1.6 余弦函数的图像与性质（作业） -【上好课】2020-2021学年高一数学同步备课系列（北师大版2019必修第二册） 试卷练习

1.6余弦函数的图像与性质

[A级　基础巩固]

1．函数的单调递增区间是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据，令求解.

【详解】

因为函数，

令，

解得，

所以其单调递增区间是

故选：B

2．如果函数的图象关于直线对称，那么的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：的表达式，进而得到的最小值．

【详解】

由题意函数的图象关于直线对称，

则有

解得 ＝kπ，k∈Z，

所以由此得|min．

故选：A．

【点睛】

方法点睛：求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解

3．已知函数，若函数恰有4个零点，，，，且，为实数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

作出函数的图象，根据与的零点分和利用数形结合法讨论求解.

【详解】

如图所示：

因为，

当时，，与的零点为

所以，即，

所以，

当时，，与的零点为 ，

所以的对称轴方程为，。

所以关于对称，

设，

所以，

则，

所以，

故选：A

【点睛】

方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．

4．函数的一条对称轴方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据余弦函数的对称轴可得，解方程即可求解.

【详解】

，，则有，

当时，的一条对称轴方程为．

故选：C

5．已知函数，则的图像大致是（    ）

A． B．

C．     D．

【答案】C

【分析】

判断函数的奇偶性，再利用时，函数值的符号即可求解.

【详解】

由，

则，

所以函数为奇函数，排除B、D.

当，则，

所以，，

所以，排除A.

故选：C

6．设函数，已知在有且仅有个极小值点，有下述四个结论：其中所有正确结论的编号是（    ）

①在有且仅有个零点；②在有且仅有个极大值点；③在单调递减；④的取值范围是.

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④

【答案】D

【分析】

由可求得，根据已知条件可求得实数的取值范围，可判断④的正误；由结合图象可判断①②的正误；由计算出，求得，可判断出③的正误.综合可得出合适的选项.

【详解】

当时，，

令，作出函数的图象如下图所示：

因为在上有个极小值点，

，解得，故④正确；

由，可知函数在区间上的零点个数可能为或或，①错误；

由，可知，函数在区间上的极大值点个数可能为或，②错误；

当时，，，则，

所以，函数在区间上单调递减，③正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查余弦型函数基本性质的判断，考查推理能力，属于中等题.

7．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是_________．

①的最小正周期为    ②在区间上单调递减

③不是函数图象的对称轴    ④在上的最小值为

【答案】①③④

【分析】

由函数图像的变换可得，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案.

【详解】

．

的最小正周期为，选项A正确；

当 时， 时，故在上有增有减，选项B错误；，故不是图象的一条对称轴，选项C正确；

当时，，且当，即时，取最小值，D正确．

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了三角函数图像的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.

8．在内，使成立的x的取值范围是____________．

【答案】

【分析】

根据题意在同一个坐标系中画出在内的函数图像，由图求出不等式的解集

【详解】

解：在同一个坐标系中画出在内的函数图像，如图所示，

则使成立的x的取值范围是，

故答案为：

9．求f(x)=的定义域___________.

【答案】

【分析】

将定义域问题转化为求，然后将看成一个整体，利用余弦函数的图象即可得到关于的不等式组，求解即可得到函数的定义域.

【详解】

解：要使函数有意义，则,即，

由余弦函数的图象得，，

解得，，

故函数的定义域是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查利用余弦函数的图象解三角不等式，利用三角函数的图象求解关于的正余弦，正切的不等式，是十分重要的，一般的将看做一个整体，利用函数的图象与直线，利用数形结合方法求解.当然，本题还可以利用诱导公式转化为关于正弦的不等式求解，但此处采用一种通性通法来求解，更具有一般性.

10．已知函数，则的对称中心是______．

【答案】

【分析】

根据余弦函数的对称性，列出等式求解，即可得出对称中心的横坐标，进而可得对称中心.

【详解】

由得，

∴，，

此时，故的对称中心是.

故答案为：．

11．用“五点法”作函数的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________．

【答案】

【分析】

根据三角函数的五点作图法的规则，令，即可求解.

【详解】

由题意，根据三角函数的五点作图法规则，分别令，

可得.

故答案为：

[B级　综合运用]

12．已知函数的一个对称中心为，则_______

【答案】

【分析】

由对称中心得，从而可知，由范围可求得答案．

【详解】

当时，，所以，解得，因为，所以．

故答案为：

13．求函数的对称轴，对称中心及单调区间.

【答案】对称轴；对称中心；

增区间为；

减区间为.

【分析】

利用整体代换法，根据余弦函数的对称性，单调性依次求解即可.

【详解】

解：函数，

令

,

对称轴，

令

，

对称中心，

令，

，

增区间为

令，

，

减区间为，

【点睛】

本题考查余弦性函数的性质，利用整体代换法求正弦型，余弦型，正切型三角函数的中心、对称轴、单调区间，利用整体代换法求解是常用的方法，在利用整体代换法求函数的单调区间时要注意的系数的正负对函数单调增减性的不同影响.

[C级　拓展探究]

14．不通过求值，比较下列各数的大小：

（1）；

（2）

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性进行比较即可；

（2）利用三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性进行比较即可．

【详解】

（1），

在上为减函数

，即

（2）

即

15．根据函数图像求出的取值范围

（1）       

（2）

【答案】（1）；

（2）或

【分析】

（1）利用余弦函数的图象即可求解.

（2）利用正弦函数的图象即可求解.

【详解】

（1）作出余弦函数的图象，如图：

由图象可知，当时，.

（2）作出正弦函数的图象，如图：

由图象可知，当时，

则或