公式化简,故选项不正确.

对于,若,则为第二象限角或者第四象限角,若,则为第一象限角或者第二象限角,同时满足且,则为第二象限角,故选项正确.

对于,因为锐角终边上一点坐标为,由三角函数定义可得,又因为，所以,故选项正确.

综上选项正确.

故选

【点睛】

本题较为综合,考查了象限角、诱导公式、三角函数定义等知识,解答题目时能够熟练运用各知识进行计算并判断,需要牢牢掌握基础知识.

三、填空题

13．已知角的终边在直线上，则的值为________.

【答案】或.

【分析】

在直线上任取一点.则，然后分两种情况讨论即可

【详解】

在直线上任取一点.则.

（1）当时，，故，，

所以；

（2）当时，，故，，

所以.故等于或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查的是三角函数的定义，较简单.

14．已知在第三、第四象限内，那么的取值范围是______．

【答案】

【详解】

∵角在第三、四象限内，∴，可得，
①当时，即时，原不等式可化为，
解之得；②当时，即时，原不等式可化为，
此不等式组的解集为空集，综上可得，可

得的取值范围是，故答案为.

15．已知锐角的终边上一点，则锐角___________．

【答案】

【分析】

由题意求出的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．

【详解】

解：由题意可知，，

点在第一象限，的斜率，

由为锐角，可知为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．

16．函数的值域是_________.

【答案】

【分析】

分别讨论在第一象限，第二象限，第三象限，第四象限四种情况，计算得到答案.

【详解】

根据题意知：，，

当在第一象限时，；

当在第二象限时，；

当在第三象限时，；

当在第四象限时，；

综上所述：值域为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.

四、解答题

17．化简：.

【答案】

【分析】

方法一：分为偶数和奇数两种情况讨论，利用诱导公式化简计算即可；

方法二：由题意得出，代入所求代数式，结合诱导公式化简计算即可.

【详解】

（方法一）当为偶数时，设，，

原式

；.

当为奇数时，设，，

原式

.

综上可知，原式.

（方法二）因为，

所以

.

【点睛】

本题考查利用诱导公式化简计算，解题时要弄清楚角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.

18．利用单位圆中的正弦线、余弦线或三角函数图像解下列各题.

（1）求满足不等式的x的集合；

（2）求函数的定义域.

【答案】（1）

（2）

【分析】

（1）首先在范围内找到余弦线为的角度，然后再由终边相同角写出集合．
（2）首先在围内找到正弦线为的角度 然后再由终边相同角写出集合．

【详解】

(1)由得.

如图所示：在直角坐标系中，作出单位圆，

把角的顶放到原点，角的始边放到轴的正半轴上．

如图在单位圆中，在范围内余弦线为的角度有：，.

所以满足条件的角的范围是：

(2) 函数的定义域满足，即

如图所示：在直角坐标系中，作出单位圆，

把角的顶放到原点，角的始边放到轴的正半轴上．

如图在单位圆中，在范围内正弦线为的角度有，

所以满足条件的角的范围是：

【点睛】

本题考查了三角函数线的运用求满足条件的角的集合，属于基础题．

19．设A、B是单位圆O上的点，C是圆与x轴正半轴的交点，为正三角形，AB//x轴，

（1）求的三个三角函数值；

（2）设，求的值..

【答案】（1）； （2）.

【分析】

（1）先由条件求出点B的坐标，利用三角函数的定义，即可求解；

（2）由（1），利用三角函数的诱导进行化简，代入即可求解.

【详解】

（1）由题意，轴，可得，

所以，所以，

则.

（2）由（1）得.

又由.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

20．已知第二象限角的终边与以原点为圆心的圆交于点．

（1）写出三角函数的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1），，；（2）．

【分析】

（1）运用三角函数定义即可得到结果.

（2）利用诱导公式进行化简进而求得结果.

【详解】

（1）已知第二象限角的终边与以原点为圆心的圆交于点由三角函数的定义得，，．

（2）运用诱导公式化简得:

．

【点睛】

本题考查了运用三角函数定义求值,以及运用诱导公式化简求值,需要掌握基本定义和公式,并能熟练运用公式来解题,较为基础.

21．证明：.

【答案】见解析

【分析】

当时，，运用此结论即可证明.

【详解】

因为，，，…，均为小于的正数，又当时，，

所以，，，…，.

因为当时，，

所以，

即.

【点睛】

当时有