初三数学寒假讲义 第5讲.中考第一轮复习一次函数与反比例 教师版教案

这是一份初三数学寒假讲义 第5讲.中考第一轮复习一次函数与反比例 教师版教案，共19页。教案主要包含了编写思路等内容，欢迎下载使用。
中考第一轮复习
一次函数与反比例函数
5

中考大纲剖析


考试内容
考试要求层次
A
B
C
平面直角坐标系
认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；了解特殊位置的点的坐标特征
能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置和变化；会由点的特殊位置，求点的坐标中相关字母的范围；会求已知点到坐标轴的距离；能用不同的方式确定物体的位置

函数及其图象
了解常量和变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法；能举出函数的实例；会确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求函数值
能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系
能探索具体问题中的数量关系和变化规律；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步预测；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析
一次函数
理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质
会根据已知条件确定一次函数解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解
能用一次函数解决实际问题
反比例函数
能结合具体情境了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质
能根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题

本讲结构



【编写思路】一次函数和反比例函数在中考中的位置大都是第17,18题，难度不大. 在模拟考中有可能会涉及到反比例函数的面积问题。

本讲分三个模块，第一模块为一次函数的图象及性质，例1的几个小题主要
运用一次函数的性质解决一次函数的变换，理解系数对图象的影响；

第二模块为反比例函数，本模块主要让学生掌握反比例函数的图像和性质以及k的几何意义（例2）；

第三模块是一次函数与反比例函数综合，是本讲的重难点所在，主要有四类题型：一是一次函数的反比例函数的图像与性质综合（例3）；二是解析式或点的坐标的确定：知点求线、知线求点（例4）；三是函数与方程、不等式综合（例5）；四是函数与几何综合（面积问题）（例6、例7）.

模块一 一次函数的图象及性质



知识导航


一次函数图象的性质


示意图（草图）
经过的象限
变化趋势
性质（增减性）



一、三
从左向右上升
随的增大而增大，随的减小而减小


一、二、三


一、三、四



二、四
从左向右下降
随的增大而减小，随的减小而增大


一、二、四


二、三、四


一次函数图象的平移、对称和旋转

变换
平移
对称
旋转
关于轴
关于轴
关于垂直于坐标轴的直线
旋转图象上的两个点，由旋转后的两点坐标确定解析式
方法
⑴值不变，平移图象上的一个点；
⑵值不变，“上加下减，左加右减”
⑴对称图象上的两个点；
⑵均变为相反数
⑴对称图象上的两个点；
⑵变为相反数，不变
对称图象上的两个点，由对称后的两点坐标确定解析式

一些特殊直线



过点
过点
大致图象
等
等
等
举例
，等
等
等
重要性质
⑴与或平行
⑵与轴的夹角为，并与坐标轴围成等腰直角三角形
互为相反数
即


夯实基础


【例1】 ⑴点向下平移个单位后的坐标是 ；
直线向下平移个单位后的解析式是 ；
直线向右平移个单位后的解析式是 ．

⑵如果一条直线经过不同三点，那么直线经过（ ）
A．二、四象限 B．一、二、三象限
C．二、三、四象限 D．一、三、四象限

⑶如图所示，函数和的图象相交于（，），
（2，2）两点．当时，x的取值范围是（ ）
A．x＜ B．＜x＜2
C．x＞2 　　　D． x＜或x＞2

⑷设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组、的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）


⑸在平面直角坐标系中，已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C
（0，n）是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
则点C的坐标是 ( )
A.（0，） B.（0，） C.（0，3） D.（0，4）
【解析】 ⑴ ，． ．
⑵ 设直线的解析式为，因点，在直线上，
∴，∵，解得：，
故直线的解析式为：，
又∵点在直线上，
∴，得，即直线的解析式为
∴直线经过二、四象限．选A．
⑶ D. ⑷ B. ⑸ B.



模块二 反比例函数
定 义
示例剖析
直接开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解


或




一、反比例函数的性质

定 义
示例剖析
反比例函数(为常数，)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．


当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小


当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．


对称性：1．图象关于直线与直线轴对称
2． 图象关于原点中心对称

二、与反比例函数有关的面积问题

定 义
示例剖析
反比例函数(为常数，)图象上的任意一点的横纵坐标之积等于比例系数k．



；



．


∵

∴．



点与，点与分别关于原点对称，所以四边形为平行四边形．
从而．


①；
②的值为定值；
③当为中点，则必为中点；
④当为的等分点时，必为的等分点．

能力提升

【例2】 ⑴函数的图象如图所示，则结论：
①两函数图象的交点的坐标为；
②当时，；
③当时，；
④当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而
减小．
其中正确结论的序号是 ．


⑵如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别与坐标
轴平行，点C在反比例函数的图象上.若点A的坐标
为，则k的值为_________.



⑶ 如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现
将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 （用含n的代数式表示） （2012绍兴）
【解析】 ⑴ ①③④． ⑵1或.
⑶ 设反比例函数解析式为，则①与BC，AB平移后的对应边相交；
与AB平移后的对应边相交的交点的坐标为（2，1.4），
则，解得，
故反比例函数解析式为．
则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：；
②与OC，AB平移后的对应边相交；
，
解得．
故反比例函数解析式为．
则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：．
故第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为或．
故答案为：或．
模块三 一次函数与反比例函数综合


知识导航

解决面积的几种方法：
1一式BCE 、公式法：三角形、特殊四边形等面积公式；
2、割补法：通过“割补”转化为易求图形面积的和或差；
3、容斥法
4、等积变换法：如同底等高、平行线法
5、铅垂线法：如右图所示，称为铅垂高， 称为水平宽.
夯实基础

【例3】 ⑴关于的函数和，它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．

y
1
x
O
A
B
C
⑵如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线(k≠0)与有交点，则k的取值范围是
A． B．
C． D． (2013平谷一模)

【解析】 ⑴ A．⑵C

【例4】 ⑴直线与双曲线交于两点，则 ．
⑵ 如图，在平面直角坐标系中，已知直线：，双曲线，在上取一点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交于点，请继续操作并探究：过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交于点，…，这样依次得到上的点，，，…，，….记点的横坐标为，若，则= ， ；若要将上述操作无限次地进行下云，则不能取的值是 .
（2013北京）
【解析】⑴ 联立直线和双曲线得：，则，∴，
又，则．
⑵ 根据求出；
根据求出；
根据求出；
根据求出；
根据求出；
根据求出；
至此可以发现本题为循环规律，3次一循环，∵；
∴；
重复上述过程，可求出、、、、、、；
由上述结果可知，分母不能为，故不能取和.
【点评】找规律的题目，规律类型有两种类型，递进规律和循环规律，对于循环规律类型，
多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的.

能力提升

【例5】 如图，直线与双曲线相交于，两点．
⑴ 求直线和双曲线的解析式；
⑵ 若，，为双曲线上的三点，且，请直接写出，，的大小关系式；
⑶ 观察图象，请直接写出不等式的解集．
（2013四中练习）
【解析】⑴ ，；⑵ ；⑶ 或

【例6】 如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过A(1，4)，B(a，b)，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作y轴垂线，垂足为，连接、、．
⑴若的面积为4，求点B的坐标；
⑵若，当时，求直线的函数的解析式．
【解析】 ⑴函数，是常数）图象经过，
．
如图，设交于点，据题意，可得点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，
，，．
由的面积为4，即，
得，点的坐标为
⑵ ，当时，有两种情况：
①当时，四边形是菱形，
由AE=CE，BE=DE得，，，得．
点的坐标是（2，2）．
设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，
得解得
直线的函数解析式是．
②当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，
则，，点的坐标是（4，1）．
设直线的函数解析式为，把点的坐标代入
得解得
直线的函数解析式是．
综上所述，所求直线的函数解析式是或探索创新


y
O
·
A
D
x
B
C
E
N
M
·
【例7】 已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动 点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过作
NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．
⑴若点D坐标是（，0），求A、B两点坐标及k的值．
⑵若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的
解析式．
⑶设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，
MB=qMQ，求p－q的值．
【解析】 ⑴ ∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2．
∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．
从而．
⑵ ∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）．

y
O
·
A
x
B
M
·
Q
A1
P
M1
S矩形DCNO，S△DBO=，S△OEN =，
∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．∴．
由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1），
∴C（－4，－2），M（2，2）．设直线CM的解析式是，
由C、M两点在这条直线上，得
解得．
∴直线CM的解析式是．
⑶ 如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．
设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是
．同理，
∴．
思维拓展训练（选讲）


训练1. 平面直角坐标系内有两点和，点在直线上运动．
⑴ 若点横坐标为，求以直线为图象的函数解析式（直接写出结论）
⑵ 若点在第四象限，作直线于，作直线于，求证：
⑶ 若点在第一象限，仍作直线的垂线段、，试探究线段、、所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．

【解析】 ⑴ 设直线函数解析式为

当为时，，的坐标为
∵直线过原点，∴解析式为

⑵ 由题意可证
∴，
∴

⑶ 如图，证明
可得结论


训练2. 如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数
的图象的一个交点为A（2，3）．
⑴分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
⑵过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且
△PBC的面积等于18，求P点的坐标．
【解析】 ⑴把A（2，3）代入，∴m=6.
∴.
把A（2，3）代入y=kx+2，
∴. ∴.
∴
⑵令,解得x=-4，即B（-4，0）.
∵AC⊥x轴，∴C（2，0）.
∴ BC=6.
设P(x,y)，
∵S△PBC==18，
∴y1=6或y2=-6.
分别代入中，
得x1=1或x2=-1.
∴P1（1，6）或P2（-1，-6）

训练3. 如图，已知平面直角坐标系中三点，，（），连结，过点作交过点的直线于点．
⑴ 求与之间的函数关系式；
⑵ 当取最大整数时，求与的交点的坐标．

【解析】 ⑴ 在Rt△POB中，
∵
∴
同理：
过C作CEy轴于E，则E（0，y）．
∴BE=2-y，CE=2．
在Rt△BCE中，
∵PCPB，∴PB2+PC2=BC2．
∴
∴
⑵ ∵x为最大整数，x