第八章 数学建模（能力提升）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（北师大2019版必修第一册）

第八章  数学建模能力提升

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．有一组数据，如表所示：

下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（    ）．

A．指数函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数

【答案】C

【解析】

随着自变量每增加函数值大约增加，

函数值的增量几乎是均匀的，

故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律．

故选．

2．某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式为（，），若每台产品的售价为万元，则当产量为台时，生产者可获得的利润为（   ）

A．万元 B．万元 C．万元 D．万元

【答案】A

【解析】

∵总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式为（，），且产量为台

∴总成本为万元

∵每台产品的售价为万元

∴当产量为台时，生产者可获得的利润为万元

故选A

3．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买千克甲种蔬菜与千克乙种蔬菜所需费用之和大于元，而购买千克甲种蔬菜与千克乙种蔬菜所需费用之和小于元．设购买千克甲种蔬菜所需费用为元，购买千克乙种蔬菜所需费用为元，则（    ）．

A． B．

C． D．，大小不确定

【答案】C

【解析】

设甲、乙两种蔬菜的价格分别为，元，

则，，，

两式分别乘以，，

整理得，

即，

所以．

故选．

4．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（   ）

A．一次函数模型 B．二次函数模型

C．指数函数模型 D．对数函数模型

【答案】A

【解析】

【分析】

观察图表中函数值随自变量变化规律，得到：随着自变量每增加1个单位，函数值增加2个单位，函数值是均匀增加的，由此可以确定该函数模型是一次函数模型.

【详解】

根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，

因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型，

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关根据实际问题选择函数模型的问题，在解题的过程中，需要认真分析题中所给的表格，分析所给的数据之间的关系，从而得到结果，属于简单题目.

5．向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度随时间变化的大致图像是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

因为容器中间凸，所以匀速注水时，开始和结束时水位高度变化快中间时水位高度变化慢，

可知选C.

【详解】

结合容器的形状，可知一开始注水时，水高度变化较快当水位接近中部时变慢并持续一段时间，

接近上部时，水位高度变快，故选C.

【点睛】

本题主要考查了对函数概念的理解及函数图象的认识，结合生活实践，属于中档题.

6．某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10％，但数学成绩每次都比上次降低了10％，期末时这两科分值恰好均为m分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果（    ）

A．提高了 B．降低了

C．不提不降（相同） D．是否提高与m值有关系

【答案】B

【解析】

设期中考试数学和英语成绩为a和b,则, ,所以总成绩比期中降低了,故选B.

7．某市家庭煤气的使用量和煤气费(元) 满足关系，已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：

若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（   ）元

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意得：C=4，

将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得： ∴A=5，B= ，故x=20时：f（20）=4+（20﹣5）=11.5.

故选：C．

点睛：这是函数的实际应用题型，根据题目中的条件和已知点得到分段函数的未知量的值，首先得到函数表达式，再根据题意让求自变量为20时的函数值，求出即可。实际应用题型，一般是先根据题意构建模型，列出表达式，根据条件求解问题即可。

8．甲、乙二人同时从地赶住地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步；乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车，最后两人同时到达地．已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，且两人骑车的速度均大于跑步的速度．现将两人离开地的距离与所用时间的函数关系用图象表示如下：

则上述四个函数图象中，甲、乙两人运行的函数关系的图象应该分别是（   ）

A．图①、图② B．图①、图④ C．图③、图② D．图③、图④

【答案】B

【解析】

甲先骑自行车到中点后改为跑步，知前半程的速度大于后半程的速度，则前半程的图线的斜率大于后半程图线的斜率．乙是先跑步，到中点后改为骑自行车，则前半程的图线的斜率小于后半程图线的斜率．因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，则甲前半程的图线的斜率大于乙后半程图线的斜率，所以甲是①，乙是④，故选B.

9．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此排除C，D，再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A正确．

10．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（    ）

A．一次函数模型 B．二次函数模型

C．对数函数模型 D．指数函数模型

【答案】D

【解析】

【分析】

由变量可取负数，故函数模型暂排除对数函数模型；取点（0，1），（1，4），（2，16），设出函数解析式，代入其他对应值验证即可得到结论.

【详解】

由变量可取负数，故函数模型暂排除对数函数模型；

取点（0，1），（1，4），（2，16），设一次函数y=kx+b（k≠0），则，

解得b=1，k=3，即y=3x+1，而当x=2时，y=7，所以不是一次函数模型；

设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），则 解得 ，

即 当x=-1时，y＝7，故不满足题意；

设指数函数y=ax（a＞0，a≠1），则 ，∴a=4，解得指数函数y=4x，

代入其他x值，验证：f（-1）=4-1=0.25接近0.26；f（0）=1接近1.11；f（1）=4接近3.96；f（3）=43=64接近63.98．

由上面验证可知，故选D.

【点睛】

选择函数模型的常用方法：①绘出数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象；②设函数的一般表达式，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律.

11．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：

现有如下4个模拟函数：

①y＝0.6x﹣0.2；②y＝x2﹣55x+8；③y＝log2x；④y＝2x﹣3.02．

请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反应这些数据的规律，应选（　　）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律．

【详解】

根据表中数据，画出图象如下：

通过图象可看出，y＝log2x能比较近似的反应这些数据的规律．

故选：C．

【点睛】

本题考查画函数图象的方法：列表，描点，连线，熟悉对数函数、指数函数、一次函数和二次函数的图象是关键．

12．图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是（   ）

A．捕食者和被捕食者数量与时间以年为周期

B．由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少

C．捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述

D．捕食者的数量在第年和年之间数量在急速减少

【答案】C

【解析】

分析：由题意可知：捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，进而得到答案

详解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．

可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，

捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少，正确；

由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少，

故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，

捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述，显然不正确；

故选：C．

点睛：本题考查的知识点是函数的图象的识别，本题比较抽象，属于中档题．

13．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格与时间满足关系，销售量与时间满足关系则这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值为______.

【答案】176

【解析】

【分析】

根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得日销售额的最大值，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，设日销售额为，

①当，时，，故当或11时，最大值为；

②当，时，，

故当时，最大值为，

综合①②知，当或11时，日销售额最大，最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中结合分段函数的解析式和二次函数图象与性质，分别求得函数的最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

14．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，

有人根据函数图像提出关于这两个旅行者的如下信息：（）骑自行车比骑摩托车者早出发，晚到；（）骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；（）骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者，其中正确信息的序号__________．

【答案】（）（）（）

【解析】

看时间轴可知骑自行者出发，看时间轴可知自行者0h出发，到达乙地，骑摩托者出发，到达乙地，所以骑自行者比骑摩托者早出发，晚到，故（）正确；

骑摩托者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，故（）正确；

两条曲线的交点的横坐标是，即在时骑摩托车者追上可骑自行车者，故（）正确．

综上所述，故正确信息的序号是：（）（）（）．

15．《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文．

【答案】6

【解析】

【分析】

设肉价是每两文，根据题意列出方程可解得答案.

【详解】

设肉价是每两文，由题意得，解得，即肉价是每两文.

【点睛】

本题考查中国古代著作中的数学问题，属数学文化，正确地理解题意是解题关键.

16．李老师每天开车上班，10月李老师共加了两次油，每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米均耗油量为_______升.

【答案】8

【解析】

【分析】

第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，得出耗油量为48升，而这段时间内行驶的里程数35600-35000=600千米，通过计算即可得出答案

【详解】

因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48升，

而这段时间内行驶的里程数35600-35000=600千米，所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为48÷(600÷100)=8升

答案为：8

【点睛】

本题考查根据题意从表格提取信息的能力，是一道函数应用类题目，从统计图中获取信息是解题关键

17．用水清洗一份蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数.

（1）求的值，并解释其实际意义；

（2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.

【答案】（1），没有用水清洗的情况下蔬菜上残留的农药量；（2）时，清洗一次残留的农药量更少；时，清洗一次或两次残留的农药量一样；时，清洗两次残留的农药量更少.

【解析】

【分析】

（1），表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量保持原样；

（2）先设仅清洗一次，计算出残留在蔬菜中的农药量，再求分清洗两次后，农药的残留量，比较二者的大小关系，即可得出结论.

【详解】

（1），其实际意义为没有用水清洗的情况下蔬菜上残留的农药量；

（2），，，

，

①，即时，，

此时清洗两次残留的农药量更少，

②，即时，，

此时清洗一次或两次残留的农药量一样，

②，即时，，

此时清洗一次残留的农药量更少，

综上，时，清洗一次残留的农药量更少；

时，清洗一次或两次残留的农药量一样；

时，清洗两次残留的农药量更少.

【点睛】

本题考查函数模型的选择与应用，理解函数解析式的意义及比较大小等知识，意在考查数学建模、数学计算能力，属于中档题.

18．湖北省第二届（荆州）园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）

（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.

【答案】（1）（2）当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元

【解析】

【分析】

（1）先阅读题意，再建立起年利润关于年产量的函数解析式即可；

（2）利用配方法求二次函数的最值可得当时，即，再利用重要不等式可得当即时，再比较两段上的最大值即可得解.

【详解】

解：（1）.

（2）当时，

∴.

当时，

当且仅当即时等号成立，∴.

∵，

∴当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元.

【点睛】

本题考查了分段函数及分段函数的最值，主要考查了重要不等式，重点考查了阅读能力及解决实际问题的能力，属中档题.

19．养鱼场中鱼群的最大养殖量为，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比，比例系数为．注：

（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

（2）求鱼群年增长量的最大值；

（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求的取值范围．

【答案】（1）（2）.（3）.

【解析】

【分析】

（1）鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比，比例系数为，根据空闲率的公式求出空闲率的表达式，即可得到关于的函数关系式；

（2）结合（1），使用配方法，易分析出鱼群每年增长量的最大值；

（3）由于，结合（2）的结论，解不等式，即可得到答案。

【详解】

（1）由题意得，空闲率为，由于鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比，比例系数为，所以.

（2）由（1）得：.

当时，，

即鱼群年增长量的最大值为.

（3）由题意可得，，即，.又，.

的取值范围是.

【点睛】

本题解题的关键是理解题意，将实际问题转化为常规的数学问题—二次函数问题，然后利用二次函数的知识解决该实际问题，属于中档题。

20．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角（阴影三角形）被锈蚀，其中米，米，为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上.

（1）设米，米，将表示成的函数，并求出的取值范围；

（2）求矩形面积的最大值.

【答案】（1），；（2）最大值为平方米.

【解析】

【分析】

（1）作于点，可得，，且，在中，利用，即可求得答案.

（2）设矩形的面积为，得到，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案.

【详解】

（1）如图所示，作于点，则，，

其中，

在中，，即，

所以，其中.

（2）设矩形的面积为，

则，

根据二次函数的性质，可得当时，单调递增，

所以当米时，矩形的面积最大，最大值为平方米.

故矩形面积的最大值为平方米.

【点睛】

本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，得到函数的解析式，结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

21．某企业生产某产品，年产量为万件，收入函数和成本函数分别为（万元），（万元），若税收函数（万元），（其中常数为税率）.

（1）设，当年产量为何值时，该产品年利润（纳税后）有最大值，并求出最大值；

（2）若该企业目前年产量为2万件，通过技术革新等，年产量能够有所增加，为使在增加产量的同时，该企业年利润也不断增加，求政府对该产品征税时的取值范围.

【答案】（1）时，（万元）（2）政府对该产品征税时的取值范围是

【解析】

【分析】

（1）当时，用总收入减去成本和税收，求得年利润的表达式，并利用配方法求得最大值，以及此时对应的值.（2）总收入减去成本和税收表示出年利润，利用配方法求得的对称轴，结合二次函数的开口方向和单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】

（1）时，时，（万元）

（2），由题意得，当时，是增函数，即政府对该产品征税时的取值范围是

【点睛】

本小题主要考查实际应用中利润最大值的计算问题，考查二次函数最值的求法，考查二次函数单调性，属于中档题.

22．“菊花”型烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）存在函数关系，并得到相关数据如表：

（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度与时间的变化关系：，，，确定此函数解析式并简单说明理由；

（2）利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求此时烟花距地面的高度．

【答案】（1）；（2）烟花冲出后是爆裂的最佳时刻，此时距地面高度为25米.

【解析】

试题分析：（1）由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y2可能满足，设h（t）=at2+bt+c，利用待定系数法将表格所提供的三组数据代入，列方程组求出函数解析式；
（2）由二次函数的图象与性质，求出即可．

试题解析：

（1）由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有可能满足，故选取该函数．

设，有解得

所以

（2），得烟花冲出后是爆裂的最佳时刻，此时距地面高度为25米．