2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义06《数列》（教师版）练习题

这是一份2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义06《数列》（教师版）练习题，共6页。

、选择题
已知数列eq \r(2)，eq \r(5)，2eq \r(2)，eq \r(11)，…，则2eq \r(5)是这个数列的( )
A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项
【答案解析】答案为：B；
解析：数列eq \r(2)，eq \r(5)，eq \r(8)，eq \r(11)，…，据此可得数列的通项公式为：an=eq \r(3n－1)，
由eq \r(3n－1)=2eq \r(5)，解得，n=7，即2eq \r(5)是这个数列的第7项.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a6=23，S5=35，则{an}的公差为( )
A.2 B.3 C.6 D.9
【答案解析】答案为：B；
解析：由题意，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a1＋7d＝23，,5a1＋\f(5×4,2)d＝35，))解得d=3，故选B.
设等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35,2a4－a6=7，则d=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案解析】答案为：C；
解析：∵{an}是等差数列，∴2a4－a6=a4－2d=a2=7，
∵a1a2=35，∴a1=5，∴d=a2－a1=2，故选C.
《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A.1升 B.eq \f(67,66)升 C.eq \f(47,44)升 D.eq \f(37,33)升
【答案解析】答案为：B；
解析：设该等差数列为{an}，公差为d，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66).))
∴a5=eq \f(13,22)＋4×eq \f(7,66)=eq \f(67,66).故选B.
已知等比数列{an}中，若4a1，a3，2a2成等差数列，则公比q=( )
A.1 B.1或2 C.2或－1 D.－1
【答案解析】答案为：C；
解析：因为4a1，a3，2a2成等差数列，所以2a3=4a1＋2a2，又a3=a1q2，a2=a1q，
则2a1q2=4a1＋2a1q，解得q=2或q=－1，故选C.
已知数列{an}的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a1=1，a2=2，a3＋a4=7，a5＋a6=13，则a7＋a8=( )
A.4＋eq \r(2) B.19 C.20 D.23
【答案解析】答案为：D；
解析：设奇数项的公差为d，偶数项的公比为q，由a3＋a4=7，a5＋a6=13，得1＋d＋2q=7，
1＋2d＋2q2=13，解得d=2，q=2，所以a7＋a8=1＋3d＋2q3=7＋16=23，故选D.
等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11=22，则a3＋a7＋a8等于( )
A.18 B.12 C.9 D.6
【答案解析】答案为：D；
解析：由题意得S11=eq \f(11a1＋a11,2)=eq \f(112a1＋10d,2)=22，即a1＋5d=2，
所以a3＋a7＋a8=a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d=3(a1＋5d)=6，故选D.
在等差数列{an}中，a1=－2 017，其前n项和为Sn，若eq \f(S12,12)－eq \f(S10,10)=2，则S2 020=( )
A.2 020 B.－2 020 C.4 040 D.－4 040
【答案解析】答案为：C；
解析：设等差数列{an}的前n项和为Sn=An2＋Bn，则eq \f(Sn,n)=An＋B，∴{eq \f(Sn,n)}是等差数列.
∵eq \f(S12,12)－eq \f(S10,10)=2，∴{eq \f(Sn,n)}的公差为1，又eq \f(S1,1)=eq \f(a1,1)=－2 017，
∴{eq \f(Sn,n)}是以－2 017为首项，1为公差的等差数列，
∴eq \f(S2 020,2 020)=－2 017＋2 019×1=2，∴S2 020=4 040.故选C.
已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n－1＋eq \f(1,6)，则a的值为( )
A.－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
【答案解析】答案为：A；
解析：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=a·2n－1－a·2n－2=a·2n－2，
当n=1时，a1=S1=a＋eq \f(1,6)，所以a＋eq \f(1,6)=eq \f(a,2)，所以a=－eq \f(1,3).
设函数f(x)=xm＋ax的导函数f′(x)=2x＋1，则数列{ SKIPIF 1 < 0 }(n∈N*)的前n项和是( )
A.eq \f(n,n＋1) B.eq \f(n＋2,n＋1) C.eq \f(n,n－1) D.eq \f(n＋1,n)
【答案解析】答案为：A；
解析：∵f′(x)=mxm－1＋a=2x＋1，∴a=1，m=2，
∴f(x)=x(x＋1)，则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
用裂项法求和得Sn=1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)=eq \f(n,n＋1).
已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3=S8，给出下列结论：
①a10=0；②S10最小；③S7=S12；④S20=0.
其中一定正确的结论是( )
A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④
【答案解析】答案为：C；
解析：∵a1＋5a3=S8，∴a1＋5a1＋10d=8a1＋28d，∴a1=－9d，
∴an=a1＋(n－1)d=(n－10)d，∴a10=0，故①一定正确，
∴Sn=na1＋eq \f(nn－1d,2)=－9nd＋eq \f(nn－1d,2)=eq \f(d,2)(n2－19n)，
∴S7=S12，故③一定正确，显然②S10最小与④S20=0不一定正确，故选C.
已知等比数列{an}前n项积为Tn，若a1=－24，a4=－eq \f(8,9)，则当Tn取得最大值时，n值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案解析】答案为：C；
解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4=－24q3=－eq \f(8,9)，所以q3=eq \f(1,27)，q=eq \f(1,3)，
易知此等比数列各项均为负数，则当n为奇数时，Tn为负数，
当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B，
而T2=(－24)2×(eq \f(1,3))=24×8=192，T4=(－24)4×(eq \f(1,3))6=84×eq \f(1,9)=eq \f(84,9)>192，
T6=(－24)6×(eq \f(1,3))15=86×(eq \f(1,3))9=eq \f(86,39)=eq \f(1,9)×eq \f(86,37)