北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用课后作业题

1.8三角函数的简单应用（北师版）

 [A级　基础巩固]

1．函数的周期，振幅，初相分别是（    ）

A．，， B．，， C．，， D．，2，

【答案】C

【详解】

函数的周期为，

振幅为，

初相为.

故选C.

2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：

s1＝5sin，s2＝5cos．

则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是（    ）

A．s1＞s2 B．s1＜s2

C．s1＝s2 D．不能确定

【答案】C

【详解】

当t＝时，s1＝5sin－5，s2＝5cos－5，∴s1＝s2

故选：C

3．如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是（    ）

A．该弹簧振子的振幅为

B．该弹簧振子的振动周期为

C．该弹簧振子在和时振动速度最大

D．该弹簧振子在和时的位移为零

【答案】C

【详解】

由图象及简谐运动的有关知识知，该弹簧振子的振幅为，振动周期为，

当或时，振动速度为零，该弹簧振子在和时的位移为零.

所以，ABD选项正确，C选项错误.

故选：C.

4．已知圆的直径为2，则其内接矩形的周长的最大值为（    ）

A．               B．8                 C．               D．12

【答案】A

【详解】

由题意可得矩形的边长分别为：，则矩形的周长为：

，

结合三角函数的性质可知，当时，周长取得最大值：.

故选：A.

5．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)(t≥0，ω＞0，|φ|＜)．则下列叙述错误的是(　　)

A．R＝6，ω＝，φ＝－

B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6

C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减

D．当t＝20时，|PA|＝6

【答案】C

【详解】

由题意，R＝＝6，T＝60＝，∴ω＝，当t＝0时，y＝f(t)＝－3，

代入可得－3＝6sin φ，∵|φ|＜，∴φ＝－.故A正确；

f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时， t－∈，

∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确；

当t∈[10,25]时， t－∈，函数y＝f(t)不单调，不正确；

当t＝20时， t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，正确，

故选C．

6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北（即）的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在北偏东（即）的方向上，仰角，则此山的高度（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

易得.

由正弦定理得.

故.

故选：C

7．如图，重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”，其旋转半径为50米，最高点距离地面120米，开启后按逆时针方向旋转，旋转一周大约18分钟.将摩天轮看成圆面，在该平面内，以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y轴，该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，摩天轮开始启动，并记该时刻为，则此人距离地面的高度与摩天轮运行时间t（单位：分钟）的函数关系式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由已知，

，

，，

当时，，，

，

故选：B.

8．重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长，两端引桥各有，主桁最高处距离桥面，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

设主桁（图中粗线）部分对应的余弦函数为，

可得函数的周期为，即，

又由，解得，

所以函数的解析式为，

按的比例等比变换，可得，

对比选项，可得与函数相似.

故选：A.

[B级　综合运用]

9．在直角坐标系中，半径为的在时圆心与原点重合，沿轴以的速度匀速向右移动，被轴所截的左方圆弧长记为，令，则关于时间（，单位：）的函数的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

的半径为，则弧长所对的圆心角为，

则，又，

，

其图象为开口向上，在上的一段抛物线，

与轴交于点，与轴交于点.

故选：A

10．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点，   点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（    ）

A．B．C． D．

【答案】B

【详解】

由题意，当时，P与A重合，则与B重合，

所以,故排除C,D选项；

当时，，由图象可知选B.

故选：B

11．有一块矩形花圃如图所示，其中，，现引进了新品种需将其扩大成矩形区域，点，，，均落在矩形的边上（不包括顶点），则扩大后的花圃的最大面积为（    ）

A．          B．        C．       D．

【答案】B

【详解】

设，则，；

，则，.

当，即时，面积有最大值为.

故选：

12．电流强度I（安培）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则t为（秒）时的电流强度为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题图知，函数的周期，

所以，将点代入得，故函数解析式为，再将代入函数解析式得.

故选：A

13．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为，大正方形的边长为，直角三角形中较小的锐角为，则（    ）

A． B．       C．       D．

【答案】D

【详解】

直角三角形中较短的直角边为x，

则：x2+（x+2）2＝102，

解得：x＝6，

∴sinθ，cosθ，

∴sin（）﹣cos（）＝﹣cosθ﹣（cosθcos）sinθ﹣（）cosθ，

故选：D．

[C级　拓展探究]

14．国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度约为（    ）

A．米         B．22米       C．30米       D．35米

【答案】C

【详解】

由正弦与余弦的差角公式可知

根据题意,设旗杆高度为,将各个位置用点标出来如下图所示:

则,且

可得

则由

可得

则

因为

则满足即

解方程可求得

故选:C

15．有一块半径为（是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，，在圆的直径上，，，在半圆周上，如图.设，征地面积为，当满足取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角和的最大值分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

连结，，在中，，，∴，∴，，，令，则，，∴，令，则在上单调递增，∴当，即时，取得最大值，故选B.