2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义04《直线、圆的位置关系)》（教师版）练习题

这是一份2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义04《直线、圆的位置关系)》（教师版）练习题，共5页。

、选择题
已知点A(1，eq \r(3))，B(－1,3eq \r(3))，则直线AB的倾斜角是( )
A.60° B.30° C.120° D.150°
【答案解析】答案为：C；
解析：设直线AB的倾斜角为α.
∵A(1，eq \r(3))，B(－1,3eq \r(3))，∴kAB=eq \f(3\r(3)－\r(3),－1－1)=－eq \r(3)，∴tan α=－eq \r(3)，
∵0°≤α＜180°，∴α=120°.故选C.
直线(a－1)x＋y－a－3=0(a＞1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.3
【答案解析】答案为：D；
解析：当x=0时，y=a＋3，当y=0时，x=eq \f(a＋3,a－1)，令t=a＋3＋eq \f(a＋3,a－1)=5＋(a－1)＋eq \f(4,a－1).
因为a＞1，所以a－1＞0.所以t≥5＋2 eq \r(a－1·\f(4,a－1))=9.
当且仅当a－1=eq \f(4,a－1)，即a=3时，等号成立.
已知直线l过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是( )
A.3x＋y－6=0 B.x＋3y－10=0 C.3x－y=0 D.x－3y＋8=0
【答案解析】答案为：A；
解析：设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)=1(a＞0，b＞0).
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(3,b)＝1，,\f(1,2)ab＝6，))解得a=2，b=6.故直线l的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)=1，
即3x＋y－6=0，故选A.
不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y=m－5恒过定点( )
A.(1，-0.5) B.(－2,0) C.(2,3) D.(9，－4)
【答案解析】答案为：D；
解析：∵直线方程为(m－1)x＋(2m－1)y=m－5，
∴直线方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)=0.
∵不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y=m－5恒过定点，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－1＝0，,－x－y＋5＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝－4.))故选D.
已知直线l过圆x2＋(y－3)2=4的圆心，且与直线x＋y＋1=0垂直，则l的方程是( )
A.x＋y－2=0 B.x－y＋2=0 C.x＋y－3=0 D.x－y＋3=0
【答案解析】答案为：D；
解析：圆x2＋(y－3)2=4的圆心为(0，3).
直线x＋y＋1=0的斜率为－1，且直线l与该直线垂直，故直线l的斜率为1.
即直线l是过点(0，3)，斜率为1的直线，用点斜式表示为y－3=x，即x－y＋3=0.
已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1=0为l2，直线x＋ny＋1=0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )
A.－10 B.－2 C.0 D.8
【答案解析】答案为：A；
解析：因为l1∥l2，所以kAB=eq \f(4－m,m＋2)=－2.解得m=－8.
又因为l2⊥l3，所以－eq \f(1,n)×(－2)=－1，解得n=－2，所以m＋n=－10.
圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则圆C的标准方程为( )
A.(x＋2)2＋(y＋3)2=5 B.(x－2)2＋(y－3)2=5
C.(x＋2)2＋(y－3)2=5 D.(x－2)2＋(y＋3)2=5
【答案解析】答案为：D
解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－b－7＝0，,a2＋4＋b2＝r2，,a2＋2＋b2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－3，))半径r=eq \r(22＋12)=eq \r(5)，
故圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2=5.选D.
已知直线3x＋ay=0(a＞0)被圆(x－2)2＋y2=4所截得的弦长为2，则a的值为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2eq \r(2) D.2eq \r(3)
【答案解析】答案为：B；
解析：由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为eq \r(3)，即eq \f(6,\r(9＋a2))=eq \r(3)，得a=eq \r(3).
若直线l：y=kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3=0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2=3的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
【答案解析】答案为：A；
解析：因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2=2，所以其圆心坐标为(－2，1)，
半径为eq \r(2)，因为直线l与圆C相切.
所以eq \f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))=eq \r(2)，解得k=±1，因为k＜0，所以k=－1，
所以直线l的方程为x＋y－1=0.圆心D(2，0)到直线l的距离d=eq \f(|2＋0－1|,\r(2))=eq \f(\r(2),2)＜eq \r(3)，
所以直线l与圆D相交.
已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案解析】答案为：B
解析：直线AB的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)=1，则x=3－eq \f(3,4)y，
∴xy=3y－eq \f(3,4)y2=eq \f(3,4)(－y2＋4y)=eq \f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3，
即当P点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))时，xy取最大值3.
已知动直线l0：ax＋by＋c－2=0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)的最小值为( )
A.4.5 C.1 D.9
【答案解析】答案为：B；
解析：动直线l0：ax＋by＋c－2=0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，
∴a＋bm＋c－2=0.又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，
∴eq \r(4－12＋0－m2)=3，解得m=0.∴a＋c=2.
又a＞0，c＞0，
∴eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)=eq \f(1,2)(a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(2,c)))=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋\f(c,2a)＋\f(2a,c)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2 \r(\f(c,2a)·\f(2a,c))))=eq \f(9,4)，
当且仅当c=2a=eq \f(4,3)时取等号，故选B.
已知直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=1相切，则a＋b＋ab的最大值为( )
A.1 B.－1 C.eq \r(2)＋eq \f(1,2) D.1＋eq \r(2)
【答案解析】答案为：C；
解析：因为直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=1相切，所以eq \f(1,\r(a2＋b2))=1，即a2＋b2=1，
令a=cs θ，b=sin θ(θ是参数)，即
a＋b＋ab=cs θ＋sin θ＋cs θsin θ，
令cs θ＋sin θ=t(－eq \r(2)≤t≤eq \r(2))，
则cs θsin θ=eq \f(t2－1,2)，即a＋b＋ab=eq \f(t2＋2t－1,2)，由二次函数的性质可知，
当t=eq \r(2)时，a＋b＋ab的最大值为eq \r(2)＋eq \f(1,2).
、填空题
“m=3”是“两直线l1：mx＋3y＋2=0和l2：x＋(m－2)y＋m－1=0平行”的________条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填空)
【答案解析】答案为：充要.
解析：若l1∥l2，则m(m－2)－3=0，解得m=3或m=－1(此时两直线重合，舍去)，
所以m=3，必要性成立；若m=3，k1=k2，l1∥l2，充分性成立，
所以“m=3”是“两直线l1：mx＋3y＋2=0和l2：x＋(m－2)y＋m－1=0平行”的充要条件.
直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6=0，则直线l恒过定点________.
【答案解析】答案为：(2，－2).
解析：直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6=0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,－2x＋y＋6＝0，))解得x=2，y=－2，所以直线l恒过定点(2，－2).
经过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆的半径是________.
【答案解析】答案为：5.
解析：易知圆心在线段AC的垂直平分线y=－2上，所以设圆心坐标为(a，－2)，
由(a－1)2＋(－2－3)2=(a－4)2＋(－2－2)2，得a=1，即圆心坐标为(1，－2)，
∴半径为r=5.
已知AB为圆x2＋y2=1的一条直径，点P为直线x－y＋2=0上任意一点，则eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))的最小值为________.
【答案解析】答案为：1.
解析：由题意，设A(cs θ，sin θ)，P(x，x＋2)，则B(－cs θ，－sin θ)，
∴eq \(PA,\s\up7(―→))=(cs θ－x，sin θ－x－2)，eq \(PB,\s\up7(―→))=(－cs θ－x，－sin θ－x－2)，
∴eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))=(cs θ－x)(－cs θ－x)＋(sin θ－x－2)·(－sin θ－x－2)
=x2＋(x＋2)2－cs2θ－sin2θ=2x2＋4x＋3=2(x＋1)2＋1，
当且仅当x=－1，即P(－1，1)时，eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))取最小值1.
、解答题
已知直线l过点(1,2)且在x，y轴上的截距相等.
(1)求直线l的一般方程；
(2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值.
【答案解析】解：(1)①截距为0时，l：y=2x；
②截距不为0时，k=－1，l：y－2=－(x－1)，
∴y=－x＋3.
综上，l的一般方程为2x－y=0或x＋y－3=0.
(2)由题意得l：x＋y－3=0，∴a＋b=3，
∴3a＋3b≥2eq \r(3a·3b)=2eq \r(3a＋b)=6eq \r(3)，当且仅当a=b=eq \f(3,2)时，等号成立，
∴3a＋3b的最小值为6eq \r(3).
设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a=0(a∈R)，若a＞－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程.
【答案解析】解：易求Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2,a＋1)，0))，N(0,2＋a)，∵a＞－1，
∴S△OMN=eq \f(1,2)·eq \f(a＋2,a＋1)·(2＋a)=eq \f(1,2)·eq \f([a＋1＋1]2,a＋1)
=eq \f(1,2)[(a＋1)＋eq \f(1,a＋1)＋2]≥2，
当且仅当a＋1=eq \f(1,a＋1)，即a=0时取等号.
故所求直线l的方程为x＋y－2=0.
已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)=0与点P(－2,2).
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
【答案解析】解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，
对任意的实数λ，该方程都表示直线.
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)=0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
故直线经过的定点为M(2，－2).
(2)证明：过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，
当且仅当Q与M重合时，
|PQ|=|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2=x－2，即x－y－4=0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4=0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|=4eq \r(2)，
∴|PQ|