江苏省灌云高级中学2021-2022学年高二12月阶段考试数学含答案

灌云中学高二阶段性测试数学试卷

满分：150分时间：120分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．数列－1，3，－5，7，－9，，的一个通项公式为（　　）

A．  B． C． D．

2．平行直线l1：3x－4y＋6＝0与l2：6x－8y＋9＝0之间的距离为（　　）

A．   B．    C．3    D．

3．已知圆心为(－2，1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是（　　）

A．     B．

C．     D．

4．“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（　　）

A．    B． 

C．    D．

5．已知函数，则（　　）

A．e    B．－e    C．e2    D．－e2

6．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（　　）

A．1 B．－1 C． D．

7．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数有极大值和极小值

B．函数有极大值和极小值

C．函数有极大值和极小值

D．函数有极大值和极小值

8．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点为抛物线上一点．以M为圆心的圆经过原点O，且与抛物线的准线相切，切点为H．线段HF交抛物线于点B，则（　　）

A．   B．    C．    D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．以下四个命题表述正确的有（　　）

A．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0 

B．直线（3＋m）x＋y－3－m＝0（m∈R）与圆x2＋y2＝4一定相交 

C．圆x2＋y2＝4上存在2个点到直线l：的距离都等于3 

D．曲线C1：x2＋y2＝4与曲线C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝16

10．等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S7＝S12，则下列结论中正确的是（　　）

A．       B．S19＝0 

C．|a6|＜|a15|       D．当d＞0时，a6＋a15＞0 

11．过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（　　）

A．b＜a        B．离心率  

C．b＞a        D．渐近线方程为y＝±2x 

12．若过点P（a，0）可以作曲线y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（　　）

A．2        B．－2    

C．－4        D．－6

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知是的极小值点，那么函数的极大值为______．

14．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第20项为______．

15．数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若∃n∈N*使得成立，则实数k的取值范围是______．

16．已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为6，则a=______；若过点向抛物线C作两条切线，切点分别为A、B，则______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知直线：．

（1）若直线在x轴上的截距为－2，求实数a的值；

（2）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离．

18．（本小题满分12分）

设Sn是正项数列{an}的前n项和，且．

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

19．（本小题满分12分）

已知点，，圆C：，直线l过点N．

（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；

（2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，

证明：k1＋k2为定值．

20．（本小题满分12分）

设椭圆C：的焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，点M的坐标为．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

21．（本小题满分12分）

一根长为L的铁棒AB欲水平通过如图所示的走廊（假定通过时贴着内侧的圆弧墙壁，如图），该走廊由宽度为1m的平行部分和一个半径为2m的四分之一圆弧转角部分（弧CD段，圆心为O）组成．

（1）设∠TOS＝θ，试将L表示为θ的函数；

（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若在上单调递减，求a的取值范围；

（2）证明：当a＝1时，f（x）在上有且仅有一个零点．

灌云中学高二阶段性测试数学试卷参考答案

满分：150分时间：120分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．数列－1，3，－5，7，－9，，的一个通项公式为（　　）C

A．  B． C． D．

2．平行直线l1：3x－4y＋6＝0与l2：6x－8y＋9＝0之间的距离为（　　）B

A．   B．    C．3    D．

3．已知圆心为(－2，1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是（　　）B

A．     B．

C．     D．

4．“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（　　）A

A．    B． 

C．    D．

5．已知函数，则（　　）D

A．e    B．－e    C．e2    D．－e2

6．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（　　）A

A．1 B．－1 C． D．

7．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)D

A．函数有极大值和极小值

B．函数有极大值和极小值

C．函数有极大值和极小值

D．函数有极大值和极小值

8．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点为抛物线上一点．以M为圆心的圆经过原点O，且与抛物线的准线相切，切点为H．线段HF交抛物线于点B，则（　　）B

A．   B．    C．    D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．以下四个命题表述正确的有（　　）BD

A．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0 

B．直线（3＋m）x＋y－3－m＝0（m∈R）与圆x2＋y2＝4一定相交 

C．圆x2＋y2＝4上存在2个点到直线l：的距离都等于3 

D．曲线C1：x2＋y2＝4与曲线C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝16

10．等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S7＝S12，则下列结论中正确的是（　　）BCD

A．       B．S19＝0 

C．|a6|＜|a15|       D．当d＞0时，a6＋a15＞0 

11．过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（　　）BC

A．b＜a        B．离心率  

C．b＞a        D．渐近线方程为y＝±2x 

12．若过点P（a，0）可以作曲线y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（　　）AD

A．2        B．－2    

C．－4        D．－6

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知是的极小值点，那么函数的极大值为______．18

14．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第20项为______．193

15．数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若∃n∈N*使得成立，则实数k的取值范围是______．

16．已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为6，则a=______；若过点向抛物线C作两条切线，切点分别为A、B，则______．49

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知直线：．

（1）若直线在x轴上的截距为－2，求实数a的值；

（2）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离．

解：（1）若直线：，令，求得在x轴上的截距为，所以实数．

（2）若直线：与直线平行，

则，求得，故，即，

则两平行直线与之间的距离为．

18．（本小题满分12分）

设Sn是正项数列{an}的前n项和，且．

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

解：（1）当n＝1时，由条件可得，解出a1＝3．

（2）又4sn＝an2＋2an－3①，可得4sn－12an－3 （n≥2）②，

①－②4an＝an22an－2an－1，即，

所以：（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0，

因为：an＋an－1＞0，∴an－an－1＝2（n≥2），

所以：数列{an}是以3为首项，2为公差之等差数列，

所以：an＝3＋2（n－1）＝2n＋1．

19．（本小题满分12分）

已知点，，圆C：，直线l过点N．

（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；

（2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，

证明：k1＋k2为定值．

解：（1）若直线的斜率不存在，则l的方程为，此时直线l与圆相切，故符合条件；

若直线l的斜率存在，设斜率为，其方程为，即，

由直线l与圆相切，圆心到的距离为1，则，解得，

所以直线的方程为，即，

综上所述，直线的方程为或；

（2）证明：由（1）可知，与圆有两个交点时，斜率存在，此时设的方程为，

联立，消去可得，

则△，解得，

设，，，，则，，

所以，

将代入上式整理得，故为定值．

20．设椭圆C：的焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，点M的坐标为．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

解：（1）由已知得，l的方程为．由已知可得，点A的坐标为或．

所以AM的方程为或．

（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0．

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB．

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，

则，直线MA、MB的斜率之和为．

由得．

将代入得．

所以，．

则．

从而，故MA、MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB．

综上，∠OMA=∠OMB．

21．（本小题满分12分）

一根长为L的铁棒AB欲水平通过如图所示的走廊（假定通过时贴着内侧的圆弧墙壁，如图），该走廊由宽度为1m的平行部分和一个半径为2m的四分之一圆弧转角部分（弧CD段，圆心为O）组成．

（1）设∠TOS＝θ，试将L表示为θ的函数；

（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．

解：（1）如图，过作于，过作于，

，，．

同理，．

所以：

（2）设，因为，所以：．

，所以：

，

所以：在上单调递减

所以：．

则最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过，否则铁棒无法通过，也就说能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若在上单调递减，求a的取值范围；

（2）证明：当a＝1时，f（x）在上有且仅有一个零点．

解：（1）由题意，，因为x＋1＞0，

所以，当时恒成立，

令，，则，

因为，，

所以，在上单调递减，所以，

所以a≤0．

（2）证明：当a＝1时，，

当时，－cosx＞0，，所以：，

单调递增，，，

所以在上有且仅有一个零点x0；

当时，，

所以在上无零点；

综上所述，有且仅有一个零点．