必刷卷04-2020-2021学年高一数学下学期期末仿真必刷模拟卷（北师大版2019）

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高一年级下学期期末仿真卷04 本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足（i﹣1）z＝﹣i（i为虚数单位），则|z|＝（　　）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．【解答】解：因为，∴，故选：C．【知识点】复数的模2.已知sin（α+）＝﹣，α∈（0，π）则tan（α+）（1﹣tanα）的值为（　　）A．﹣ B． C． D．﹣【答案】C【分析】又已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求sinα，tanα的值，进而利用两角和的正切公式化简所求即可求解．【解答】解：因为sin（α+）＝sin（α+）＝﹣，即cosα＝﹣，又α∈（0，π）所以sinα＝，tanα＝﹣，则tan（α+）＝＝，所以tan（α+）（1﹣tanα）＝tanα+1＝﹣+1＝．故选：C．【知识点】两角和与差的三角函数、同角三角函数间的基本关系3.已知向量＝（1，2），＝（3，1），则向量+2与2﹣的夹角的余弦值为（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】可求出向量和的坐标，进而可求出，和的值，然后即可根据向量夹角的余弦公式求出与的夹角的余弦值．【解答】解：∵，∴＝＝．故选：D．【知识点】数量积表示两个向量的夹角4.复数z1、z2满足|z1|＝|z2|＝1，z1﹣z2＝，则z1•z2＝（　　）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【答案】A【分析】z1﹣z2＝＝﹣2i，由|z1|＝|z2|＝1，设z1＝cosα+isinα，z2＝cosβ+isinβ，可得cosα＝cosβ，sinα﹣sinβ＝﹣2，即可得出．【解答】解：z1﹣z2＝＝＝＝﹣2i，由|z1|＝|z2|＝1，设z1＝cosα+isinα，z2＝cosβ+isinβ，∴cosα＝cosβ，sinα﹣sinβ＝﹣2，∴cosα＝cosβ＝0，sinα＝﹣1，sinβ＝1，∴z1＝﹣i，z2＝i，则z1•z2＝﹣i•i＝1．故选：A．【知识点】复数的运算5.已知函数f（x）＝cosx+sin（x+）﹣cos（x+）﹣sinx的图象向左平移个单位长度后，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图象，则函数g（x）在[π，2π]上的最大值是（　　）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sinx，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）＝2sin（x+），利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：因为f（x）＝cosx+sin（x+）﹣cos（x+）﹣sinx＝cosx+sinx+cosx﹣cosx+sinx﹣sinx＝2sinx，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到2sin（x+）的图象，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）＝2sin（x+）的图象，因为x∈[π，2π]，所以x+∈[，]，当x＝π时，函数g（x）取得最大值为．故选：B．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换6.如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形ABCD，点E为上底圆弧上一个动点，当三棱锥B﹣ACE的体积最大时，三棱锥B﹣ACE外接球的表面积为（　　）A．2 B．π C．32π D．π【答案】C【分析】当三棱锥P﹣ABC体积最大时，点P为圆弧CD的中点，根据OA＝OB＝OC＝OE＝2，即可求解结论．【解答】解：当三棱锥B﹣ACE的体积最大时，即三棱锥E﹣ABC体积最大时，也就是点E到平面ABC的距离最大，此时点E为上底圆弧CD的中点，取AC的中点为O，则OA＝OB＝OC＝OE＝2，即三棱锥B﹣ACE的外接球的半径为2，∴三棱锥B﹣ACE外接球的表面积为4π•（2）2＝32π，故选：C．【知识点】球的体积和表面积7.在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点（不含端点），则（　　）A．不存在E，F，使得EF⊥CD B．存在E，使得DE⊥CD C．存在E，使得DE⊥平面ABC D．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF【答案】D【分析】对于A，D两项：当E，F分别是AB，CD的中点时，易证EF⊥CD，且平面CDE⊥平面ABF．对于B：可利用E在AB上移动时，∠CDE的范围判断．对于C：可将D看成三棱锥的顶点，则过D做底面的垂线只有一条，即高线，从而否定C．【解答】解：（1）对于A，D选项，取E，F分别为AB，CD的中点如图：因为A﹣BCD是正四面体，所以它的各个面是全等的等边三角形．所以CE＝DE，所以EF⊥CD，同理可证EF⊥AB．故A错误；又因为AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE＝E，故AB⊥平面CED，又AB⊂平面ABF，所以平面ABF⊥平面CED．故D正确．（2）对于B选项，将C看成正三棱锥的顶点，易知当E在AB上移动时，∠CDE的最小值为直线CD与平面ABD所成的角，即（1）中的∠CDE，显然为锐角，最大角为∠CDB＝∠CDA＝60°，故当E在AB上移动时，不存在E，使得DE⊥CD．故B错误．（3）对于C选项，将D看成顶点，则由D向底面作垂线，垂足为底面正三角形ABC的中心，不落在AB上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E，使得DE⊥平面ABC，故C错误．故选：D．【知识点】平面与平面垂直8.已知点P，Q在△ABC内，且＝，则等于（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据奔驰定理得出，进而得到PQ∥AB，再利用即可得答案．【解答】解：由题设结合奔驰定理得S△BCP：S△CAP：S△ABP＝1：2：3，S△BCQ：S△CAQ：S△ABQ＝2：3：5，所以，因此PQ∥AB，又，故．奔驰定理：已知 O 是△ABC 内的一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为 SA，SB，SC，则，反之也成立．证明如下：延长 OA 与 BC 边相交于点 D，则，因为＝，∵，∴，∴，∴．故选：A．【知识点】平面向量的基本定理 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。9.下列有关向量命题，不正确的是（　　）A．若||＝||，则＝ B．已知≠，且•＝•，则＝ C．若＝，＝，则＝ D．若＝，则||＝||且∥【答案】AB【分析】根据向量的概念与向量的模的概念逐一分析各个选项即可得解．【解答】解：向量由两个要素方向和长度描述，A错误；若∥，且与垂直，结果成立，当不一定等于，B错误；若＝，＝，由向量的定义可得＝，C正确；相等向量模相等，方向相同，D选项正确．故选：AB．【知识点】向量的概念与向量的模10.已知向量＝（﹣1，2），＝（2，1），若向量，则可使λ1λ2＜0成立的可能是（　　）A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）【答案】AC【分析】向量＝（2λ2﹣λ1，2λ1+λ2），结合选项进行分析即可求解．【解答】解：＝（﹣1，2），＝（2，1），∴向量＝（﹣λ1，2λ1）+（2λ2，λ2），＝（2λ2﹣λ1，2λ1+λ2），若使λ1λ2＜0成立，＝（1，0），则2λ1+λ2＝0，满足题意，＝（0，1），则2λ2﹣λ1＝0，不满足题意，＝（﹣1，0），则2λ1+λ2＝0，满足题意，＝（0，﹣1），则2λ2﹣λ1＝0，不满足题意，故选：AC．【知识点】平面向量的基本定理11.已知，下列说法正确的有（　　）A．f（x）的最小正周期是2π B．f（x）最大值为2 C．f（x）的图象关于对称 D．f（x）的图象关于对称【答案】BD【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：∵已知＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期是＝π，故A错误；显然，f（x）最大值为2，故B正确；令x＝，求得f（x）＝0，故C错误；令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得f（x）的图象关于对称，故D正确，故选：BD．【知识点】三角函数的周期性、二倍角的三角函数12.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．则（　　）A．CD⊥AN B．BD⊥PC C．PB⊥平面ANMD D．BD与平面ANMD所在的角为30°【答案】CD【分析】根据线面垂直的判定定理与性质定理，结合反证法，二面角的定义判断即可．【解答】解：A显然错误； 若BD⊥PC，由BD⊥PA，则BD⊥平面PAC，则BD⊥AC，显然不成立；C、PB⊥AN，又PB⊥NM，可得到C成立；D、连接DN，因为PB⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角在Rt△BDN中，，所以BD与平面ADMN所成的角为30°成立；故选：CD．【知识点】直线与平面垂直、直线与平面所成的角 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知sinθcosθ＝，则sin2θ＝　　，tanθ＝　　．【答案】【第1空】1
【第2空】1【分析】由已知结合二倍角的正弦公式可求sin2θ，然后结合特殊角的三角函数可求θ，进而可求tanθ．【解答】解：因为sinθcosθ＝，sin2θ＝2sinθcosθ＝1，所以2θ＝，k∈z，所以，k∈z，所以tanθ＝1．故答案为：1，1．【知识点】同角三角函数间的基本关系、二倍角的三角函数14.设复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝2，，则|z1﹣z2|＝　　． 【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理即可求解．【解答】解：设z1，z2在复平面内对应的向量为，z1+z2对应的向量为，如图所示，因为，所以|z1+z2|＝2，所以，又因为∠OZ1Z3+∠Z1OZ2＝180°，所以，所以＝1+4+1＝6，所以，故|z1﹣z2|＝．故答案为：．【知识点】复数的模15.如图，已知直三棱柱ADF﹣BCE，AD⊥DF，AD＝DF＝CD＝2，M为AB上一点，四棱锥F﹣AMCD的体积与该直三棱柱的体积之比为，则异面直线AF与CM所成角的余弦值为　　． 【分析】可设AM＝x，根据题意即可得出，解出x＝，然后过点M作MN∥BE，交EF于点N，并连接CN，从而得出∠CMN为异面直线AF与CM所成角，然后在△CMN中，根据余弦定理即可求出cos∠CMN的值．【解答】解：设AM＝x，则因为，VADF﹣BCE＝4，所以，解得，如图，过M作MN∥BE，交EF于点N，连接CN，则∠CMN为异面直线AF与CM所成角，因为，，解三角形可得：．故答案为：．【知识点】异面直线及其所成的角16.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是　　． 【分析】由向量的和差运算求出数量积•的表达式，再由||的值为1，可得﹣﹣＝0，再由（+﹣）2的展开可得|+﹣|＝3，再由绝对值不等式的定理可得||的取值范围，求出其最大值．【解答】解：由题意＝（﹣）•（﹣）＝﹣﹣+1＝1，所以﹣﹣＝0，由（+﹣）2＝+2+2+2（﹣﹣）＝9，所以|+﹣|＝3，又|+|﹣||≤|+﹣|≤|+|+||，所以2≤|+|≤4，又|+|2+|﹣|2＝2（||2+||2）＝16，所以0≤|﹣|，即0≤||，||的最大值是2，故答案为：2．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算 四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。17.已知复数z1满足：|z1|＝1+3i﹣z1．（Ⅰ）求z1（Ⅱ）若复数z2的虚部为2，且是实数，求．【分析】（Ⅰ）设z1＝x+yi（x，y∈R），代入|z1|＝1+3i﹣z1，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y的值，则z1可求；（Ⅱ）令z2＝a+2i，a∈R，由（Ⅰ）知，z1＝﹣4+3i，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a值，则答案可求．【解答】解：（Ⅰ）设z1＝x+yi（x，y∈R），则，故，解得，∴z1＝﹣4+3i；（Ⅱ）令z2＝a+2i，a∈R，由（Ⅰ）知，z1＝﹣4+3i，则＝，∵是实数，∴3a+8＝0，即a＝﹣．∴，则．【知识点】复数的运算18.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，∠BAC＝，点D在边BC上，且AD＝BD．（1）求sin∠BAD；（2）求AD的长．【分析】（1）由已知结合余弦定理及诱导公式可先求AD，（2）结合（1）中AD，然后结合余弦定理及同角平方关系可求．【解答】解：（1）设AD＝BD＝x，△ABC中，由余弦定理得，BC2＝＝8，故BC＝2，△ABD中，由余弦定理得，cos∠ADB＝＝，△ADC中，由余弦定理得，cos∠ADC＝＝，∴+＝0，整理得，解得，x＝或x＝0（舍），由余弦定理得，cos∠BAD＝＝，故sin∠BAD＝＝，（2）由（1）得，AD＝x＝．【知识点】余弦定理、正弦定理19.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣c）（cosA﹣sinAtanC）+b＝0．（1）求角B；（2）如图，若D为△ABC外一点，∠ADC＝+∠ABC，AD＝1，DC＝2，BC＝2，求cos∠BAC．【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换的应用求出结果；（2）利用余弦定理和正弦定理及三角函数的关系式的变换求出结果．【解答】解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣c）（cosA﹣sinAtanC）+b＝0．所以（2a﹣c）（cosAcosC﹣sinAsinC）+bcosC＝0，由正弦定理得：2sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA，由于0＜A＜π，所以cosB＝，所以B＝．（2）由（1）得：∠ADC＝，在△ACD中，AD＝1，DC＝2，，由余弦定理AC2＝AD2+CD2﹣2•AD•DC•cos∠ADC＝1+4+2＝7，所以AC＝．又在△ABC中，BC＝2，，所以由正弦定理得：，所以，又BC＜AC，所以∠BAC＜∠CBA，所以cos∠BAC＝．【知识点】余弦定理、正弦定理、两角和与差的三角函数20.已知向量，且函数．（1）求函数f（x）在时的值域；（2）设α是第一象限角，且，求的值．【分析】（1）由题意利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．（2）由条件求得cosα的值，可得sinα的值，从而求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵＝＝＝，∵，∴，∴，∴，则f（x）的值域为．（2）∵，∴，则，即，又α为第一象限的角，则，＝＝＝＝＝﹣5．【知识点】运用诱导公式化简求值、平面向量数量积的性质及其运算、二倍角的三角函数21.四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．【分析】（1）由V＝PE•S正方形ABCD，代入相应数据，进行运算，即可；（2）由PE⊥平面ABCD，知∠PFE＝45°，进而有PE＝FE＝4，PB＝，由AD∥BC，知∠PCB或其补角即为所求，可证BC⊥平面PAB，从而有BC⊥PB，最后在Rt△PBC中，由tan∠PCB＝，得解．【解答】解：（1）∵△PAB为等边三角形，且E为AB中点，AB＝4，∴PE＝2，又PE⊥平面ABCD，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝PE•S正方形ABCD＝×2×42＝．（2）∵PE⊥平面ABCD，∴∠PFE为PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°，∴△PEF为等腰直角三角形，∵E，F分别为AB，CD的中点，∴PE＝FE＝4，∴PB＝＝，∵AD∥BC，∴∠PCB或其补角即为PC与AD所成角，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，在Rt△PBC中，tan∠PCB＝＝＝，故PC与AD所成角的大小为arctan．【知识点】直线与平面所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，在四边形ABCD中，||＝4，•＝12，E为AC的中点．（1）若cos∠ABC＝，求△ABC的面积S△ABC；（2）若＝2，求•的值．【分析】（1）容易求出sin∠ABC＝，并且可求出的值，根据三角形面积公式即可求出△ABC的面积；（2）可以E为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并可得到A（﹣2，0），C（2，0），并设D（x，y），根据条件可求得E点坐标，从而求出的坐标，进行数量积的坐标运算即可求得x2+y2＝4，这样便可求出的值．【解答】解：（1）∵，∠ABC∈（0，π）；∴；∵＝；∴；∴＝；（2）以E为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系： 则A（﹣2，0），C（2，0），设D（x，y）；由，可得B（﹣2x，﹣2y）；则＝12；∴x2+y2＝4；∴．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算