河南省洛阳市2021届高三上学期第一次统一考试文科数学试题含答案

这是一份河南省洛阳市2021届高三上学期第一次统一考试文科数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题
1．已知集合，，则集合（ ）
A．B．
C．D．
2．若复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设数列是等差数列，首项，且，则数列的前10项和等于（ ）
А．100B．84C．42D．10
4．命题“，”的否定是（ ）
A．，使得
B．，使得
C．，
D．，
5．下列函数中最小正周期是且图象关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
6．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若平行于内的无数条直线，则
B．若，，则平行于内的无数条直线
C．若，，，则
D．若，，则
7．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）
А．B．C．D．
8．已知圆：交轴正半轴于点，在圆上随机取一点，则使成立的概率为（ ）
А．B．C．D．
9．在中，，，的最小值是（ ）
А．1B．C．D．2
10．若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．1B．2C．4D．5
12．定义在上的函数满足，当时，，
若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
二、填空题
13．已知函数，则______．
14．已知角的终边过点，则的值是______．
15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．
16．在中，，，分别是角，，的对边，若．且的中线，则的最大值是______．
三、解答题
（一）必考题：
17．已知数列的首项，前项和为且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，．
（1）求证：；
（2）求三棱柱的侧面积．
19．设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．求证：直线过定点．
20．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，（），，，，进行分组，已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据．则得到体育成绩的折线图如下：
（1）若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良好”的人数；
（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取3人，求所抽取的3名学生中，至少有1人为非“体育良好”的概率；
（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，，，且，，，当三人的体育成绩方差最小时，写出，，的一组值（不要求证明）．
注：，其中．
21．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，证明：在上存在唯一零点．
（二）选考题
22．选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）已知点的直角坐标为，过点作直线的垂线交曲线于、两点（在轴上方），求的值．
23．选修4—5：不等式选讲
（1）已知，，是正数，且满足，求证；
（2）已知，是正数，且满足，求证：．
洛阳市2020—2021学年高中三年级第一次统一考试
数学试卷参考答案（文）
一、选择题
1—5 DCABA 6—10 BCBCD11—12 AD
二、填空题
13．2 14． 15． 16．4
三、解答题
17．（1）∵时，，∴当时，．
两式相减得：．
又， ，∴
∴是首项为2，公比为3的等比数列．
从而．
（2）∵，
∴，
∴，，
∴．
∴ ①
∴ ②．
①-②，得：
∴．
18．（1）∵，∴侧面是菱形，∴．
∵侧面底面，且平面平面，
，∴平面．
又∵平面，∴．
又，∴平面．
又平面，∴．
（2）设棱的中点为，连，，则，
∴底面．从而．
由，．
得，，
∴．
在中，由余弦定理得，从而．
∴．
由（1）知平面，∴，，
又．
∴三棱柱的侧面积为．
19．（1）∵是抛物线上一点，且．∴，
解得，即抛物线的方程为.
（2）设直线的方程为，，，
由消去得，
则，．
因为，所以，
即．
化简得．
由得．
所以直线经过定点．
20．（1）体育成绩大于或等于70分的学生有30人，
∴估计该校高一年级学生“体育良好”的人数为：人．
（2）体育成绩在有2名学生，在中有3名，
设至少有1人为非“体育良好”为事件，
样本中的2位成绩在的学生和3位成绩在的学生分别记为，，，，，
从中随机选取3个学生的所有结果为：
，，，
，，，
，，，．
共有个基本事件，事件包含的基本事件有个，
（3）当数据，，的方差最小时，，，．
（或者，，．）
21．（1）当时，，的定义域为，
由得，由得，且，
∴在上单调递增，在，上单调递减．
∴当时，取得极小值，无极大值．
（2）证明：当时，
．
令，
则在上的零点即在上的零点
，
令，则．
当时，则，∴在区间上单调递增．
又，，
∴存在使得，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又因为，，
∴在上存在一个零点，
在上没有零点，
∴在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点．
22．（1）由，消去参数得．
即直线的普通方程为；
由得，
∵，，∴．
即曲线的直角坐标方程．
（2）直线的参数方程为（为参数），
代入得．
设点对应的参数为，点对应的参数为，则，
，且，．
故．
23．（1）∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∵，，是正数，∴．
（2）∵，由柯西不等式得
（当且仅当时取等号）．
故．