第六章 立体几何初步（能力提升）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（北师大2019版必修第二册）

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第六章立体几何初步（能力提升）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2020·全国高三专题练习（理））已知长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为，则该长方体的表面积为（    ）A．32 B．20 C．16 D．12【答案】A【分析】设长方体的长、宽、高分别为，，，根据长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为，由和求解.【详解】设长方体的长、宽、高分别为，，，由题意可知，…①，…②，由可得，所以该长方体的表面积为32．故选：A【点睛】本题主要考查长方体的几何特征以及表面积的求法，属于基础题.2．（2020·辽宁沈阳二中高一期末）关于直线，与平面﹑，有下列四个命题，其中真命题的序号是（    ）①，且，则；    ②，且，则；③，且，则；    ④，且，则．A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】D【分析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．【详解】若，且，则，可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若，且，则，故②正确；证明: ，，在内作，在内作， ，二面角是直二面角，，又由，，，，，，；同理，故.若，且，则，故③正确；证明：过作平面，，，，，，，故.若，且，则，可能相交､平行也可能异面，故④错误故选:D【点睛】考查线线平行与垂直的判定，基础题.3．（2020·包头市第九中学高一期末）某几何体的三视图如图所示，该几何体由一平面将正方体截去一部分后所得，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，正方体截去三棱锥后，所得图形为三视图所对应的几何体，设正方体的棱长为，求出正方体的体积为，及三棱锥的体积，从而可求出截去几何体的体积与剩余几何体的体积的比值.【详解】如下图，正方体截去三棱锥后，所得图形为三视图所对应的几何体，设正方体的棱长为，则正方体的体积为，三棱锥的体积为，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为.故选：C.【点睛】本题考查三视图，考查几何体的体积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.4．（2020·重庆巴蜀中学高二期中）已知是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ）A．若，且，则 B．若，，且，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【详解】由，且，得或m与n异面或m与n相交，故A错误；由，，且，得或m与n相交或m与n异面，故B错误；由，得或在 平面内，故C错误；由，得，故D正确．故选：D．【点睛】熟悉空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系是解题关键．5．（2020·云南高三其他模拟（文））在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中点为，可得，即为所求（或其补角），在中利用余弦定理求解即可.【详解】设正四面体的棱长为2，取的中点为，因为是棱的中点，所以，所以即为所求（或其补角）.在中，，,所以.故选：A.6．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高二期中）直线平面，直线直线，则直线与平面的位置关系是（    ）A．平行 B．在面内 C．相交 D．平行或相交或在面内【答案】D【分析】根据题意，利用长方体模型分析即可得答案.【详解】解：如图长方体中，设平面为平面，为直线，则直线可以是 ，而直线与平面的关系分别为：在面内，相交，平行；故直线与平面的位置关系是：平行或相交或在面内故选：D.【点睛】方法点睛：本题解题的关键是利用长方体模型进行解决，考查空间思维能力，是基础题.7．（2020·合肥市第十一中学高二期中（理））如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ）A．90° B．60° C．45° D．30°【答案】B【分析】连接，可证明，然后可得即为异面直线与所成的角，然后可求出答案.【详解】连接，因为是正方体，所以和平行且相等所以四边形是平行四边形，所以，所以为异面直线与所成的角.因为是等边三角形，所以故选：B8．（2020·全国高三专题练习（理））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是（    ）A．CE B．CF C．CG D．CC1【答案】B【分析】连接AC，使AC交BD于点O，连接A1O，CF，由，证得平行四边形，从而得线面平行．【详解】如图，连接AC，使AC交BD于点O，连接A1O，CF，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，由于，又OC＝AC，可得：，即四边形A1OCF为平行四边形，可得：A1O∥CF，又A1O⊂平面A1BD，CF⊄平面A1BD，可得CF∥平面A1BD，故选：B.9．（2020·兰州东方中学高二期中（理））下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（　　）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】利用线面平行、线面相交的知识对四个图形逐一分析，由此确定正确选项.【详解】解：对于①，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，由于平面，平面，所以平面；由于平面，平面，所以平面；由于，所以平面平面，所以平面，所以①正确.对于②，如图，设与相交于，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，因为与平面相交，所以与平面不平行，所以②错误.对于③，如图，设是的中点，因为是的中点，所以，而与平面相交，所以与平面不平行，所以③错误.对于④，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，平面，平面，所以平面，所以④正确.综上所述，正确的序号有①④.故选：B.10．（2020·山西高二期中）如图，在三棱锥中，不能证明的条件是（    ）A．平面 B．，C．， D．，平面平面【答案】B【分析】A. 利用线面垂直的判定定理和性质定理判断；B. 利用线面垂直的判定定理和线面关系判断；C. 利用线面垂直的判定定理和性质定理判断；D. 利用面面垂直性质定理判断.【详解】A. 因为平面，平面，所以，故正确；B. 因为，，则PC为BC，AP的公垂线，若，则平面，所以，不一定成立，故错误；C. 因为，且 ，所以平面，所以，故正确；D. ，平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，故正确；11．（2020·山西省古县第一中学高二期中）正方体中直线与平面所成角为（    ） A． B． C． D．【答案】A【分析】先由线面垂直的判断和性质得出就是直线与平面所成的角，再由正方体中的线段间的长度关系，可得选项.【详解】设与交于点O，连接DO，则，又面，所以，又，所以面，所以就是直线与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则在中，所以，故选：A. 12．（多选题）（2020·全国高一专题练习）如图，直三棱柱中，，，，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点．下列判断中正确的是（    ）A．直线与直线是异面直线   B．一定不垂直C．三棱锥的体积为定值    D．的最小值为【答案】ACD【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断A；利用线面垂直的判定与性质判断B；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断C；设，列出关于的函数式，结合其几何意义求出最小值判断D．【详解】解：如图，A．直线经过平面内的点，而直线在平面内不过，直线与直线是异面直线，故A正确；B．当时，平面，则，故B错误；C．由题意知，直三棱柱的外接球的球心为是 与 的交点，则的面积为定值，由平面，到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故C正确；D．设，则，．由其几何意义，即平面内动点与两定点，距离和的最小值知，其最小值为，故D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查异面直线的判定、垂直，三棱锥的体积的求法，以及距离最小值的求法，是中档题.二、填空题13．（2020·江苏高一期末）已知正六棱锥的底面面积为，侧棱长为，则这个棱锥的体积为________.【答案】【分析】根据底面面积求出底面边长，进而求出六棱锥的高，即可根据棱锥体积公式求出体积.【详解】如图所示的正六棱锥中，O是底面中心，，为六棱锥的高，设底面边长为，则正六边形的面积为，解得，，在中，，这个棱锥的体积.故答案为：.【点睛】本题考查棱锥体积的求法，解题的关键是找好底面积和高，属于基础题.14．（2020·上海高二期末）已知长方体的、、的长分为3､4､5，则点到棱的距离为______________.【答案】5【分析】由长方体的性质可得，所以面，面，所以，可得是点到棱的垂线段，由勾股定理可求得答案.【详解】由长方体的性质可得，所以面，面，所以，所以是点到棱的垂线段，又，，所以.故答案为：5. 【点睛】本题考查点到线段的距离，关键在于运用长方体的性质找到点到线段的垂线段，属于基础题.15．（2020·黄梅国际育才高级中学高三期中）若球的表面积为，有一平面与球心的距离为，则球被该平面截得的圆的面积为_________.【答案】【分析】由题得球的半径为，进而根据截面圆的半径，球心到截面圆的距离，球的半径构成的直角三角形结合勾股定理求解即可得截面圆的半径，进而得答案.【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，所以，得.因为截面与球心的距离为，所以截面圆的半径，可得截面圆的面积为.故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查球的截面圆的相关计算，考查空间思维能力与运算能力，是基础题.本题解题的关键是需要掌握球的截面圆的半径，球心到截面圆的距离，球的半径构成的直角三角形，进而结合勾股定理求解.16．（2020·陕西榆林市·高三二模（文））张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，底面BCD，，且，，利用张衡的结论可得球O的体积为________.【答案】【分析】将此三棱锥放置在一个长方体中，结合长方体的性质，求得半径，进而结合球的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，将此三棱锥放置在一个长方体中，可得长方体的长、宽、高分别为：，所以球的直径为，即，又由题意，可得，所以球的体积为.故答案为：. 【点睛】本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的几何结构特征的应用，其中把三棱锥放置在一个长方体中，结合长方体的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力.三、解答题17．（2020·黑龙江大庆一中高一期末）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【分析】（1）先证，再证，即证平面，即可证明平面平面；（2）存在中点；连接，，，证明即可.【详解】（1）平面平面，平面平面，,∴平面，∴，∵为直径，∴，，∴平面， 平面，∴平面平面；（2）存在.当为中点时，平面，证明如下：连，，,∵为正方形，∴为中点，连接 ， 为中点，∴，∵ 平面 ， 平面，∴平面.【点睛】本题考查面面垂直，线面平行的证明，清楚平行、垂直判定的方法是解题的关键，属于常考题.18．（2020·湖北高一期末）在四棱锥中，平面，底面为菱形，且.（1）证明：平面.（2）若，且的面积为.求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由四边形为菱形可得，由平面可得，而，从而可证得平面.（2）由已知条件可得为等腰直角三角形，由的面积为，得，进而求出，从而可求出，求出底面菱形的面积，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长，然后可求出结果.【详解】（1）证明：因为底面为菱形，所以.又，平面内，所以.因为，所以平面.（2）解：由题知，.因为，，所以，则.因为，所以为等腰直角三角形，所以的面积，解得，所以.在中，由余弦定理得，解得，.所以菱形的面积.四棱锥的体积.【点睛】此题考查线面垂直的判定，求棱锥的体积，属于中档题.19．（2020·河南高三（文））如图所示，在三棱锥中，平面，，，.（1）证明：平面；（2）若为棱的中点，点为棱上一点，且三棱锥的体积为，通过计算判断点的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）点为棱上靠近点的三等分点.【分析】（1）根据余弦定理，可得，再由勾股定理可证，再根据线面垂直的定义可证，由此根据线面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）在中，由勾股定理，易求得，根据，根据三棱锥的体积公式可求，再根据，由此即可求出结果.【详解】（1）由题可得， ，，由余弦定理可得所以.∴，∴.又平面，∴，又，∴平面.（2）在中，由勾股定理，易求得， ∵，过点作垂直于于点，如下图所示：则又，又又，所以,所以 ∴.∴点为棱上靠近点的三等分点.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理证明，以及三棱锥的体积的求法，考查运算求解能力和转换能力.20．（2020·盘锦市第二高级中学高二月考）在等腰梯形中，，，将它沿着两条高，折叠成如图所示的四棱锥（，重合）．（1）求证：；（2）设点为线段的中点，试在线段上确定一点，使得平面．【答案】（1）证明见解析；（2）点为中点.【分析】（1）根据线面垂直的判定证平面，再由线面垂直的性质证；（2）选取、的中点分别为，，由面面平行判定证面面，应用面面平行性质知平面，进而可知点的位置.【详解】（1）证明：∵，∴，．又∵，∴平面，∴．结合已知，四棱锥中，，，∴，即．又∵，∴平面，∴．（2）解：取的中点，的中点，连接，，，则，，∴平面，平面．∵，∴面面．∵平面，∴平面，故当点为中点时满足条件．【点睛】结论点睛：1、一条直线垂直于两条相交直线时，则垂直于两条相交线构成的平面，且垂直于该平面内的所有直线.2、当有，若则，再若则.21．（2019·合肥市第六中学高二月考（理））如图，在四棱锥中，平面，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）存在.理由见解析.【分析】（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（Ⅲ）取PB中点F，连结EF，则，根据线面平行的判定定理证明平面.【详解】（Ⅰ）因为平面，所以．又因为，所以平面．（Ⅱ）因为，，所以．因为平面，所以．所以平面．所以平面平面．（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得平面．证明如下：取PB中点F，连结EF，，．又因为E为的中点，所以．又因为平面，所以平面．22．（2020·四川达州市·高三二模（文））如图，在三棱锥中，平面，，，是中点，是中点，是线段上一动点.（1）当为中点时，求证：平面平面；（2）当∥平面时，求.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）根据为等腰直角三角形，得到，再由线面垂直的性质，证得，结合线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到平面平面；（2）取为中点，连接，，证得平面，进而得到平面，再结合平行线的性质，即可求解.【详解】（1）在中，因为，且，所以为等腰直角三角形，当为中点时，可得.因为平面平面，所以，因为且都在平面中，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）如图取为中点，连接，.因为为三角形中位线，所以，因为平面，不在平面内，所以平面，因为平面，且且都在平面内，所以平面平面，所以因为，所以为线段靠近点的四等分点.所以.【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及熟练应用几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与论证，以及运算能力.