第二章 函数【真题训练】-2020-2021学年高一数学单元复习一遍过（北师大版2019必修第一册）
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第二章函数【北师大版】
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
- 下列四组函数，表示同一函数的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 函数则下列命题正确的是
A. 函数是偶函数 B. 函数最小值是0
C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的图象关于直线对称
- 函数的值域为
A. B. C. D.
- 已知函数的定义域为，则的定义域为
A. B. C. D.
- 下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为
A. B. C. D.
- 已知奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为9，最小值为2，则等于
A. 5 B. C. 10 D.
- 已知对任意x，，满足，，，且在区间上，是减函数，则
A. B. C. D.
- 函数在上单调递增，且关于对称，若，则的x的取值范围是
A. B.
C. D.
- 已知函数，则的值域是
A. B. C. D.
- 设函数，则
A. 是奇函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是偶函数，且在单调递减
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
- 已知函数在上取得最小值，则实数a的取值范围是 。
- 已知，那么______．
- 已知函数是R上的奇函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集是 ．
- 已知，则____ 已知，则____
- 己知正数a，b满足，则的最小值为______．
- 已知定义在R上的函数满足，且，则______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
- 已知是定义在R上的奇函数，且时，．
求函数的解析式；
画出函数的图像；
写出函数的单调区间及值域．
- 已知幂函数在上单调递增．
求m值及解析式；
若函数在上的最大值为3，求实数a的值．
- 已知函数是定义在R上的奇函数，已知当时，．
求函数的解析式；
画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间．
- 一次函数是R上的增函数，，已知．
求；
若在单调递增，求实数m的取值范围；
当时，有最大值13，求实数m的值．
- 已知函数是R上的偶函数．
求实数m的值；
判断并证明函数在上单调性；
求函数在上的最大值与最小值．
- 已知．
求函数的解析式与定义域；
判断函数在的单调性，并用定义法加以证明．
答案解析
1.【答案】D
解：对于A，，，对应法则不同，因此A错误；
对于B，的定义域为或，的定义域为，二者定义域不同，因此B错误；
对于C，，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，因此C错误；
对于D，与的定义域与对应法则均相同，因此D正确．
2.【答案】B
解：画出函数图象如图：
可知函数是非奇非偶函数，A错误；函数最小值是0，B正确；
函数的单调递增区间是，C错误；
，，，所以函数不关于对称，D错误．
3.【答案】D
解：当时，，函数图像开口向上，对称轴为，
所以当时，取最小值为，
所以，，
当时，，此时函数单调递减，
所以，
所以原函数的值域为 ．
4.【答案】C
解：的定义域为，
即，．
即的定义域为．
5.【答案】B
解：B选项，定义域为R，关于原点对称，
且，
所以为奇函数，而且在R上单调递增．所以B正确，
A选项中是偶函数，故排除A；
C选项中是偶函数，故排除C；
D选项中是非奇非偶函数，故排除D；
6.【答案】B
解：因为奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为9，最小值为2，
所以，，
所以，
7.【答案】C
解：令，得，
令，，得，
由，得，
而在上单调递减，故，
故，．
令，得，即，
又，得．
故选C．
8.【答案】D
解；根据题意，关于对称，则为偶函数，且，
则，
又在单调递增，
所以，解可得；．
9.【答案】C
解：函数
当时，，函数的图像开口向上，对称轴为，则；
当时，，由对勾函数的性质得，函数在上单调递增，则，
综上，函数的值域为，
10.【答案】A
解：因为，
则，即为奇函数，
令，则，
根据幂函数的性质可知，为增函数，
又在上为增函数，此时，
即函数是奇函数，且在单调递增．
11.【答案】
12.【答案】2
解：因为
所以．
13.【答案】
解：函数是R上的奇函数，在区间上单调递增，
函数在上单调递增，且，
，即．
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
那么，即或
因此或．
14.【答案】；．
解：，则．
故答案为；
解：令，则，
，
所以．
15.【答案】
解：正数a，b满足，
，解得，
当且仅当时取等号．
令，，
则在上单调递减，
的最小值为：
即的最小值为．
16.【答案】3
【解析】解：，且，
，
，
函数的周期为3，
故，
17.【答案】解：由题意，，
当时，，
，，
故；
作函数的图象如下，
；
函数单调增区间为，，
其值域为．
18.【答案】解：幂函数在上单调递增，
故：
解得：．
故：．
由于．
所以：函数，
，
函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为．
由于在上的最大值为3，
当时，在上单调递增，
故：，
解得．
当时，在上单调递减，
故：，
解得：．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故：
，
解得：舍去或舍去，
综上所述：．
19.【答案】解：设，则，
又函数是定义在R上的奇函数，
，
解析式是．
分段函数，分段画图像，如下图，
当时，是二次函数，
开口向下，对称轴，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，是二次函数，
开口向上，对称轴，
在上单调递增，在上单调递减．
又，
故函数的单调递增区间为．
20.【答案】是R上的增函数，
设，，
，解得或不合题意舍去，
；
，
对称轴，根据题意可得，解得，
的取值范围为 ，
当时，即时，，
解得，符合题意；
当时，即时，
解得，符合题意；
由可得或．
21.【答案】解：若函数是R上的偶函数，则，
即，对任意实数x恒成立，解得．
由得：，
函数在上为增函数，下证明：
设任意，且，即
则
，且，
，即，
于是函数在上为增函数．
由知，函数在上为增函数，
又是偶函数，则在上为减函数，
又，，，
所以的最大值为1，最小值为．
22.【答案】解：令，则，
，
．
，，
则的定义域为．
．
在上单调递减．
证明如下：
设，
则，
，，，，
，即，
在上单调递减．
