5.1第一课时　复数的概念及其几何意义 -【上好课】2020-2021学年高一数学同步备课系列（北师大2019必修第二册）练习题

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5.1第一课时　复数的概念及其几何意义[A级　基础巩固]1．复数（i为虚数单位）的虚部是(    )A．-1 B．1 C．-i D．i【答案】A【分析】先对复数化简可求得结果.【详解】解：因为，所以复数的虚部为，故选：A【点睛】此题考查的是复数的运算和概念，属于基础题.2．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（    ）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.【详解】由复数的除法运算化简可得，因为是纯虚数，所以，∴，故选：A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.3．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据共轭复数定义可得的值，再由复数乘法运算即可得解.【详解】因为与互为共轭复数，所以，由复数乘法运算可得，故选：C.【点睛】本题考查了共轭复数的概念，复数的乘法运算，属于基础题.4．下列命题：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；②若，则z1＝z2＝0；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是（    ）A．0 B．1C．2 D．3【答案】A【分析】利用特列法可判断①②③都不正确.【详解】在①中时，不为纯虚数，故①错误；在②中时，，但，故②错误；在③中，时，不是纯虚数，故③也是错误的.故选：A.5．在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则角的终边在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由对应复平面的象限得出且，再结合三角函数的定义作出判断.【详解】因为复数对应的点位于第二象限，所以且则角的终边在第四象限故选：D6．已知，则______.【答案】.【分析】利用来计算，其中分别为实部与虚部.【详解】，故答案为：.【点睛】本题考查复数的模长计算问题，属于基础题.7．若复数z满足，则z的模是______．【答案】【分析】根据复数的除法运算，即可求出复数，由此即可求出复数的模.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算和复数的模的运算，属于基础题.8．下列四个命题：①两个复数不能比较大小；                         ②若复数满足，则；③若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应；  ④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.其中真命题的个数是________.【答案】【分析】根据虚数不能比大小可判断①的正误；取可判断②的正误；取可判断③的正误；根据纯虚集、虚数集、实数集三者之间的关系可判断④的正误.【详解】对于①，两个虚数不能比大小，①错误；对于②，取，则，但，②错误；对于③，当时，，③错误；对于④，实数集是纯虚数集相对复数集的补集的子集，若命题④正确，则实数集为虚数集的子集，矛盾，④错误.故答案为：.9．若复数z＝(m2＋m－2)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【答案】.【分析】先写出＝(m2＋m－2)-(4m2－8m＋3)i(m∈R)，进而利用实部和虚部均大于0列不等式求解即可.【详解】由题意得＝(m2＋m－2)-(4m2－8m＋3)i(m∈R)，对应的点位于第一象限，所以所以所以即，故所求实数m的取值范围为.10．已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．（1）若复数z是实数，求实数m的值；（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；（4）若复数z是0，求实数m的值．【答案】（1）m＝5或－3；（2）{m|m≠5且m≠－3}；（3）m＝－2；（4）m＝－3.【分析】（1）利用虚部等于零列方程求解即可；（2）利用虚部不等于零列不等式求解即可；（3）利用实部等于零且虚部不等于零求解即可；（4）利用实部等于零且虚部等于零求解即可【详解】（1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，所以m＝5或－3.（2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．所以m≠5且m≠－3.所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．（3）当时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.（4）当时，复数z是0，所以m＝－3.[B级　综合运用]1.设，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得，进而求模长即可.【详解】因为，所以，解得，所以.故选：B.2．已知，，则z等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数模的计算公式以及复数相等即可求解.【详解】设，则，所以，解得，，即.故选：D3．设复数满足，则下列说法正确的是（    ）A．的虚部为 B．为纯虚数C． D．在复平面内，对应的点位于第二象限【答案】C【分析】由已知化简出，可判断出选项A和B，利用模长公式求值可判断选项C，求出可判断出选项D．【详解】由，得，的虚部为，不是纯虚数.，在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C.4．满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（    ）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线【答案】B【分析】设，求出，判断出点的轨迹是圆.【详解】设，由可得：，两边平方得：，∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆.故选：B【点睛】方法点睛：复数范围内的轨迹问题的一般方法：设复数的一般形式 运用复数的求模公式把复数问题实数化，从而利用实数范围内的有关轨迹知识来解决.5．（多选题）以下为真命题的是（    ）A．纯虚数的共轭复数等于 B．若，则C．若，则与互为共轭复数 D．若，则与互为共轭复数【答案】AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD选项.【详解】解：对于A，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A正确；对于B，由，得出，可设，则，则，此时，故B错误；对于C，设，则，则，但不一定相等，所以与不一定互为共轭复数，故C错误；对于D，，则，则与互为共轭复数，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.6．已知复数满足，则的最小值为________ .【答案】【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设，由得，所以，即点是圆心为，半径为1的圆上的动点，，表示的是点与点的距离，所以其最小值为点到圆心的距离减去半径，即，故答案为：7．若是虚数单位，则__________.【答案】0【分析】利用虚数单位的周期性即可求解.【详解】因为是虚数单位，所以，，，，所以，所以故答案为：08．已知复数.（1）若对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；（2）若是纯虚数，求m的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）实部大于零且虚部小于零得出m的范围；（2）实部等于零且虚部不为零得出m的范围；【详解】（1）由题意可得，解得（2）由题意可得，解得 [C级　拓展探究]1．根据的几何意义讨论下列各式的几何意义.（1）；（2）.【答案】（1）圆心为，半径为2的圆；从到线段上的点【分析】将已知复数转化为复平面内对应的点，再结合点与点的位置关系求解即可【详解】设，则对应复平面内的点为，（1）则的几何意义为：到点的距离为2，即圆心为，半径为2的圆；（2）则的几何意义为：到点的距离与的距离之和为2，即从到线段上的点.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题2．已知复数（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值【答案】（1）1；（2），.【分析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．【详解】解：（1）为纯虚数，且（2）在复平面内的对应点为由题意：，．即实数的取值范围是．而，当时，．3．已知关于x的方程有实数根b．（1）求实数a，b的值；（2）若复数满足，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）复数方程有实根，方程化简为、，利用复数相等，即解方程组即可．（2）先把、代入方程，同时设复数，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，再数形结合，求出，得到．【详解】解：（1）是方程的实根，，解得．（2）设，由，得，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，当点在的连线上时，有最大值或最小值，，半径，当时．有最小值且．【点睛】本题（1）考查复数相等；（2）考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法．属于中档题．