2.6 第六课时　平面向量的应用 -【上好课】2020-2021学年高一数学同步备课系列（北师大2019必修第二册）练习题

2.6 第六课时　平面向量的应用

[A级　基础巩固]

1．在△ABC中，，则△ABC是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

【答案】C

【分析】

由向量数量积的定义式可得，即可判断；

【详解】

解：∵，∴，∴是钝角，则△ABC是钝角三角形.

故选：C

2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（    ）

A．6 B．2 C．2 D．2

【答案】C

【分析】

根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可．

【详解】

由题意知F3＝－(F1＋F2)，

所以

∴|F3|＝2.

故选：C.

3．河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即静水速度斜向上游方向，河水速度平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度指向对岸，由此能求出静水速度．

【详解】

设河水的流速，

静水速度与河水速度的合速度，

小船的静水速度为，

为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，

即静水速度斜向上游方向，

河水速度平行于河岸，

静水速度与河水速度的合速度指向对岸，

所以静水速度13（m/s）．

故选：A.

4．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【分析】

根据向量坐标的意义求解.

【详解】

设，5秒后P点的坐标为，则，

由题意有.

即

所以解得

故选: C

5．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为（    ）

A．－ B．－

C．＋ D．||－||

【答案】C

【分析】

因为速度是既有大小又有方向的量，由向量的加法法则即可得出结果.

【详解】

因为速度是既有大小又有方向的量，

所以由向量的加法法则可知，逆风行驶的速度为＋.

故选：C

6．一质点在力＝(﹣3，5)，＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则，的合力F对该质点所做的功为（    ）

A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110

【答案】A

【分析】

先求出，的合力F的坐标、的坐标，再求出由共点力平衡得合力对该质点所做的功.

【详解】

由题意可知，，的合力=+=(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，，

则由共点力平衡得合力对该质点所做的功为.

故选：A.

7．一物体在力，，的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________.

【答案】

【分析】

由题意得合力，再结合做功公式求解即可.

【详解】

∵，，，

∴合力

又∵ ＝(0－1，5－1)＝(－1，4)，

∴＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，

即三个力的合力做的功等于－40.

故答案为：

8．已如，且，则的最大值为__________.

【答案】

【分析】

根据题意求得与的夹角，根据，可得，即点D是以AC为直径的圆上的点，如图建系，求得各点坐标，进而可求得D点的轨迹方程，根据圆的几何性质，即可求得答案.

【详解】

因为，，且，

所以，

因为，所以与的夹角为，即，

因为，所以，即点D是以AC为直径的圆上的点，

以B为原点，BC为x轴正方向建系，如图所示：

所以，

设以AC为直径的圆的圆心为P，所以，且，

所以D的轨迹的方程为，

的最大值为，

故答案为：

【点睛】

解题的关键是根据题意，分析可得D点的轨迹为圆，进而求得圆的方程，根据圆的几何性质求解，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.

9．已知非零向量,满足且．

（Ⅰ）若，求向量,的夹角；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）本问充分考查学生对向量数量积的掌握，善于将已知条件进行转化，具有划归转化能力和方程思想．将展开整理得到关于的一元二次方程，求出，在根据公式求出向量,的夹角的余弦值，在根据向量夹角的范围是，从而求出向量,的夹角；（Ⅱ）本题考查求向量模的方法，利用，，再根据第（Ⅰ）问的条件及已知条件，即可求出的值．

试题解析：（Ⅰ）∵

∴

又∵

∴

∴

∴向量的夹角为．

（Ⅱ）

考点：1．向量的垂直；2．向量的数量积运算；3．求向量的模．

10．已知，，

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值；

（3）若与夹角为锐角，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）且.

【分析】

（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求出结果；

（2）根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出结果；

（3）根据向量夹角为锐角，列出不等式求解，再注意向量不共线，即可得出结果.

【详解】

因为，，

（1）若，则，解得；

（2）若，则，解得；

（3）若与夹角为锐角，则，且与不同向共线，即，所以实数的取值范围为且.

[B级　综合运用]

1．顶点为，，，则为（    ）．

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】A

【分析】

利用证得三角形是直角三角形.

【详解】

依题意可知，

，与不恒等，

所以，

所以，所以三角形是直角三角形.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查利用向量进行垂直关系的判断，属于基础题.

2．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（    ）

（参考数据：取重力加速度大小为）

A．63 B．69 C．75 D．81

【答案】B

【分析】

根据平行四边形法则得到该学生的体重,利用余弦定理即可求出得解.

【详解】

如图，设该学生的体重为,则.

由余弦定理得.

所以.

故选：B

【点睛】

本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．的外接圆的圆心为O，，则（    ）

A．1 B． C．0 D．

【答案】C

【分析】

设中点为，可得，从而有重合，得到，即可求解.

【详解】

设中点为，,

所以重合，的外接圆的圆心为中点，

所以，.

故选:C.

【点睛】

本题考查向量线性运算的几何意义，以及直角三角形的性质，属于基础题.

4．如图，是单位圆的直径，且满足，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】

由得，由，

得，所以可得答案.

【详解】

连接，由已知得，

因为是直径，所以，

因为，所以，

又因为，

所以，

所以，，

又因为，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆的性质、向量在几何中的应用和数量积的运算，由得是解题的关键点，考查了学生分析问题、解决问题的能力.

5．已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

如图建系，可求得A,B,C,D的坐标，设，则可得的表达式，根据x的范围，即可求得答案.

【详解】

如图，建立平面直角坐标系，则.

设，则，故，

即的取值范围是.

故选：A

6．（多选题）在中，，，若是直角三角形，则k的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】

由题意，若是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.

【详解】

若为直角，则即

解得

若为直角，则即

解得

若为直角，则，即

解得

综合可得，的值可能为

故选：

【点睛】

本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.

7．（多选题）在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为，两个拉力分别为，，若，与的夹角为．则以下结论正确的是（    ）

A．的最小值为 B．的范围为

C．当时， D．当时，

【答案】ACD

【分析】

由，两边平方，根据向量的数量积运算可得，解得，代入，由余弦函数的性质可判断选项.

【详解】

对于A选项：因为为定值，且，

所以，解得，

又，在上单调递减，所以最小值为，故A正确；

对于B选项：由题意得，故B不正确；

对于C选项：当时，，所以，故C正确；

对于D选项：当时，，所以，故D正确.

故选： ACD.

8．一条渔船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为，则河水的流速是________．

【答案】

【分析】

画出图形，在直角三角形中求河水的流速即可.

【详解】

如图，用表示河水的流速，表示船的速度，

则为船的实际航行速度．

由图知，，，则．

又，

所以．

即河水的流速是．

故答案为：.

9．（1）已知向量，满足，，且，求的坐标．

（2）已知、、，判断并证明以，，为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．

【答案】（1）或；（2）为直角三角形，为直角，证明见解析.

【分析】

（1）设，解方程组即可得解；

（2）根据即可得解.

【详解】

（1）设，则，又，所以，

联立，解得或．

于是或．

（2）是直角三角形，为直角．

证明如下：

∵，，

∴，

∴，即为直角三角形，为直角．

【点睛】

本题考查了向量的模长公式，考查了向量共线的坐标表示，考查了向量的坐标表示，考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.

[C级　拓展探究]

1．求证：以为顶点的四边形是一个矩形.

【答案】证明见解析

【分析】

分别利用坐标计算即可得证

【详解】

证明：因为，

，不为零向量，且不与平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.

，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.

【点睛】

此题考查向量的相等和垂直的判断，考查平面向量数量积的运算.

2．设向量，，.

（1）求；

（2）求以为邻边的平行四边形的面积；

（3）求的模的最小值.

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）根据，利用数量积的坐标运算求解、

（2）将以为邻边的平行四边形的面积，转化为两个三角形面积利用正弦定理求解.

（3）根据求解.

【详解】

（1）.

.

（2）∵ ， ，

又∵  从而，

∴以为邻边的平行四边形的面积.

（3），，

∴，

，

∴当时，.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.