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专题09 角的计算-2021-2022学年七年级数学上学期必刷专题训练（人教版）
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角的计算
七上几何解答题以线段和角的计算为主。
1．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC；OE平分∠BOC．
（1）写出图中∠BOD与∠AOE的补角；
（2）如果∠COD=25°，那么∠COE=_______；如果∠COD=60°，那么∠COE=________；
（3）试猜想∠COD与∠COE具有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠AOD，∠DOC；∠BOE，∠EOC；（2）65°，30°；（3）∠COD+∠COE=90°，见解析．
【解析】
【分析】
（1）由于OD平分∠AOC；OE平分∠BOC得到∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE，再根据补角与余角的定义求解；
（2）由于∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE，则∠DCO+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=×180°=90°，然后把∠COD=25°代入可计算得到∠COE；把∠COD=60°代入可计算出∠COE；
（3）证明方法与（2）一样．
【详解】
解：（1）∵OD平分∠AOC；OE平分∠BOC，
∴∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE，
∴∠BOD的补角为∠AOD，∠DOC；∠AOE的补角为∠BOE，∠EOC；
（2）∵∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE，
∴∠DCO+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=×180°=90°，
∴当∠COD=25°时，∠COE=90°-25°=65°，
当∠COD=60°，∠COE=90°-60°=30°，
故答案为65°；30°；
（3）∠COD+∠COE=90°．理由如下：
因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
所以∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC．
所以∠COD+∠COE=∠AOB=×180°=90°．
【点睛】
本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
2．如图，为直角，为锐角，且平分，平分，求的度数．
【答案】.
【分析】
设，则，用含有x的代数式分别表示∠MOC和∠NOC，化简即可得到∠MON的值.
【详解】
解：设，则
由题意，得,
∴.
【点睛】
本题考查代数式的应用和角平分线的计算，解题的关键是用x表示出角之间的关系.
3．如图∠AOB=120，∠COD=20，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数.
【答案】70°
【解析】
【分析】
利用角平分线的定义可得EOC+∠DOF=∠AOC+∠BOD=（AOC+∠BOD），再根据∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD即可求解．
【详解】
解：∵∠AOB=120°,∠COD=20°
∴∠AOC＋∠BOD=∠AOB－∠COD=120°－20°=100°
又∵OE平分∠AOC,OF平分∠BOD
∴∠EOC＋∠DOF=∠AOC＋∠BOD=（AOC＋∠BOD）=×100°=50°
∴∠EOF=∠EOC＋∠DOF＋∠COD=50°＋20°=70°
【点睛】
本题主要考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，根据角平分线的定义求得∠EOC+∠DOF是解题的关键．
4．若一个角的余角比这个角的补角的一半还少4°，求这个角的度数
【答案】8
【解析】
【分析】
互补即两角的和为180°，互余的两角和为90°，设这个角为x，则这个角的余角为90°-x，根据题意列方程解得即可．
【详解】
解：设这个角x，则这个角的余角为90°-x，
这个角的补角为180°-x，则
90°-x=（180°-x）-4°．
解得x=8°．
故答案为：8°．
【点睛】
本题考查了余角和补角的知识，把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决．既有一定的综合性，是道不错的题。
5．将一副三角板放在同一平面，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，△BOD保持不动，把△AOC绕着点O旋转，使得AO∥BD，求∠AOD的度数．
（2）当△AOC与△BOD重叠时，直接写出∠AOB与∠DOC的大小关系．
（3）如图1，若∠AOB=145°，求∠DOC的度数．你发现∠AOB与∠DOC存在怎样的数量关系？用式子直接表示出来．
（4）如图2，当△AOC与△BOD不重叠时，（3）中∠AOB与∠DOC关系式是否成立，请简要说明理由．
【答案】（1）60°；（2）∠AOB+∠DOC=180°；（3）∠AOB+∠DOC=180°；（4）∠AOB+∠DOC=180°仍然成立．
【解析】
分析：（1）根据平行线的性质得到∠AOB=180°﹣∠B=180°﹣30°=150°，再利用∠AOD=∠AOB﹣∠BOD进行计算即可；
（2）由∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠DOC=∠BOD﹣∠BOC易得∠AOB+∠DOC=180°；
（3）先计算出∠BOC=145°﹣90°=55°，再根据∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°﹣55°=35°，则有∠AOB+∠DOC=180°；
（4）利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．
详解：（1）∵AO∥BD，∴∠AOB=180°﹣∠B=180°﹣30°=150°，而∠BOD=90°，∴∠AOD=150°﹣90°=60°；
（2）∠AOB+∠DOC=180°；
（3）∵∠AOB=145°，而∠AOC=90°，∴∠BOC=145°﹣90°=55°，∴∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°﹣55°=35°；
∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：∠AOB+∠DOC=180°；
（4）∠AOB+∠DOC=180°仍然成立．
理由如下：∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°．
又∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°．
点睛：本题考查了角度的计算：利用几何图形计算角的和与差．
6．如图所示，∠BOC-∠AOB=10°，∠BOC：∠COD：∠DOA=2：3：4，求∠COD的度数．
【答案】设
∵
∴
【解析】
分析：设求出列方程求解即可.
详解：设
∵
∴
点睛：考查了角的相关计算，关键是设未知数，根据等量关系列方程.
7．如图，∠AOB为直角，∠BOC为锐角，且OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）若∠BOC＝46°，试求∠MON的度数；
（2）如果⑴中的∠BOC＝α（α为锐角），其他条件不变，试求∠MON的度数(结果用含α的式子表示).
（3）如果∠AOB＝β，∠BOC＝46°其他条件不变，试求∠MON的度数(结果用含β的式子表示).
【答案】（1）45°；（2）45°；（3）.
【解析】
分析：
（1）由题意可得∠AOB=90°，结合∠BOC=46°可得∠AOC=136°，结合OM平分∠AOC，ON平分∠BOC可得∠COM和∠CON的度数，然后由∠MON=∠COM-∠CON即可求得所求角度了；
（2）由（1）可得∠AOC=90°+α，结合结合OM平分∠AOC，ON平分∠BOC可表达出∠COM和∠CON的度数，然后由∠MON=∠COM-∠CON即可表达出∠MON的度数了；
（3）由题意可得∠AOC=β+46°，结合结合OM平分∠AOC，ON平分∠BOC可表达出∠COM和∠CON的度数，然后由∠MON=∠COM-∠CON即可表达出∠MON的度数了.
详解：
（1）∵∠AOB是直角，
∴∠AOB=90°，
又∵∠BOC=46°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=136°，
又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM=68°，∠CON=23°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=68°-23°=45°；
（2）∵∠AOB=90°，∠BOC=α，
∴∠AOC=90°+α，
又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM=45°+，∠CON=，
∴∠MON=∠COM-∠CON=45°+-=45°；
（3）∵∠AOB=β，∠BOC=46°，
∴∠AOC=β+46°，
又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM=23°+，∠CON=23°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=23°+-23°=.
点睛：这是一道考查角平分线的定义和角的和差的几何题，解题的关键是认真观察图形，弄清各个角之间的和差关系.
8．如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠2＝3∠1，∠COE＝70°，求∠2的度数．
【答案】60°
【分析】
设∠DOE=x°，把其它角用∠DOE表示，依据平角为180°，找出角与角之间的关系，依据∠COE=70°求解即可.
【详解】
设∠DOE＝x°，则∠AOD＝180°-4x°，
∵平分，
∴∠3=∠AOD= (180°-4x°)= 90°-2x°，
∵∠COE=70°，
∴90-2x+x=70，
∴x=20，
∴∠BOE=3x°=3×20°=60°，
故∠BOE的度数为60°.
【点睛】
考点：1.角的计算；2.一元一次方程的应用.
9．如图，∠AOB为直角，∠BOC为锐角，且OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）若∠BOC＝50°，试求∠MON的度数；
（2）如果（1）中的∠BOC＝α（α为锐角），其他条件不变，试求∠MON的度数；
（3）如果（1）中∠AOB＝β，其他条件不变，你能求出∠MON的度数吗？
（4）从（1）、（2）、（3）的结果，你能看出什么规律？
【答案】（1）∠MON＝45；（2）∠MON＝45°；（3）∠MON＝β；（4）当∠BOC为锐角时，∠MON的大小等于∠AOB的一半而与∠BOC的大小无关.
【解析】【分析】（1）先根据已知条件求出∠AOC的度数，再根据角平分线的性质即可得出∠MOC、∠NOC的度数，由∠MON=∠MOC-∠NOC即可得出结论；
（2）把∠BOC=α代入（1）中，用α表示出∠MON与∠NOC的度数，再根据∠MON=∠MOC-∠NOC即可得出结论；
（3）同（2），把∠AOB代入进行计算；
（4）由（1）、（2）、（3）中∠MON的值找出规律进行解答．
【详解】（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋50°＝140°，
又∵OM为∠AOC平分线，ON为∠BOC平分线，
∴∠MOC＝∠AOC＝×140°＝70°，
∠NOC＝∠BOC＝×50°＝25°，
∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝70°－25°＝45；
（2）当∠BOC＝α时，∠MOC＝(90°＋α)，∠NOC＝α，
∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(90°＋α)－α＝45°；
（3）当∠AOB＝β时，∠MOC＝(β＋50°)，∠NOC＝∠BOC＝25°，
∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(β＋50°)－25°＝β；
（4）由（1）、（2）、（3）可以看出，当∠BOC为锐角时，∠MON的大小等于∠AOB的一半而与∠BOC的大小无关.
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差，解决此类问题，注意结合图形，熟练运用角的和差和角平分线的定义求解是关键.
10．已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OB上的点，线段OM、ON分别以20°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转.
（1）如图①，若∠AOB=120°，当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到OM′、ON′处，求∠BON′+∠COM′的值；
（2）如图②，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM=2∠BON，求的值.
【答案】解：（1）60°；(2).
【解析】
分析：（1）先求∠NON′，∠MOM′，则∠BON′=∠BOC-∠NON′，∠COM′=∠AOC-∠MOM′，再求和；
（2）设OM，ON逆时针旋转的时间为ts，用t分别表示∠NON′，∠MOM′，运用（1）的方法表示∠COM，∠BON，根据∠COM=2∠BON列出等式，变形得出∠AOC与∠BOC的关系．
详解：（1）依题意，∠NON′=10°×2=20°，
∠MOM′=20°×2=40°，
则∠BON′=∠BOC-∠NON′=∠BOC-20°，
∠COM′=∠AOC-∠MOM′=∠AOC-40°，
∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-40°=∠AOB-60°=60°；
（2）设OM，ON逆时针旋转的时间为ts，
由∠COM=2∠BON，得∠AOC-20t=2（∠BOC-10t），
化简得∠AOC=2∠BOC，
所以．
点睛：本题考查了角的计算，旋转的性质．关键是利用角的和差关系列出算式及等式解题．
11．如图，点A、O、B在同一条直线上
（1）∠AOC比∠BOC大100°，求∠AOC与∠BOC的度数
（2）在(1)的条件下，若∠BOC与∠BOD互余，求∠BOD的度数
（3）在（2）的条件下，若OE平分∠AOC，求∠DOE的度数
【答案】(1) ∠AOC=140° ∠BOC=40°；(2) ∠BOD=50°；(3) ∠DOE=160°
【解析】
（1）由点A、O、B在同一条直线上得∠AOC+∠BOC=180°，因为∠AOC比∠BOC大100°，所以用∠BOC+100°表示∠AOC从而求出∠BOC，进而求出∠AOC；
（2）由∠BOC与∠BOD互余，所以∠BOD=90°-∠BOC，从而求得∠BOD的度数；
（3）由（2）得∠COD=90°，OE平分∠AOC，得
解：（1）∵∠AOC比∠BOC大100°，
∴∠AOC=∠BOC+100°，
又点A、O、B在同一条直线上．
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC+100°+∠BOC=180°，
∴∠BOC=40°，
∠AOC=140°；
（2）∵∠BOC与∠BOD互余，
∴∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠BOD=90°-∠BOC=90°-40°=50°；
（3）∵OE平分∠AOC，
∴得∠COE=∠AOC=70°，
∵∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=∠COE+∠BOD+∠BOC
=70°+90°
=160°．
12．如图，∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=25º，求∠AOC的度数．
【答案】150°
【解析】
分析：∠BOC=2∠AOB，因而可设∠AOB=x，∠BOC=2x，已知就∠BOD=25°，可以得到一个相等关系∠AOD-∠AOB=25，就可以通过列方程解决．
详解：设∠AOB=x，∠BOC=2x，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=3x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠AOC=x，
∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=x−x＝x＝25°，
∴x=50°，
∴∠AOC=3x=150°．
故答案为150°．
点睛：本题主要考查角平分线的知识点，比较简单．
13．如图，已知∠AOC=90°，∠COB=α，OD平分∠AOB，则∠COD等于多少度？
（1）用含α的式子表示∠COD的度数；
（2）若α=50°，求∠COD的度数．
【答案】（1）；（2）200
【分析】
（1）先根据题意得出∠AOB的度数，再由OD平分∠AOB得出∠AOD的度数，根据∠COD=∠AOC-∠AOD即可得出结论；
（2）直接把α=50°代入（1）中∠COD的表达式即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠AOC=90°，∠COB=α，
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=90°+α．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠AOB=45°+α，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=90°-（45°+α）=45°-α．
（2）∵α=50°，
∴∠COD=45°-α=45°-25°=20°．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
14．如图，∠BOE＝2∠AOE，OF平分∠AOB，∠EOF＝20°，求∠AOB．
【答案】∠AOB＝120°．
【解析】
【分析】
设∠AOE＝x°，则∠BOE＝2∠AOE＝2x°，可得：∠AOB＝3x°，再根据角平分线的定义可得：∠AOF＝1.5x°，然后根据∠EOF＝20°列方程即可求出x，从而求出∠AOB．
【详解】
解：设∠AOE＝x°，则∠BOE＝2∠AOE＝2x°，
所以∠AOB＝∠BOE+∠AOE＝3x°，
∵OF平分∠AOB，
∴∠AOF＝∠AOB＝1.5x°，
∵∠EOF＝20°，
∴1.5x﹣x＝20，
解得：x＝40，
∴∠AOB＝3x°＝120°．
【点睛】
此题考查的是角的和与差，根据图中角的大小关系列出方程是解决此题的关键.
15．OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线，若∠AOB=90°，∠AOB=2∠BOC，求∠AOC的度数.
【答案】45°或135°
【解析】
本题考查的是角的计算
利用角的和差关系计算，注意此题要分两种情况．
①如图1所示，OC在∠AOB内部，
∵∠AOB=90°，∠AOB=2∠BOC，
，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-45°=45°；
②如图2所示，OC在∠AOB外部，
∵∠AOB=90°，∠AOB=2∠BOC，
又∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∴∠AOC=90°+45°=135°．
16．已知：如图∠ABC＝30°，∠CBD＝70°，BE是∠ABD的平分线，求∠DBE的度数.
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据图形可知∠ABD=∠CBD-∠ABC=70°-30°=40°，由BE是∠ABD的平分线可得∠DBE=∠ABD＝×40°=20°.
试题解析：解：由∠ABC=30°，∠CBD=70°，
可得∠ABD=∠CBD-∠ABC=70°-30°=40°，
因为BE是∠ABD的平分线，
所以∠DBE=∠ABD＝×40°=20°．
考点：1.角的平分线；2.角的计算.
17．如图，O为直线AB上一点，OC平分∠BOD，OE⊥OC，垂足为O，∠AOE与∠DOE有什么关系，请说明理由．
【答案】∠AOE=∠DOE．理由见解析．
【解析】
试题分析：先证∠AOE+∠BOC=90°，∠DOE+∠DOC=90°，然后根据∠DOC=∠BOC，依据等角的余角相等即可证得∠AOE=∠DOE．
试题解析：∠AOE=∠DOE．
理由是：∵OE⊥OC，
∴∠EOC=90°，即∠DOE+∠DOC=90°，
又∵∠AOE+∠EOC+∠BOC=180°，
∴∠AOE+∠BOC=90°，
又∵OC平分∠BOD，即∠DOC=∠BOC，
∴∠AOE=∠DOE．
考点：角平分线的定义．
18．如图∠BOA=800, ∠BOC=200,OD平分∠AOC,求∠COD的度数。
【答案】300.
【解析】
试题分析：首先由∠BOC=20°,∠BOA=800,求出∠COA的度数,再由OD平分∠AOC，，求出∠COD．
试题解析：∵∠BOA=800, ∠BOC=200,
∴∠AOC=800-200=600
又OD平分∠AOC
∴∠COD==300.
考点: 角的计算．
19．已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC＝40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的大小；
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？
【答案】（1）45° （2）不发生改变，理由见解析
【分析】
（1）根据∠AOB是直角，∠AOC=40°，可得∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，再利用OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，即可求得答案．
（2）根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC，又利用∠AOB是直角，不改变，可得．
【详解】
解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=40°，
∴∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，
∵OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，
∴，．
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣20°=45°，
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．
∵，
又∠AOB是直角，不改变，
∴．
考点：角的计算；角平分线的定义．
20．（本题6分）已知：如图，射线、分别是、的角平分线，如果，比的倍还多，求和的度数．
A
B
E
C
D
O
【答案】，
【解析】
试题分析：根据题中的关键条件，、是角平分线，可得到两组角相等，再从已知的为突破口，依次可求得、、，所有的小角都求出来了，整个大角直接相加即可.
试题解析：平分，
平分
考点：1.角平分线的性质；2.求角的度数.
21．如图，点O在直线AB上，OC是∠AOB的平分线，在直线AB的另一侧以点O为顶点作∠DOE=90°．
（1）若∠AOE=46°，求∠DOB的度数为多少？请你指出∠AOE与∠DOB之间的数量关系；
（2）请你指出∠DOB与∠COE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）44°，互为余角；（2）互为补角，理由见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）由∠DOB=∠AOB﹣∠AOE﹣∠DOE，然后将∠AOB=180°，∠AOE=46°，∠DOE=90°代入即可求出∠DOB=44°，根据∠AOE=46°，∠DOB=44°可得∠AOE与∠DOB互为余角；
（2）由OC是∠AOB的平分线，可得∠AOC=90°，因为∠DOE=90°，所以∠AOC=∠DOE，所以∠COE=∠AOD，进而得到∠DOB与∠COE互补．
试题解析：（1）∵∠DOB=∠AOB﹣∠AOE﹣∠DOE，∠AOB=180°，∠AOE=46°，∠DOE=90°，∴∠DOB=180°﹣46°﹣90°=44°，∴∠AOE+∠DOB=46°+44°=90°，∴∠AOE与∠DOB互为余角；
（2）∠DOB+∠COE=180°，理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=90°，∵∠DOE=90°，∴∠AOC=∠DOE，∵∠COE=∠AOE+∠AOC，∴∠COE=∠AOE+∠DOE=∠AOD，∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠COE+∠BOD=180°．
考点：角的计算．
22．如图，OP是∠AOB内任意一条射线，OM平分∠AOP，ON平分∠POB，∠MON=60°，求∠AOB的度数.
【答案】120°
【解析】试题分析：根据角平分线的性质得出∠AOP=2∠MOP,∠POB=2∠NOP，然后根据∠MON=∠MOP+∠NOP=（∠AOP+∠BOP）求出∠AOB的度数.
试题解析：解：如图∵OM平分∠AOP，ON平分∠POB，
∴∠AOP=2∠MOP,∠POB=2∠NOP
又∵∠MON=60°
∴∠AOB=2∠MON=120°
考点：角平分线的性质、角度的计算
23．如图，点O为直线CA上一点，∠BOC=45°12′,OD平分∠AOB，∠EOB=90°，求∠AOE和∠DOE的度数。
•
C
B
D
E
A
O
【答案】∠AOE =44°48′ ∠DOE=22°36′
【解析】
试题分析：根据平角的定义得到∠AOB=180°-∠BOC=180°-45°12′=134°48′，则∠AOE=∠AOB-∠BOE=134°48′-90°=44°48′，再根据角平分线的定义得到∠AOD=∠AOB=67°24′，然后利用∠DOE=∠AOD-∠AOE进行计算即可．
试题解析：解：∵点O为直线CA上一点，∠BOC=45°12′，
∴∠AOB=180°-45°12′=134°48′，
∵∠EOB=90°，
∴∠AOE=134°48′-90°=44°48′，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠AOB=67°24′，
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=67°24′-44°48′=22°36′．
考点：平角的定义，角平分线的性质
24．如图所示，已知∠AOB=90°，∠AOC=60°．
(1)∠BOC=____；
(2)若OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，则∠DOE=____；
(3)试问在(2)的条件下，如果将题目中∠AOC=60°改成∠AOC=2α(α<45°)，其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）150°；（2）45°；（3）45°
【解析】
试题分析：（1）根据∠BOC=∠AOB+∠AOC进行求解；（2）根据平分线的性质求出∠COE和∠DOE的度数，然后根据∠DOE=∠COD－∠COE进行求解；（3）结合（1）（2）的方法进行求解.
试题解析：（1）∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°
、OD平分∠BOC ∴∠COD=150°÷2=75° ∵OE平分∠AOC ∴∠COE=60°÷2=30°
∴∠DOE=∠COD－∠COE=75°－30°=45°
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2α ∴∠BOC＝90°＋2α ∵OD、 OE平分∠BOC，∠AOC
∴∠DOC＝∠BOC＝45°+α，∠COE＝∠AOC＝α ∴∠DOE＝∠DOC－∠COE＝450
考点：角平分线的性质.
25．
（1）如1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数；
（2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数；
（3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点与点在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
试题分析：（1）根据条件，平分，、分别平分、，可得∠COD=∠COE=30°，然后根据计算可得；
（2）根据图形知，又、分别平分、，所以;
（3）根据条件和图形可得.
试题解析：（1）∵,平分
∴
∵、分别平分、
∴
∴
（2）∵、分别平分、
∴
∴
（3）
考点：1.角的平分线；2.角的和差关系；3.角的计算.
26．如图，O为直线AB上一点，，OD平分，。
A
O
B
D
C
E
（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角；（3分）
（2）求出的度数；（3分）
（3）请通过计算说明OE是否平分。（3分）
【答案】（1）9个（2）（3）OE平分
【解析】
试题分析：（1）根据角的定义，结合平角的定义即可得到结果；
（2）先根据角平分线的定义求得∠AOD的度数，再根据平角的定义即可得到结果；
（3）先根据角平分线的定义求得∠COD的度数，再结合∠DOE=90°即可得到∠COE的度数，由∠AOD和∠DOE的度数结合平角的定义即可得到∠BOE的度数，从而可以判断.
试题解析：（1）有∠AOD、∠COD、∠COE、∠BOE、∠AOC、∠DOE、∠BOC、∠AOE、∠DOB共9个；
（2）∵∠AOC=50°，OD平分∠AOC
∴∠AOD=25°
∴∠BOD=180°-∠AOD=155°；
（3）∵∠AOC=50°，OD平分∠AOC
∴∠COD=25°
∵∠AOD=25°，∠DOE=90°
∴∠COE=∠BOE=65°
∴OE是否平分∠BOC.
考点：比较角的大小
27．如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，OE是∠BOD的三等分线．
（1）求∠BOD的度数；
（2）求∠COE的度数．
【答案】（1）45°；（2）75°．
【解析】
试题分析：（1）首先根据角平分线的性质求出∠BOC的度数，然后根据∠COD=90°求出∠BOD的度数；（2）根据三等分线求出∠DOE的度数，然后根据∠COD=90°求出∠COE的度数．
试题解析：（1）∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB ∴∠BOC=∠AOB=45°，
∴∠BOD=∠COD－∠BOC=90°－45°=45°，
（2）∵OE是∠BOD的三等分线∴∠DOE=∠BOD＝×45°＝15°，
∴∠COE=∠COD－∠DOE=90°－15°=75°
考点：角度的计算．
28．（本题满分6分）已知：如图，∠AOB=∠COD=90°
求：（1）∠AOC等于∠BOD吗？请说明理由；
（2）若∠BOD=136°，∠BOC等于多少度？
【答案】（1）∠BOD =∠AOC；（2）∠BOC=134°．
【解析】
试题分析：（1）观察图形可知∠AOC=∠BOD，利用角的和差关系可证；（2）∠BOC=360°-∠COD-∠BOD．
试题解析：解：（1）∠AOC=∠BOD
∵∠AOB=∠COD=90°
∴∠AOB+∠AOD =∠COD+∠AOD即∠BOD =∠AOC
（2）∵∠BOD+∠COD+∠BOC=360°
即136°+90°+∠BOC=360°
∴∠BOC=134°
考点：1．角的和差关系；2．角的有关概念及计算．
29．如图，∠AOB=35°，∠BOC=50°，∠COD=21°，OE平分∠AOD，求∠BOE的度数。
【答案】18°
【解析】
试题分析：先根据∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD求出∠AOD的度数，再利用OE平分∠AOD，求出∠AOE的度数，然后利用∠BOE=∠AOE-∠AOB可解．
试题解析：解：
∵∠BOE=∠AOE-∠AOB
把∠AOB=35°，∠BOC=50°，∠DOC=21°代入得：
∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=35°+50°+21°=106°，
∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠EOD即∠AOE=53°，
∴∠BOE=∠AOE-∠AOB=53°-35°=18°．
考点：角的和差计算．
30．如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCB＝35°，求∠ACB的度数；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数．
【答案】(1)∠ACB=125°；(2)∠ECD=40°.
【解析】
试题分析：（1）利用∠ACB=∠ACD+∠DCB，直接求出即可；
（2）首先求出∠DCB，进一步利用余角的意义解决问题．
试题解析：
（1）因为∠ACD＝90°，∠DCB=35°
所以∠ACB＝∠ACD+∠DCB
＝90°+35°
＝125°
（2）因为∠ACB=140°，∠ACD＝90°
所以∠DCB＝∠ACB－∠ACD
＝140°－90°
＝50°
又因为∠ECB＝90°
所以∠ECD＝∠ECB－∠DCB
＝90°－50°
＝40°
考点：角的运算.
31．如图所示，∠AOB=∠AOC=90°，∠DOE=90°，OF平分∠AOD，∠AOE=36°．
（1）求∠COD的度数；
（2）求∠BOF的度数．
【答案】（1）144°；（2）63°
【分析】
（1）先根据互余的关系求出∠COE=54°，然后利用∠COD=∠DOE+∠COE计算即可；
（2）先根据互余的关系求出∠AOD=54°，再求出∠BOD和∠DOF，利用角的和差关系即可求出∠BOF．
【详解】
（1）∵∠AOC=90°，
∴∠COE=90°﹣AOE=90°﹣36°=54°，
∴∠COD=∠DOE+∠COE=90°+54°=144°；
（2）∵∠DOE=90°，∠AOE=36°，
∴∠AOD=90°﹣36°=54°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=90°﹣54°=36°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠DOF=∠AOD=27°，
∴∠BOF=36°+27°=63°．
考点：1．余角和补角；2．角平分线的定义．
32．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）求∠EOF的度数；
（2）若将条件“∠AOB是直角，∠BOC=60°”改为：∠AOB=x°，∠EOF=y°，其它条件不变．
①则请用x的代数式来表示y；
②如果∠AOB+∠EOF=156°．则∠EOF是多少度？
【答案】（1）45°；（2）①y=x；②52°
【解析】试题分析：（1）根据角平分线的定义和角的和差倍分的关系即可求得∠EOF的度数；（2）①把（1）中的数字换成字母即可解得x与y的关系；②根据x+y=156°，y=x即可解得x、y的值．
试题解析：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=∠AOC-∠BOC=（∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB=×=90°=45°．
（2）①∵∠AOB=x°，∠EOF=y°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=∠AOC-∠BOC=（∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB．即y=x．
②∵∠AOB+∠EOF=156°．则x+y=156°，
又∵y=x．代入解得x=104°，y=52°．即∠EOF=52°．
考点：角平分线的性质；角的计算．
33．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD．
E
B
F
C
A
O
D
（1）写出图中任意一对互余的角；
（2）求∠EOF的度数．
【答案】54°
【解析】
试题分析：（1）利用∠DOF=90°，找出两角互余的情况即可；
（2））根据对顶角相等，可得∠BOD=∠AOC，根据OE平分∠BOD，可得∠EOD，根据邻补角，可得∠COE，根据角的和差，可得∠EOF．
试题解析：解：（1）∠BOF与∠BOD或∠DOE与∠EOF；
（2）∵∠COF=180°-∠DOF=90°，
∴∠BOF=180°-∠AOC-∠COF=180°-72°-90°=18°，
∴∠BOD=∠DOF-∠BOF=90°-18°=72°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠BOD=36°，
∴∠EOF=∠BOF+∠BOE=18°+36°=54°．
答：∠EOF为54°
考点：互为余角，角的和差运算
34．（本小题满分9分）如图直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠EOD，求∠AOC和∠COB的度数。
【答案】，
【解析】
试题分析：先根据垂直的定义求出∠BOE=90°，然后求出∠BOD的度数，再根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据邻补角的定义求出∠COB的度数．
试题解析：解、∵OE⊥AB（已知）
∴∠AOE（垂直定义）
∵∠EOD（已知）
∴∠AOC－∠AOE－∠EOD＝
∵∠COB与∠AOC是邻补角
∴∠COB－∠AOC＝
考点：对顶角，垂直的定义
35．如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
【答案】∠AOB=50°，∠AOC=130°
【解析】试题分析：结合图形，根据余角、补角的定义，有时还需考虑角平分线的性质，分析并找到角与角之间的关系，再进行计算得出答案．
试题解析：设∠AOB=x°，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°-x°．
由题意，得．
∴180-x-x=80，
∴-2x=-100，
解得x=50
故∠AOB=50°，∠AOC=130°．
考点：1．余角和补角；2．角平分线的定义．
36．如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，
（1）若∠DCE=25°，∠ACB=；若∠ACB=150°，则∠DCE=；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系，请说明理由．
【答案】（1）155°，30°；（2）∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补），理由见解析；
（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度数；（2）根据前个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前问的解决思路得出证明．（3）根据（1）（2）解决思路确定∠DAB与∠CAE的大小并证明．
试题解析：（1）∵∠ECB=90°，∠DCE=25°，∴∠DCB=90°-25°=65°，∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=155°．∵∠ACB=150°，∠ACD=90°，∴∠DCB=150°-90°=60°，∵∠ECB=90°，∴∠DCE=90°-60°=30°．故答案为155°，30°；
（2）猜想得：∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补）．
理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，∠DCE=∠ECB-∠DCB=90°-∠DCB，∴∠ACB+∠DCE=180°；
（3）∠DAB+∠CAE=120°．
理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，故∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°．
考点：①余角和补角；②角的计算．
37．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，OF⊥CD，垂足为O，求∠EOF的度数。
【答案】54°．
【解析】
试题分析：由∠BOD=∠AOC=72°，OF⊥CD，求出∠BOF=90°-72°=18°，再由OE平分∠BOD，得出∠BOE=∠BOD=36°，因此∠EOF=36°+18°=54°．
试题解析：∵直线AB和CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=72°，
∵OF⊥CD，
∴∠BOF=90°-72°=18°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠BOD=36°，
∴∠EOF=36°+18°=54°．
考点：1．对顶角、邻补角；2．角平分线的定义；3．垂线．
38．如图所示，∠AOB是平角，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线．
（1）已知∠AOC=300，∠BOD=600，求∠MON的度数；
（2）若已知∠COD=，你能求出∠MON的度数吗？如果能，请求出；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）135°；（2）．
【解析】
试题分析：（1）根据平角即可求得∠AOB的度数，再根据角平分线的定义求得∠AOM和∠BON的度数，从而求得∠MON的度数；
（2）因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，故知∠MOC+∠NOD=∠AOC+∠BOD=（∠AOC+∠BOD）即可解答．
试题解析：（1）∵∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，
∴∠COD=∠A0B-∠AOC-∠BOD=180-30-60=90°，
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠MOC=∠AOC=15°，∠NOD=∠BOD=30°，
∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠NOD=15+90+30=135°；
（2）∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线，
∴
∴∠MON=180°-∠AOM-∠BON
=180°-
考点：1．角平分线的性质；2．角的计算．
39．如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE＝．
（1）若∠AOC＝，求出∠BOD的的度数；
（2）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
【答案】（1）155°；（2）证明过程见解析
【解析】
试题分析：(1)、根据角平分线的性质求出∠AOD的度数，然后求出∠BOD的度数；(2)、根据等式的性质进行说明.
试题解析：(1)、∵OD平分∠AOC ∠AOC=50° ∴∠AOD=50°÷2=25°
∴∠BOD=180°－∠AOD=180°－25°=155°
、∵∠DOE=90° ∴∠COE+∠COD=90° ∠BOE+∠AOD=90°
∵∠COD=∠AOD ∴∠COE=∠BOE ∴OE平分∠BOC.
考点：角平分线的性质.
40．如图，∠AOB为直角，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数.
【答案】∠MON的度数为45°.
【分析】
结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．
【详解】
解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC=∠BOC，∠NOC=∠AOC，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（∠BOC-∠AOC）
=（∠BOA+∠AOC-∠AOC）
=∠BOA=45°．
故∠MON的度数为45°．
【点睛】
本题考查角的计算及角平分线的定义．
41．（2015秋•相城区期末）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD=32°．
（1）求∠AOG的度数；
（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？请说明理由．
【答案】（1）58°；（2）是
【解析】
试题分析：（1）根据对顶角的性质，可得∠AOC的度数，根据角的和差，可得答案；
（2）根据角平分线的性质，可得∠AOC与∠COE的关系，根据对顶角的性质，可得∠DOF与∠COE的关系，根据等量代换，可得∠AOC与∠DOF的关系，根据余角的性质，可得答案．
解：（1）由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=32°，
由角的和差，得∠AOG=∠COG﹣∠AOC=90°﹣32°=58°；
（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线，理由如下：
由OC是∠AOE的平分线，得∠COE=∠AOC=32°，
由对顶角相等，得∠DOF=∠COE，
等量代换，得∠DOF=∠AOC．
∠AOC+∠AOG=∠COG=90°，
∠DOF+∠FOG=∠DOG=90°，
由等角的余角相等，得∠AOG=∠FOG，
OG是∠AOF的平分线．
考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义；垂线．
42．（2015秋•端州区期末）如图，直线AB和EF相交于O，OC平分∠AOB，∠1=65°，试求∠3的度数．
【答案】∠3=∠AOE=155°．
【解析】
试题分析：由已知OC平分∠AOB，所以得∠AOC=90°，则∠AOE=∠AOC+∠1，再根据对顶角相等求出∠3的度数．
解：∵直线AB和EF相交于O，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB=90°，
∴∠AOE=∠AOC+∠1=90°+65°=155°，
∠3与∠AOE是对顶角，
∴∠3=∠AOE=155°．
考点：角的计算；角平分线的定义；对顶角、邻补角；垂线．
43．（2015秋•兴化市校级月考）已知：如图，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，∠AOB=90°；
（1）∠AOC=40°，求∠MON的大小；
（2）当锐角∠AOC的度数发生改变时，∠MON的大小是否发生改变，并说明理由．
【答案】（1）∠MON=45°；（2）不发生改变．
【解析】
试题分析：（1）求得∠BOC=130°，然后求得∠NOC=∠AOC=20°，∠MOC=∠BOC=65°，根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC即可求出∠MON的度数．
（2）结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．
解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=40°，
∴∠BOC=130°，
∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
∴∠NOC=∠AOC=20°，∠MOC=∠BOC=65°，
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣20°=45°，
即∠MON=45°；
（2）不发生改变，
理由：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC=∠BOC，∠NOC=∠AOC，
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠BOC﹣∠AOC）
=（∠AOB+∠AOC﹣∠AOC）
=∠AOB
=45°．
所以不发生改变．
44．如图所示，OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，且∠AOB=90°．
（1）若∠BOC=40°，求∠EOD的度数；
（2）若∠AOB+∠BOC=x°，直接写出用含x的式子表示∠EOD的度数．
【答案】（1）65°；（2）x°．
【解析】
试题分析：（1）首先根据角平分线的性质得出∠BOE和∠BOD的度数，然后根据∠EOD=∠BOE+∠BOD得出答案；（2）根据角平分线的性质得出∠EOD的度数．
试题解析：（1）∵OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∠AOB=90°，∠BOC=40°，
∴∠BOE=∠AOB=45°，∠BOD=∠BOC=20°，
∴∠EOD=∠BOE+∠BOD=45°+20°=65°；
（2）∵OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∠AOB+∠BOC=x°，
∴∠BOE=∠AOB，∠BOD=∠BOC，
∴∠EOD=∠BOE+∠BOD=（∠AOB+∠BOC）=x°．
考点：角度的计算
45．已知：如图，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，∠AOB=90º；
（1）∠AOC=40º，求∠MON的大小；
（2）当锐角∠AOC的度数发生改变时，∠MON的大小是否发生改变，并说明理由．
【答案】（1）∠MON=45°；（2）不发生改变．
【解析】
试题分析：（1）求得∠BOC=130°，然后求得∠NOC=∠AOC=20°，∠MOC=∠BOC=65°，根据∠MON=∠MOC-∠NOC即可求出∠MON的度数．
（2）结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．
试题解析：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=40°，
∴∠BOC=130°，
∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
∴∠NOC=∠AOC=20°，∠MOC=∠BOC=65°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=65°-20°=45°，
即∠MON=45°；
（2）不发生改变，
理由：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC=∠BOC，∠NOC=∠AOC，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（∠BOC-∠AOC）
=（∠AOB+∠AOC-∠AOC）
=∠AOB
=45°．
所以不发生改变．
考点：角平分线的定义．
46．如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOD=70°，∠EOF=65°．求∠AOF的度数．
【答案】30°
【解析】
试题分析：首先根据对顶角的性质求出∠AOC的度数，然后根据角平分线的性质得出∠AOE的度数，最后根据∠EOF－∠AOE得出∠AOF的度数．
试题解析：∵∠BOD=70°
∴∠AOC=∠BOD=70°
∵OE平分∠AOC
∴∠AOE=70°÷2=35°
∵∠EOF=65°
∴∠AOF=∠EOF－∠AOE=65°－35°=30°
考点：角度的计算．
47．如图所示，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，
O
A
E
B
D
C
（1）如果∠AOB＝90°，∠BOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）如果∠AOB＝，∠BOC＝（、均为锐角，＞），其他条件不变，求∠DOE；
【答案】（1）;（2）
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的定义求得
从而求得的度数；
（2）根据角平分线的定义求得
试题解析：（1）又分别平分和，
又分别平分和，
考点：1、角平分线的定义；2、角的计算．
48．一个角的余角比这个角的补角的一半还少40°，求这个角的度数．
【答案】
【详解】
试题分析：设这个角的度数为度，则余角为度，补角为度，根据这个角的余角比这个角的补角的一半还少即可列方程求解．
试题解析：设这个角的度数为度，根据题意得，解得
考点：余角和补角．
49．一个角的余角比这个角的多30°，请你计算出这个角的大小．
【答案】48°．
【解析】
试题分析：设这个角的度数为度，则余角为度，根据这个角的余角比这个角的还多即可列方程求解．
试题解析：设这个角为，则其余角为，依题意得：，解方程得：．
考点：余角和补角．
50．点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）①、如图1，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；
②、如图1，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置．
探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）①、20°；②、∠DOE=α；（2）∠DOE=∠AOC；理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）①首先根据180°－∠AOC求出∠BOC的度数，根据角平分线的性质的性质得出∠COE的度数，然后根据∠DOE=∠COD－∠COE得出答案；②、根据①得出规律；（2）根据题意得出∠BOC=180°－∠AOC，根据角平分线的性质得出∠COE=90°－∠AOC，最后根据∠DOE=∠COD－∠COE得出答案．
试题解析：（1）①∵∠BOC=180°－∠AOC=180°－40°=140° 又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=∠BOC=×140°=70° ∴∠DOE=∠COD－∠COE=90°－70°=20°
②∠DOE=α
∠DOE=∠AOC
理由如下：∵∠BOC=180°－∠AOC OE平分∠BOC
∴∠COE=∠BOC=×（180°－∠AOC）=90°－∠AOC
∴∠DOE=∠COD－∠COE=90°－（90°－∠AOC）=∠AOC
考点：角平分线的性质
51．已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°．
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是；
（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转n°（即∠AOC= n°），且．
①如果∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n=．
②当60﹤n﹤90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON的度数．
【答案】（1）60°；（2）①、60°、90°、150°；②、60°．
【解析】
试题分析：（1）根据∠BOD=∠AOB－∠COD得出答案；（2）本题需要分几种情况进行讨论，即AO⊥OC，AO⊥OD，BO⊥OC，BO⊥OD；（3）根据角平分线的性质得出∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，然后根据题意得出∠AOC+∠BOD+2∠BOC=120°，从而根据∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=∠AOC+∠BOC+∠BOD得出答案．
试题解析：（1）60°；
（2）60°、90°、150°．
（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD ∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD
∵∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD
∴∠AOC+∠BOD+2∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=∠AOC+∠BOC+∠BOD=×120°=60°
考点：（1）角平分线的性质；（2）角度之间的计算．
52．如图，已知∠AOM与∠MOB互为余角，且∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）如果已知中∠AOB=80°，其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）如果已知中∠BOC=60°，其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从（1）、（2）、（3）中你能看出有什么规律．
【答案】（1）45度．（2）40度．
（3）∠MON=45度．
（4）∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化无关．
【解析】
试题分析：要根据所提供的条件，和角平分线的性质，和两角互余的性质，求出角的度数．
解：（1）因OM平分∠AOC，
所以∠MOC=∠AOC．
又ON平分∠BOC，
所以∠NOC=∠BOC．
所以∠MON=∠MOC﹣∠NOC=∠AOC﹣∠BOC=∠AOB．
而∠AOB=90°，所以∠MON=45度．
（2）当∠AOB=80°，其他条件不变时，∠MON=×80°=40度．
（3）当∠BOC=60°，其他条件不变时，∠MON=45度．
（4）分析（1）、（2）、（3）的结果和（1）的解答过程可知：
∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化无关．
考点：余角和补角；角平分线的定义．
53．如图，AB⊥OD，∠BOC比∠DOC大34°，OE平分∠AOC，求：
（1）∠COD的大小；
（2）∠DOE的大小．
【答案】（1）28°；（2）34°．
【解析】
试题分析：（1）结合已知设∠DOC=x°，则∠BOC=x°+34°，再利用垂直的定义得出答案；
（2）利用（1）中所求，结合角平分线的性质求出答案．
解：（1）由题意可得：设∠DOC=x°，则∠BOC=x°+34°，
∵AB⊥OD，
∴∠DOC+∠BOC=90°，
则x°+x°+34°=90°，
解得：x=28．
故∠COD的度数为28°；
（2）∵∠AOD=90°，∠DOC=34°，
∴∠AOC=124°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=∠AOE=62°，
∴∠DOE的度数为：∠EOC﹣∠DOC=62°﹣28°=34°．
考点：垂线；角平分线的定义．
54．若一个角的余角比这个角的补角的一半少42．,求这个角的度数．
【答案】84°
【解析】
试题分析：根据互余两角的和为90°，互补两角的和为180°，然后设出未知数，列方程解答即可．
试题解析：设这个角的度数是x0,则它的余角为(90-x)0，补角为(180-x)0
依题意得：90-x=(180-x)-42
解得 x=84
答:这个角的度数是84°
考点：一元一次方程的应用
55．如图，（1）已知∠AOB是直角，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
（2）如果（1）中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数．
（3）你从（1）、（2）的结果中能发现什么规律？
【答案】（1）45°；（2）∠MON=∠AOB=；（3）∠MON的大小总等于∠AOB的一半
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的性质，和角的和差倍半可求解；
（2）类似（1）解法，把角的度数换成字母表示即可；
（3）同（2）的方法，把几何语言表示变成文字语言表示即可．
试题解析：（1）∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=∠AOC-∠BOC=∠AOB
∵∠AOB=90°，∴∠MON=45°
（2）当∠AOB=α时，其他条件不变．总有∠MON=∠AOB=
（3）由（1）（2）的结果，可得出结论：∠MON的大小总等于∠AOB的一半．
考点：角平分线的性质
56．（2015秋•鞍山期末）点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）①如图1，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；
②如图1，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置．探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）①25°；②α；（2）∠DOE=∠AOC
【解析】
试题分析：（1）①首先求得∠COB的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE=∠COD﹣∠COE即可求解；
②解法与①相同，把①中的60°改成α即可；
（2）把∠AOC的度数作为已知量，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE=∠COD﹣∠COE求得∠DOE，即可解决．
解：（1）①∵∠AOC=50°
∴∠BOC=180°﹣∠AOC
=180°﹣50°
=130°
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=∠BOC=×130°=65°
又∵∠COD=90°
∴∠DOE=∠COD﹣∠COE
=90°﹣65°
=25°
②∠DOE=90°﹣（180﹣α）
=90°﹣90°+α=α；
（2）∠DOE=∠AOC，理由如下：
∵∠BOC=180°﹣∠AOC
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=∠BOC=（180°﹣∠AOC）
=90°﹣∠AOC
又∵∠DOE=90°﹣∠COE
=90°﹣（90°﹣∠AOC）
=∠AOC．
考点：角的计算；角平分线的定义．
57．已知∠AOD=α，射线OB、OC在∠AOD的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）如图1，当射线OB与OC重合时，求∠MON的大小；
（2）在（1）的条件下，若射线OC绕点O逆时针旋转一定角度θ，如图2，求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，射线OC绕点O继续逆时针旋转，旋转到与射线OA的反向延长线重合为止，在这一旋转过程中，∠MON=．
【答案】（1）∠MON=α；（2）（α﹣θ）；（3）（θ﹣α）．
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的定义求出∠BOM和∠BON，然后根据∠MON=∠BOM+∠BON代入数据进行计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义求出∠COM和∠BON，然后根据∠MON=∠COM+∠BON﹣∠BOC代入数据进行计算即可得解；
（3）根据角平分线的定义求出∠AOM=∠AOC=90°，∠DON=∠BOD，根据∠AOD﹣∠BOD+BOC=180°求得∠BOD=α+θ﹣180°，然后根据∠MON=90°﹣α+∠BOD，代入数据进行计算即可得解．
解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠BON﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α，
∴∠MON=α；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
∴∠COM=∠AOC，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠BON﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC，
∵∠AOD=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=α，
∴∠AOC+∠BOD=α+θ，
∴∠MON=（α+θ）﹣θ=（α﹣θ）；
（3）如图3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
∴∠AOM=∠AOC=90°，∠DON=∠BOD，
∴∠MON=90°﹣α+∠BOD，
∵∠AOD﹣∠BOD+BOC=180°，
∴∠BOD=α+θ﹣180°，
∴∠MON=90°﹣α+∠BOD=90°﹣α+（α+θ﹣180°）=（θ﹣α）．
故答案为（θ﹣α）．
考点：角的计算；角平分线的定义．
58．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求∠BOD的度数；（2）试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量关系，说说你的理由．
【答案】（1）155°；（2）∠BOE=∠COE
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的定义，邻补角的定义，可得答案；
（2）根据角的和差，可得答案．
解：（1）由角平分线的定义，得
∠AOD=∠COD=∠AOC=×50°=25°．
由邻补角的定义，得
∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣25°=155°；
（2）∠BOE=∠COE，理由如下：
由角的和差，得
∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，
∠COE=∠DOE﹣∠COD=90°﹣25°=65°，
则∠BOE=∠COE．
考点：角的计算；角平分线的定义．
59．如图，∠AOC=140°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOE的度数．
（2）求∠DOE的度数．
【答案】（1）20°；（2）90°．
【解析】
试题分析：（1）根据邻补角的性质可得∠COB=180°﹣140°=40°，再根据角平分线的性质可得答案；
（2）由角平分线的定义可知==70°，又∠COE=∠BOE=20°，∠DOE=∠DOC+∠COE，可得结果．
解：（1）∵∠AOC=140°，
∴∠COB=180°﹣140°=40°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=20°；
（2）∵∠AOC=140°，OD平分∠AOC，
∴==70°，
∵∠COE=∠BOE=20°，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=70°+20°=90°．
考点：角平分线的定义．
60．已知：点O为直线AB上一点，∠COD=90°，射线OE平分∠AOD．
（1）如图①所示，若∠COE=20°，则∠BOD=______°．
（2）若将∠COD绕点O旋转至图②的位置，试判断∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由；
（3）若将∠COD绕点O旋转至图③的位置，∠BOD和∠COE的数量关系是否发生变化？并请说明理由．
（4）若将∠COD绕点O旋转至图④的位置，继续探究∠BOD和∠COE的数量关系，请直接写出∠BOD和∠COE之间的数量关系：______．
【答案】（1）40°；（2）∠BOD=2∠COE．（3）∠BOD=2∠COE；（4）∠BOD+2∠COE=360°
【详解】
试题分析：（1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOE度数，根据∠AOC=∠AOE﹣∠COE、∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD可得∠BOD度数；
（2）由互余及角平分线得∠DOE=90°﹣∠COE=∠AOE，∠AOC=∠AOE﹣∠COE=90°﹣2∠COE，最后根据∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD可得；
（3）由互余得∠DOE=90°﹣∠COE，由角平分线得∠AOD=2∠DOE=180°﹣2∠COE，最后根据∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD可得；
（4）由互余得∠DOE=∠COE﹣90°，由角平分线得∠AOD=2∠DOE=2∠COE﹣180°，最后根据∠BOD=180°﹣∠AOD可得；
解：（1）∠EOD=∠COD﹣∠COE=90°﹣20°=70°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠EOD=2×70°=140°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣140°=40°．
（2）∠BOD=2∠COE．理由如下：
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=90°﹣∠COE，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠DOE=90°﹣∠COE，
∴∠AOC=∠AOE﹣∠COE=90°﹣2∠COE，
∵A、O、B在同一直线上，
∴∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD
=180°﹣90°﹣（90°﹣2∠COE）
=2∠COE，
即：∠BOD=2∠COE．
（3）∠BOD=2∠COE，理由如下；
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠EOD，
∵∠BOD+∠AOD=180°，
∴∠BOD+2∠EOD=180°．
∵∠COD=90°，
∴∠COE+∠EOD=90°，
∴2∠COE+2∠EOD=180°，
∴∠BOD=2∠COE；
（4）∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COE﹣90°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2∠COE﹣180°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD
=180°﹣2∠COE+180°
=360°﹣2∠COE，
即：∠BOD+2∠COE=180°．
故答案为（1）40°，（4）∠BOD+2∠COE=360°．
考点：角的计算；角平分线的定义；余角和补角；角的大小比较．
61．如图所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．
（1）若∠AOB=120°，则∠COE是多少度？
（2）若∠EOC=65°，∠DOC=25°，则∠BOE是多少度？
【答案】（1）60°；（2）40°．
【解析】
试题分析：（1）直接利用角平分线的性质得出∠AOC=∠DOC，∠BOE=∠DOE，进而求出答案；
（2）利用已知得出∠DOE的度数，进而得出答案．
解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOC=∠DOC，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠COE=∠AOB=60°；
（2）∵∠EOC=65°，∠DOC=25°，
∴∠DOE=∠COE﹣∠DOC=65°﹣25°=40°，
∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠BOE=∠DOE=40°．
考点：角平分线的定义．
62．（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC．求∠EOF的度数；
（2）如图2，若∠AOC=∠BOD=80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．求∠EOF的度数；
（3）若∠AOC=∠BOD=α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．若α+β≤180°，α＞β，则∠EOC= ．（用含α与β的代数式表示）
【答案】（1）90°；（2）80°；（3）
【解析】
试题分析：（1）根据垂直的定义得到∠AOC=∠BOC=90°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠EOD=∠AOD=×（80+β）=40+β，∠COF=∠BOC=×（80+β）=40+β，根据角的和差即可得到结论；
（3）如图2由已知条件得到∠AOD=α+β，根据角平分线的定义得到∠DOE=（α+β），即可得到结论．
解：（1）∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=∠AOC=×90°=45°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=∠BOC=×90°=45°，
∠EOF=∠EOC+∠COF=45°+45°=90°；
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD=∠AOD=×（80+β）=40+β，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=∠BOC=×（80+β）=40+β，
∠COE=∠EOD﹣∠COD=40+β﹣β=40﹣β；
∠EOF=∠COE+∠COF=40﹣β+40+β=80°；
（3）如图2，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，
∴∠AOD=α+β，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=（α+β），
∴∠COE=∠DOE﹣∠COD==，
如图3，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，
∴∠AOD=α+β，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=（α﹣β），
∴∠COE=∠DOE+∠COD=．
综上所述：，
故答案为．
考点：角的计算；角平分线的定义．
63．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，另一边ON仍在直线AB的下方．
（1）若OM恰好平分∠BOC，求∠BON的度数；
（2）若∠BOM等于∠COM余角的3倍，求∠BOM的度数；
（3）若设∠BON＝α（0°<α<90°），试用含α的代数式表示∠COM．
【答案】（1）（2）（3）∠COM=30°+α
【解析】
试题分析：（1）利用角平分线求出的度数，由，所以，即可解出的度数．（2）设的余角为x°，则，由题意可列出方程，解出x即可．（3）因为，代入求解即可．
试题解析：（1），OM恰好平分
又．
设的余角为x°，则由题意得：，x=15,3x=45，所以的度数为45°．
（0°<<90°）．
．
考点：1、角平分线的概念 2、余角和补角 3、一元一次方程与角的计算的运用．
64．已知：如图所示，∠AOB：∠BOC=3：2，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，且∠DOE=36°，求∠BOE的度数．
【答案】12°
【解析】
试题分析：用比例巧设方程，用x去表示各角，利用角与角之间的关系从而得出结论．
解：设∠AOB=3x，∠BOC=2x．
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x．
∵OE是∠AOC的平分线，OD是∠BOC的平分线，
∴∠COE═∠AOC=x∠COD=∠BOC=x，
∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=x﹣x=x，
∵∠DOE=36°，
∴x=36°，
解得，x=24°，
∴∠BOE=∠COE﹣∠COB=×24﹣2×24=12°．
考点：角的计算；角平分线的定义．
65．如图，时钟的时针，分针均按时正常转动．
（1）分针每分针转动了度，时针每分钟转动了度；
（2）若现在时间恰好是2点整，求：
①经过多少分钟后，时针与分针第一次成90°角；
②从2点到4点（不含2点）有几次时针与分针成60°角，分别是几时几分？
【答案】（1）6，0.5；（2）①经过分钟后，时针与分针第一次成90°角；②分别是2时分，3时分，3时分．
【解析】
试题分析：（1）利用钟表表盘的特征解答．表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为6°．
（2）①可设经过x分钟后，时针与分针第一次成90°角，根据角度差的等量关系列出方程求解即可；
②分三种情况：2时～3时，时针与分针成60°角；3时～4时，时针在前面，分针在后面，时针与分针成60°角；3时～4时，分针在前面，时针在后面，时针与分针成60°角；列出方程求解即可．
解：（1）分针每分针转动了6度，时针每分钟转动了0.5度．
故答案为：6，0.5；
（2）①设经过x分钟后，时针与分针第一次成90°角，依题意有
6x﹣0.5x﹣60=90，
解得x=．
故经过分钟后，时针与分针第一次成90°角；
②2时～3时，时针与分针成60°角，
6m﹣60﹣0.5m=60，
解得m=；
故3时～4时，时针在前面，分针在后面，时针与分针成60°角，
90+0.5n﹣6n=60，
解得n=；
3时～4时，分针在前面，时针在后面，时针与分针成60°角；
6t﹣90﹣0.5t=60，
解得t=．
故从2点到4点（不含2点）有3次时针与分针成60°角，分别是2时分，3时分，3时分．
考点：一元一次方程的应用；钟面角．
66．如图，点O是直线EF上一点，射线OA，OB，OC在直线EF的上方，射线OD的直线EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．
（1）若∠DOF=25°，求∠AOB的度数．
（2）若OA平分∠BOE，则∠DOF的度数是．（直接写出答案）
【答案】（1）50°；（2）30°．
【解析】
试题分析：（1）利用角平分线的定义可得∠DOC=50°，由垂直的定义可得∠BOD=90°，易得∠BOC=40°，因为OA⊥OC，可得结果；
（2）利用垂直的定义易得∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，可得∠COD=∠AOB，设∠DOF=∠COF=x，利用平分线的定义可得∠AOE=∠AOB=∠COD=2x，∠BOC=90°﹣2x，由平角的定义可得5x+90°﹣2x=180°，解得x，即得结果．
解：（1）∵∠DOF=25°，OF平分∠COD，
∴∠DOC=50°，
∵OB⊥OD，
∴∠BOC=90°﹣50°=40°，
∵OA⊥OC，
∴∠AOB=90°﹣∠BOC=50°；
（2）∵∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，
∴∠COD=∠AOB，
设∠DOF=∠COF=x，
∵OA平分∠BOE，
∴∠AOE=∠AOB=∠COD=2x，∠BOC=90°﹣2x，
∴5x+90°﹣2x=180°，
解得：x=30°，
即∠DOF=30°．
故答案为30°．
考点：垂线；角平分线的定义．
67．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OM平分∠AOD，ON平分∠DOE．
（1）若∠EON=18°，求∠AOC的度数．
（2）试判断∠MON与∠AOE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）54°；（2）∠MON=∠AOE=45°．
【解析】
试题分析：（1）直接利用角平分线的性质得出∠DOE的度数，再求出∠DOB的度数，进而得出答案；
（2）直接利用未知数表示出∠AOD、∠MOD、∠MON进而求出答案．
解：（1）∵ON平分∠DOE，
∴∠DOE=2∠EON=36°，
∵∠BOE=∠DOE+∠DOB=90°，
∴∠DOB=∠BOE﹣∠DOE=54°，
∴∠AOC=∠DOB=54°；
（2）∠DON=∠AOE
理由：设∠DON=x°，
∵ON平分∠DOE，
∴∠DOE=2∠DON=2x°，
∵∠AOE+∠BOE=180°，∠BOE=90°，
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=90°，
∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=（90+2x）°，
∵OM平分∠AOD，
∴∠MOD=（90+2x）°=（45+x）°，
∴∠MON=∠MOD﹣∠DON=45°，
∴∠MON=∠AOE=45°．
考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义；垂线．
68．已知，在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数为 °，∠CON的度数为 °；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为 °；
（3）请从下列（A），（B）两题中任选一题作答．
我选择： ．
（A）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则∠AOD的度数为 °；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC ∠BON（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（B）如图4，MN⊥AB，ON在∠AOC的内部，若另一边OM在直线AB的下方，则∠COM+∠AON的度数为 °；∠AOM﹣∠CON的度数为 °．
【答案】（1）120；150．（2）30°．（3）A（或B）；30；=；150；30．
【解析】
试题分析：（1）利用两角互补，即可得出结论；
（2）根据OM平分∠BOC，可得出∠BOM=60°，由∠BOM+∠BON=∠MON=90°可求得∠BON的度数；
（3）根据直角三角板MON各角的度数以及图中各角的关系即能得出结论．
解：（1）∵∠AOC=60°，∠BOC与∠AOC互补，∠AON=90°
∴∠BOC=180°﹣60°=120°，∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°．
故答案为120；150．
（2）∵三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，∠BOC=120°，
∴∠BOM=∠BOC=60°，
又∵∠MON=∠BOM+∠BON=90°，
∴∠BON=90°﹣60°=30°．
故答案为30°．
（3）（A）∵∠AOD=∠BON（对顶角），∠BON=30°，
∴∠AOD=30°，
又∵∠AOC=60°，
∴∠DOC=∠AOC﹣∠AOD=60°﹣30°=30°=∠BON．
（B）∵MN⊥AB，
∴∠AON与∠MNO互余，
∵∠MNO=60°（三角板里面的60°角），
∴∠AON=90°﹣60°=30°，
∵∠AOC=60°，150
∴∠CON=∠AOC﹣∠AON=60°﹣30°=30°，
∴∠COM+∠AON=∠MON+2∠CON=90°+2×30°=150°，
∠AOM﹣∠CON=∠MON﹣2∠CON=90°﹣2×30°=30°．
故答案为A（或B）；30；=；150；30．
考点：角的计算；角平分线的定义．
69．如图，已知∠AOB=120°，射线OA绕点O以每秒钟6°的速度逆时针旋转到OP，设射线OA旋转OP所用时间为t秒（t＜30）．
（1）如图1，直接写出∠BOP=°（用含t的式子表示）；
（2）若OM平分∠AOP，ON平分∠BOP．
①当OA旋转到如图1所示OP处，请完成作图并求∠MON的度数；
②当OA旋转到如图2所示OP处，若2∠BOM=3∠BON，求t的值．
【答案】（1）（120﹣6t）；（2）①60°；②t=28．
【解析】
试题分析：（1）由于∠AOB=120°，∠AOP=6t，即可得到∠BOP=（120﹣6t）°；
（2）根据角平分线的定义得到∠MOP=∠AOP=3t，∠NOP=∠BOP=60﹣3t，根据线段的和差即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义得到∠MOA=∠MOP=∠AOP=3t，∠BON=∠NOP=∠BOP=3t﹣60，根据已知条件列方程即可得到结论．
解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOP=6t，
∴∠BOP=（120﹣6t）°．
故答案为：（120﹣6t）；
（2）∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOP，
∴∠MOP=∠AOP=3t，∠NOP=∠BOP=60﹣3t，
∴∠MON=∠MOP+∠NOP=3t+60﹣3t=60°；
（3）∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOP，
∴∠MOA=∠MOP=∠AOP=3t，
∠BON=∠NOP=∠BOP=3t﹣60，
∵2∠BOM=3∠BON，
即2（120﹣3t）=3（3t﹣60），
解得t=28．
考点：角的计算；角平分线的定义．
角的计算
七上几何解答题以线段和角的计算为主。
1．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC；OE平分∠BOC．
（1）写出图中∠BOD与∠AOE的补角；
（2）如果∠COD=25°，那么∠COE=_______；如果∠COD=60°，那么∠COE=________；
（3）试猜想∠COD与∠COE具有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠AOD，∠DOC；∠BOE，∠EOC；（2）65°，30°；（3）∠COD+∠COE=90°，见解析．
【解析】
【分析】
（1）由于OD平分∠AOC；OE平分∠BOC得到∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE，再根据补角与余角的定义求解；
（2）由于∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE，则∠DCO+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=×180°=90°，然后把∠COD=25°代入可计算得到∠COE；把∠COD=60°代入可计算出∠COE；
（3）证明方法与（2）一样．
【详解】
解：（1）∵OD平分∠AOC；OE平分∠BOC，
∴∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE，
∴∠BOD的补角为∠AOD，∠DOC；∠AOE的补角为∠BOE，∠EOC；
（2）∵∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE，
∴∠DCO+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=×180°=90°，
∴当∠COD=25°时，∠COE=90°-25°=65°，
当∠COD=60°，∠COE=90°-60°=30°，
故答案为65°；30°；
（3）∠COD+∠COE=90°．理由如下：
因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
所以∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC．
所以∠COD+∠COE=∠AOB=×180°=90°．
【点睛】
本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
2．如图，为直角，为锐角，且平分，平分，求的度数．
【答案】.
【分析】
设，则，用含有x的代数式分别表示∠MOC和∠NOC，化简即可得到∠MON的值.
【详解】
解：设，则
由题意，得,
∴.
【点睛】
本题考查代数式的应用和角平分线的计算，解题的关键是用x表示出角之间的关系.
3．如图∠AOB=120，∠COD=20，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数.
【答案】70°
【解析】
【分析】
利用角平分线的定义可得EOC+∠DOF=∠AOC+∠BOD=（AOC+∠BOD），再根据∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD即可求解．
【详解】
解：∵∠AOB=120°,∠COD=20°
∴∠AOC＋∠BOD=∠AOB－∠COD=120°－20°=100°
又∵OE平分∠AOC,OF平分∠BOD
∴∠EOC＋∠DOF=∠AOC＋∠BOD=（AOC＋∠BOD）=×100°=50°
∴∠EOF=∠EOC＋∠DOF＋∠COD=50°＋20°=70°
【点睛】
本题主要考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，根据角平分线的定义求得∠EOC+∠DOF是解题的关键．
4．若一个角的余角比这个角的补角的一半还少4°，求这个角的度数
【答案】8
【解析】
【分析】
互补即两角的和为180°，互余的两角和为90°，设这个角为x，则这个角的余角为90°-x，根据题意列方程解得即可．
【详解】
解：设这个角x，则这个角的余角为90°-x，
这个角的补角为180°-x，则
90°-x=（180°-x）-4°．
解得x=8°．
故答案为：8°．
【点睛】
本题考查了余角和补角的知识，把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决．既有一定的综合性，是道不错的题。
5．将一副三角板放在同一平面，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，△BOD保持不动，把△AOC绕着点O旋转，使得AO∥BD，求∠AOD的度数．
（2）当△AOC与△BOD重叠时，直接写出∠AOB与∠DOC的大小关系．
（3）如图1，若∠AOB=145°，求∠DOC的度数．你发现∠AOB与∠DOC存在怎样的数量关系？用式子直接表示出来．
（4）如图2，当△AOC与△BOD不重叠时，（3）中∠AOB与∠DOC关系式是否成立，请简要说明理由．
【答案】（1）60°；（2）∠AOB+∠DOC=180°；（3）∠AOB+∠DOC=180°；（4）∠AOB+∠DOC=180°仍然成立．
【解析】
分析：（1）根据平行线的性质得到∠AOB=180°﹣∠B=180°﹣30°=150°，再利用∠AOD=∠AOB﹣∠BOD进行计算即可；
（2）由∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠DOC=∠BOD﹣∠BOC易得∠AOB+∠DOC=180°；
（3）先计算出∠BOC=145°﹣90°=55°，再根据∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°﹣55°=35°，则有∠AOB+∠DOC=180°；
（4）利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．
详解：（1）∵AO∥BD，∴∠AOB=180°﹣∠B=180°﹣30°=150°，而∠BOD=90°，∴∠AOD=150°﹣90°=60°；
（2）∠AOB+∠DOC=180°；
（3）∵∠AOB=145°，而∠AOC=90°，∴∠BOC=145°﹣90°=55°，∴∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°﹣55°=35°；
∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：∠AOB+∠DOC=180°；
（4）∠AOB+∠DOC=180°仍然成立．
理由如下：∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°．
又∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°．
点睛：本题考查了角度的计算：利用几何图形计算角的和与差．
6．如图所示，∠BOC-∠AOB=10°，∠BOC：∠COD：∠DOA=2：3：4，求∠COD的度数．
【答案】设
∵
∴
【解析】
分析：设求出列方程求解即可.
详解：设
∵
∴
点睛：考查了角的相关计算，关键是设未知数，根据等量关系列方程.
7．如图，∠AOB为直角，∠BOC为锐角，且OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）若∠BOC＝46°，试求∠MON的度数；
（2）如果⑴中的∠BOC＝α（α为锐角），其他条件不变，试求∠MON的度数(结果用含α的式子表示).
（3）如果∠AOB＝β，∠BOC＝46°其他条件不变，试求∠MON的度数(结果用含β的式子表示).
【答案】（1）45°；（2）45°；（3）.
【解析】
分析：
（1）由题意可得∠AOB=90°，结合∠BOC=46°可得∠AOC=136°，结合OM平分∠AOC，ON平分∠BOC可得∠COM和∠CON的度数，然后由∠MON=∠COM-∠CON即可求得所求角度了；
（2）由（1）可得∠AOC=90°+α，结合结合OM平分∠AOC，ON平分∠BOC可表达出∠COM和∠CON的度数，然后由∠MON=∠COM-∠CON即可表达出∠MON的度数了；
（3）由题意可得∠AOC=β+46°，结合结合OM平分∠AOC，ON平分∠BOC可表达出∠COM和∠CON的度数，然后由∠MON=∠COM-∠CON即可表达出∠MON的度数了.
详解：
（1）∵∠AOB是直角，
∴∠AOB=90°，
又∵∠BOC=46°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=136°，
又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM=68°，∠CON=23°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=68°-23°=45°；
（2）∵∠AOB=90°，∠BOC=α，
∴∠AOC=90°+α，
又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM=45°+，∠CON=，
∴∠MON=∠COM-∠CON=45°+-=45°；
（3）∵∠AOB=β，∠BOC=46°，
∴∠AOC=β+46°，
又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM=23°+，∠CON=23°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=23°+-23°=.
点睛：这是一道考查角平分线的定义和角的和差的几何题，解题的关键是认真观察图形，弄清各个角之间的和差关系.
8．如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠2＝3∠1，∠COE＝70°，求∠2的度数．
【答案】60°
【分析】
设∠DOE=x°，把其它角用∠DOE表示，依据平角为180°，找出角与角之间的关系，依据∠COE=70°求解即可.
【详解】
设∠DOE＝x°，则∠AOD＝180°-4x°，
∵平分，
∴∠3=∠AOD= (180°-4x°)= 90°-2x°，
∵∠COE=70°，
∴90-2x+x=70，
∴x=20，
∴∠BOE=3x°=3×20°=60°，
故∠BOE的度数为60°.
【点睛】
考点：1.角的计算；2.一元一次方程的应用.
9．如图，∠AOB为直角，∠BOC为锐角，且OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）若∠BOC＝50°，试求∠MON的度数；
（2）如果（1）中的∠BOC＝α（α为锐角），其他条件不变，试求∠MON的度数；
（3）如果（1）中∠AOB＝β，其他条件不变，你能求出∠MON的度数吗？
（4）从（1）、（2）、（3）的结果，你能看出什么规律？
【答案】（1）∠MON＝45；（2）∠MON＝45°；（3）∠MON＝β；（4）当∠BOC为锐角时，∠MON的大小等于∠AOB的一半而与∠BOC的大小无关.
【解析】【分析】（1）先根据已知条件求出∠AOC的度数，再根据角平分线的性质即可得出∠MOC、∠NOC的度数，由∠MON=∠MOC-∠NOC即可得出结论；
（2）把∠BOC=α代入（1）中，用α表示出∠MON与∠NOC的度数，再根据∠MON=∠MOC-∠NOC即可得出结论；
（3）同（2），把∠AOB代入进行计算；
（4）由（1）、（2）、（3）中∠MON的值找出规律进行解答．
【详解】（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋50°＝140°，
又∵OM为∠AOC平分线，ON为∠BOC平分线，
∴∠MOC＝∠AOC＝×140°＝70°，
∠NOC＝∠BOC＝×50°＝25°，
∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝70°－25°＝45；
（2）当∠BOC＝α时，∠MOC＝(90°＋α)，∠NOC＝α，
∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(90°＋α)－α＝45°；
（3）当∠AOB＝β时，∠MOC＝(β＋50°)，∠NOC＝∠BOC＝25°，
∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(β＋50°)－25°＝β；
（4）由（1）、（2）、（3）可以看出，当∠BOC为锐角时，∠MON的大小等于∠AOB的一半而与∠BOC的大小无关.
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差，解决此类问题，注意结合图形，熟练运用角的和差和角平分线的定义求解是关键.
10．已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OB上的点，线段OM、ON分别以20°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转.
（1）如图①，若∠AOB=120°，当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到OM′、ON′处，求∠BON′+∠COM′的值；
（2）如图②，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM=2∠BON，求的值.
【答案】解：（1）60°；(2).
【解析】
分析：（1）先求∠NON′，∠MOM′，则∠BON′=∠BOC-∠NON′，∠COM′=∠AOC-∠MOM′，再求和；
（2）设OM，ON逆时针旋转的时间为ts，用t分别表示∠NON′，∠MOM′，运用（1）的方法表示∠COM，∠BON，根据∠COM=2∠BON列出等式，变形得出∠AOC与∠BOC的关系．
详解：（1）依题意，∠NON′=10°×2=20°，
∠MOM′=20°×2=40°，
则∠BON′=∠BOC-∠NON′=∠BOC-20°，
∠COM′=∠AOC-∠MOM′=∠AOC-40°，
∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-40°=∠AOB-60°=60°；
（2）设OM，ON逆时针旋转的时间为ts，
由∠COM=2∠BON，得∠AOC-20t=2（∠BOC-10t），
化简得∠AOC=2∠BOC，
所以．
点睛：本题考查了角的计算，旋转的性质．关键是利用角的和差关系列出算式及等式解题．
11．如图，点A、O、B在同一条直线上
（1）∠AOC比∠BOC大100°，求∠AOC与∠BOC的度数
（2）在(1)的条件下，若∠BOC与∠BOD互余，求∠BOD的度数
（3）在（2）的条件下，若OE平分∠AOC，求∠DOE的度数
【答案】(1) ∠AOC=140° ∠BOC=40°；(2) ∠BOD=50°；(3) ∠DOE=160°
【解析】
（1）由点A、O、B在同一条直线上得∠AOC+∠BOC=180°，因为∠AOC比∠BOC大100°，所以用∠BOC+100°表示∠AOC从而求出∠BOC，进而求出∠AOC；
（2）由∠BOC与∠BOD互余，所以∠BOD=90°-∠BOC，从而求得∠BOD的度数；
（3）由（2）得∠COD=90°，OE平分∠AOC，得
解：（1）∵∠AOC比∠BOC大100°，
∴∠AOC=∠BOC+100°，
又点A、O、B在同一条直线上．
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC+100°+∠BOC=180°，
∴∠BOC=40°，
∠AOC=140°；
（2）∵∠BOC与∠BOD互余，
∴∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠BOD=90°-∠BOC=90°-40°=50°；
（3）∵OE平分∠AOC，
∴得∠COE=∠AOC=70°，
∵∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=∠COE+∠BOD+∠BOC
=70°+90°
=160°．
12．如图，∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=25º，求∠AOC的度数．
【答案】150°
【解析】
分析：∠BOC=2∠AOB，因而可设∠AOB=x，∠BOC=2x，已知就∠BOD=25°，可以得到一个相等关系∠AOD-∠AOB=25，就可以通过列方程解决．
详解：设∠AOB=x，∠BOC=2x，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=3x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠AOC=x，
∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=x−x＝x＝25°，
∴x=50°，
∴∠AOC=3x=150°．
故答案为150°．
点睛：本题主要考查角平分线的知识点，比较简单．
13．如图，已知∠AOC=90°，∠COB=α，OD平分∠AOB，则∠COD等于多少度？
（1）用含α的式子表示∠COD的度数；
（2）若α=50°，求∠COD的度数．
【答案】（1）；（2）200
【分析】
（1）先根据题意得出∠AOB的度数，再由OD平分∠AOB得出∠AOD的度数，根据∠COD=∠AOC-∠AOD即可得出结论；
（2）直接把α=50°代入（1）中∠COD的表达式即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠AOC=90°，∠COB=α，
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=90°+α．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠AOB=45°+α，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=90°-（45°+α）=45°-α．
（2）∵α=50°，
∴∠COD=45°-α=45°-25°=20°．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
14．如图，∠BOE＝2∠AOE，OF平分∠AOB，∠EOF＝20°，求∠AOB．
【答案】∠AOB＝120°．
【解析】
【分析】
设∠AOE＝x°，则∠BOE＝2∠AOE＝2x°，可得：∠AOB＝3x°，再根据角平分线的定义可得：∠AOF＝1.5x°，然后根据∠EOF＝20°列方程即可求出x，从而求出∠AOB．
【详解】
解：设∠AOE＝x°，则∠BOE＝2∠AOE＝2x°，
所以∠AOB＝∠BOE+∠AOE＝3x°，
∵OF平分∠AOB，
∴∠AOF＝∠AOB＝1.5x°，
∵∠EOF＝20°，
∴1.5x﹣x＝20，
解得：x＝40，
∴∠AOB＝3x°＝120°．
【点睛】
此题考查的是角的和与差，根据图中角的大小关系列出方程是解决此题的关键.
15．OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线，若∠AOB=90°，∠AOB=2∠BOC，求∠AOC的度数.
【答案】45°或135°
【解析】
本题考查的是角的计算
利用角的和差关系计算，注意此题要分两种情况．
①如图1所示，OC在∠AOB内部，
∵∠AOB=90°，∠AOB=2∠BOC，
，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-45°=45°；
②如图2所示，OC在∠AOB外部，
∵∠AOB=90°，∠AOB=2∠BOC，
又∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∴∠AOC=90°+45°=135°．
16．已知：如图∠ABC＝30°，∠CBD＝70°，BE是∠ABD的平分线，求∠DBE的度数.
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据图形可知∠ABD=∠CBD-∠ABC=70°-30°=40°，由BE是∠ABD的平分线可得∠DBE=∠ABD＝×40°=20°.
试题解析：解：由∠ABC=30°，∠CBD=70°，
可得∠ABD=∠CBD-∠ABC=70°-30°=40°，
因为BE是∠ABD的平分线，
所以∠DBE=∠ABD＝×40°=20°．
考点：1.角的平分线；2.角的计算.
17．如图，O为直线AB上一点，OC平分∠BOD，OE⊥OC，垂足为O，∠AOE与∠DOE有什么关系，请说明理由．
【答案】∠AOE=∠DOE．理由见解析．
【解析】
试题分析：先证∠AOE+∠BOC=90°，∠DOE+∠DOC=90°，然后根据∠DOC=∠BOC，依据等角的余角相等即可证得∠AOE=∠DOE．
试题解析：∠AOE=∠DOE．
理由是：∵OE⊥OC，
∴∠EOC=90°，即∠DOE+∠DOC=90°，
又∵∠AOE+∠EOC+∠BOC=180°，
∴∠AOE+∠BOC=90°，
又∵OC平分∠BOD，即∠DOC=∠BOC，
∴∠AOE=∠DOE．
考点：角平分线的定义．
18．如图∠BOA=800, ∠BOC=200,OD平分∠AOC,求∠COD的度数。
【答案】300.
【解析】
试题分析：首先由∠BOC=20°,∠BOA=800,求出∠COA的度数,再由OD平分∠AOC，，求出∠COD．
试题解析：∵∠BOA=800, ∠BOC=200,
∴∠AOC=800-200=600
又OD平分∠AOC
∴∠COD==300.
考点: 角的计算．
19．已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC＝40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的大小；
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？
【答案】（1）45° （2）不发生改变，理由见解析
【分析】
（1）根据∠AOB是直角，∠AOC=40°，可得∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，再利用OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，即可求得答案．
（2）根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC，又利用∠AOB是直角，不改变，可得．
【详解】
解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=40°，
∴∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，
∵OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，
∴，．
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣20°=45°，
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．
∵，
又∠AOB是直角，不改变，
∴．
考点：角的计算；角平分线的定义．
20．（本题6分）已知：如图，射线、分别是、的角平分线，如果，比的倍还多，求和的度数．
A
B
E
C
D
O
【答案】，
【解析】
试题分析：根据题中的关键条件，、是角平分线，可得到两组角相等，再从已知的为突破口，依次可求得、、，所有的小角都求出来了，整个大角直接相加即可.
试题解析：平分，
平分
考点：1.角平分线的性质；2.求角的度数.
21．如图，点O在直线AB上，OC是∠AOB的平分线，在直线AB的另一侧以点O为顶点作∠DOE=90°．
（1）若∠AOE=46°，求∠DOB的度数为多少？请你指出∠AOE与∠DOB之间的数量关系；
（2）请你指出∠DOB与∠COE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）44°，互为余角；（2）互为补角，理由见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）由∠DOB=∠AOB﹣∠AOE﹣∠DOE，然后将∠AOB=180°，∠AOE=46°，∠DOE=90°代入即可求出∠DOB=44°，根据∠AOE=46°，∠DOB=44°可得∠AOE与∠DOB互为余角；
（2）由OC是∠AOB的平分线，可得∠AOC=90°，因为∠DOE=90°，所以∠AOC=∠DOE，所以∠COE=∠AOD，进而得到∠DOB与∠COE互补．
试题解析：（1）∵∠DOB=∠AOB﹣∠AOE﹣∠DOE，∠AOB=180°，∠AOE=46°，∠DOE=90°，∴∠DOB=180°﹣46°﹣90°=44°，∴∠AOE+∠DOB=46°+44°=90°，∴∠AOE与∠DOB互为余角；
（2）∠DOB+∠COE=180°，理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=90°，∵∠DOE=90°，∴∠AOC=∠DOE，∵∠COE=∠AOE+∠AOC，∴∠COE=∠AOE+∠DOE=∠AOD，∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠COE+∠BOD=180°．
考点：角的计算．
22．如图，OP是∠AOB内任意一条射线，OM平分∠AOP，ON平分∠POB，∠MON=60°，求∠AOB的度数.
【答案】120°
【解析】试题分析：根据角平分线的性质得出∠AOP=2∠MOP,∠POB=2∠NOP，然后根据∠MON=∠MOP+∠NOP=（∠AOP+∠BOP）求出∠AOB的度数.
试题解析：解：如图∵OM平分∠AOP，ON平分∠POB，
∴∠AOP=2∠MOP,∠POB=2∠NOP
又∵∠MON=60°
∴∠AOB=2∠MON=120°
考点：角平分线的性质、角度的计算
23．如图，点O为直线CA上一点，∠BOC=45°12′,OD平分∠AOB，∠EOB=90°，求∠AOE和∠DOE的度数。
•
C
B
D
E
A
O
【答案】∠AOE =44°48′ ∠DOE=22°36′
【解析】
试题分析：根据平角的定义得到∠AOB=180°-∠BOC=180°-45°12′=134°48′，则∠AOE=∠AOB-∠BOE=134°48′-90°=44°48′，再根据角平分线的定义得到∠AOD=∠AOB=67°24′，然后利用∠DOE=∠AOD-∠AOE进行计算即可．
试题解析：解：∵点O为直线CA上一点，∠BOC=45°12′，
∴∠AOB=180°-45°12′=134°48′，
∵∠EOB=90°，
∴∠AOE=134°48′-90°=44°48′，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠AOB=67°24′，
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=67°24′-44°48′=22°36′．
考点：平角的定义，角平分线的性质
24．如图所示，已知∠AOB=90°，∠AOC=60°．
(1)∠BOC=____；
(2)若OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，则∠DOE=____；
(3)试问在(2)的条件下，如果将题目中∠AOC=60°改成∠AOC=2α(α<45°)，其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）150°；（2）45°；（3）45°
【解析】
试题分析：（1）根据∠BOC=∠AOB+∠AOC进行求解；（2）根据平分线的性质求出∠COE和∠DOE的度数，然后根据∠DOE=∠COD－∠COE进行求解；（3）结合（1）（2）的方法进行求解.
试题解析：（1）∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°
、OD平分∠BOC ∴∠COD=150°÷2=75° ∵OE平分∠AOC ∴∠COE=60°÷2=30°
∴∠DOE=∠COD－∠COE=75°－30°=45°
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2α ∴∠BOC＝90°＋2α ∵OD、 OE平分∠BOC，∠AOC
∴∠DOC＝∠BOC＝45°+α，∠COE＝∠AOC＝α ∴∠DOE＝∠DOC－∠COE＝450
考点：角平分线的性质.
25．
（1）如1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数；
（2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数；
（3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点与点在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
试题分析：（1）根据条件，平分，、分别平分、，可得∠COD=∠COE=30°，然后根据计算可得；
（2）根据图形知，又、分别平分、，所以;
（3）根据条件和图形可得.
试题解析：（1）∵,平分
∴
∵、分别平分、
∴
∴
（2）∵、分别平分、
∴
∴
（3）
考点：1.角的平分线；2.角的和差关系；3.角的计算.
26．如图，O为直线AB上一点，，OD平分，。
A
O
B
D
C
E
（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角；（3分）
（2）求出的度数；（3分）
（3）请通过计算说明OE是否平分。（3分）
【答案】（1）9个（2）（3）OE平分
【解析】
试题分析：（1）根据角的定义，结合平角的定义即可得到结果；
（2）先根据角平分线的定义求得∠AOD的度数，再根据平角的定义即可得到结果；
（3）先根据角平分线的定义求得∠COD的度数，再结合∠DOE=90°即可得到∠COE的度数，由∠AOD和∠DOE的度数结合平角的定义即可得到∠BOE的度数，从而可以判断.
试题解析：（1）有∠AOD、∠COD、∠COE、∠BOE、∠AOC、∠DOE、∠BOC、∠AOE、∠DOB共9个；
（2）∵∠AOC=50°，OD平分∠AOC
∴∠AOD=25°
∴∠BOD=180°-∠AOD=155°；
（3）∵∠AOC=50°，OD平分∠AOC
∴∠COD=25°
∵∠AOD=25°，∠DOE=90°
∴∠COE=∠BOE=65°
∴OE是否平分∠BOC.
考点：比较角的大小
27．如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，OE是∠BOD的三等分线．
（1）求∠BOD的度数；
（2）求∠COE的度数．
【答案】（1）45°；（2）75°．
【解析】
试题分析：（1）首先根据角平分线的性质求出∠BOC的度数，然后根据∠COD=90°求出∠BOD的度数；（2）根据三等分线求出∠DOE的度数，然后根据∠COD=90°求出∠COE的度数．
试题解析：（1）∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB ∴∠BOC=∠AOB=45°，
∴∠BOD=∠COD－∠BOC=90°－45°=45°，
（2）∵OE是∠BOD的三等分线∴∠DOE=∠BOD＝×45°＝15°，
∴∠COE=∠COD－∠DOE=90°－15°=75°
考点：角度的计算．
28．（本题满分6分）已知：如图，∠AOB=∠COD=90°
求：（1）∠AOC等于∠BOD吗？请说明理由；
（2）若∠BOD=136°，∠BOC等于多少度？
【答案】（1）∠BOD =∠AOC；（2）∠BOC=134°．
【解析】
试题分析：（1）观察图形可知∠AOC=∠BOD，利用角的和差关系可证；（2）∠BOC=360°-∠COD-∠BOD．
试题解析：解：（1）∠AOC=∠BOD
∵∠AOB=∠COD=90°
∴∠AOB+∠AOD =∠COD+∠AOD即∠BOD =∠AOC
（2）∵∠BOD+∠COD+∠BOC=360°
即136°+90°+∠BOC=360°
∴∠BOC=134°
考点：1．角的和差关系；2．角的有关概念及计算．
29．如图，∠AOB=35°，∠BOC=50°，∠COD=21°，OE平分∠AOD，求∠BOE的度数。
【答案】18°
【解析】
试题分析：先根据∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD求出∠AOD的度数，再利用OE平分∠AOD，求出∠AOE的度数，然后利用∠BOE=∠AOE-∠AOB可解．
试题解析：解：
∵∠BOE=∠AOE-∠AOB
把∠AOB=35°，∠BOC=50°，∠DOC=21°代入得：
∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=35°+50°+21°=106°，
∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠EOD即∠AOE=53°，
∴∠BOE=∠AOE-∠AOB=53°-35°=18°．
考点：角的和差计算．
30．如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCB＝35°，求∠ACB的度数；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数．
【答案】(1)∠ACB=125°；(2)∠ECD=40°.
【解析】
试题分析：（1）利用∠ACB=∠ACD+∠DCB，直接求出即可；
（2）首先求出∠DCB，进一步利用余角的意义解决问题．
试题解析：
（1）因为∠ACD＝90°，∠DCB=35°
所以∠ACB＝∠ACD+∠DCB
＝90°+35°
＝125°
（2）因为∠ACB=140°，∠ACD＝90°
所以∠DCB＝∠ACB－∠ACD
＝140°－90°
＝50°
又因为∠ECB＝90°
所以∠ECD＝∠ECB－∠DCB
＝90°－50°
＝40°
考点：角的运算.
31．如图所示，∠AOB=∠AOC=90°，∠DOE=90°，OF平分∠AOD，∠AOE=36°．
（1）求∠COD的度数；
（2）求∠BOF的度数．
【答案】（1）144°；（2）63°
【分析】
（1）先根据互余的关系求出∠COE=54°，然后利用∠COD=∠DOE+∠COE计算即可；
（2）先根据互余的关系求出∠AOD=54°，再求出∠BOD和∠DOF，利用角的和差关系即可求出∠BOF．
【详解】
（1）∵∠AOC=90°，
∴∠COE=90°﹣AOE=90°﹣36°=54°，
∴∠COD=∠DOE+∠COE=90°+54°=144°；
（2）∵∠DOE=90°，∠AOE=36°，
∴∠AOD=90°﹣36°=54°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=90°﹣54°=36°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠DOF=∠AOD=27°，
∴∠BOF=36°+27°=63°．
考点：1．余角和补角；2．角平分线的定义．
32．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）求∠EOF的度数；
（2）若将条件“∠AOB是直角，∠BOC=60°”改为：∠AOB=x°，∠EOF=y°，其它条件不变．
①则请用x的代数式来表示y；
②如果∠AOB+∠EOF=156°．则∠EOF是多少度？
【答案】（1）45°；（2）①y=x；②52°
【解析】试题分析：（1）根据角平分线的定义和角的和差倍分的关系即可求得∠EOF的度数；（2）①把（1）中的数字换成字母即可解得x与y的关系；②根据x+y=156°，y=x即可解得x、y的值．
试题解析：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=∠AOC-∠BOC=（∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB=×=90°=45°．
（2）①∵∠AOB=x°，∠EOF=y°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=∠AOC-∠BOC=（∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB．即y=x．
②∵∠AOB+∠EOF=156°．则x+y=156°，
又∵y=x．代入解得x=104°，y=52°．即∠EOF=52°．
考点：角平分线的性质；角的计算．
33．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD．
E
B
F
C
A
O
D
（1）写出图中任意一对互余的角；
（2）求∠EOF的度数．
【答案】54°
【解析】
试题分析：（1）利用∠DOF=90°，找出两角互余的情况即可；
（2））根据对顶角相等，可得∠BOD=∠AOC，根据OE平分∠BOD，可得∠EOD，根据邻补角，可得∠COE，根据角的和差，可得∠EOF．
试题解析：解：（1）∠BOF与∠BOD或∠DOE与∠EOF；
（2）∵∠COF=180°-∠DOF=90°，
∴∠BOF=180°-∠AOC-∠COF=180°-72°-90°=18°，
∴∠BOD=∠DOF-∠BOF=90°-18°=72°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠BOD=36°，
∴∠EOF=∠BOF+∠BOE=18°+36°=54°．
答：∠EOF为54°
考点：互为余角，角的和差运算
34．（本小题满分9分）如图直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠EOD，求∠AOC和∠COB的度数。
【答案】，
【解析】
试题分析：先根据垂直的定义求出∠BOE=90°，然后求出∠BOD的度数，再根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据邻补角的定义求出∠COB的度数．
试题解析：解、∵OE⊥AB（已知）
∴∠AOE（垂直定义）
∵∠EOD（已知）
∴∠AOC－∠AOE－∠EOD＝
∵∠COB与∠AOC是邻补角
∴∠COB－∠AOC＝
考点：对顶角，垂直的定义
35．如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
【答案】∠AOB=50°，∠AOC=130°
【解析】试题分析：结合图形，根据余角、补角的定义，有时还需考虑角平分线的性质，分析并找到角与角之间的关系，再进行计算得出答案．
试题解析：设∠AOB=x°，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°-x°．
由题意，得．
∴180-x-x=80，
∴-2x=-100，
解得x=50
故∠AOB=50°，∠AOC=130°．
考点：1．余角和补角；2．角平分线的定义．
36．如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，
（1）若∠DCE=25°，∠ACB=；若∠ACB=150°，则∠DCE=；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系，请说明理由．
【答案】（1）155°，30°；（2）∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补），理由见解析；
（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度数；（2）根据前个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前问的解决思路得出证明．（3）根据（1）（2）解决思路确定∠DAB与∠CAE的大小并证明．
试题解析：（1）∵∠ECB=90°，∠DCE=25°，∴∠DCB=90°-25°=65°，∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=155°．∵∠ACB=150°，∠ACD=90°，∴∠DCB=150°-90°=60°，∵∠ECB=90°，∴∠DCE=90°-60°=30°．故答案为155°，30°；
（2）猜想得：∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补）．
理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，∠DCE=∠ECB-∠DCB=90°-∠DCB，∴∠ACB+∠DCE=180°；
（3）∠DAB+∠CAE=120°．
理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，故∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°．
考点：①余角和补角；②角的计算．
37．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，OF⊥CD，垂足为O，求∠EOF的度数。
【答案】54°．
【解析】
试题分析：由∠BOD=∠AOC=72°，OF⊥CD，求出∠BOF=90°-72°=18°，再由OE平分∠BOD，得出∠BOE=∠BOD=36°，因此∠EOF=36°+18°=54°．
试题解析：∵直线AB和CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=72°，
∵OF⊥CD，
∴∠BOF=90°-72°=18°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠BOD=36°，
∴∠EOF=36°+18°=54°．
考点：1．对顶角、邻补角；2．角平分线的定义；3．垂线．
38．如图所示，∠AOB是平角，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线．
（1）已知∠AOC=300，∠BOD=600，求∠MON的度数；
（2）若已知∠COD=，你能求出∠MON的度数吗？如果能，请求出；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）135°；（2）．
【解析】
试题分析：（1）根据平角即可求得∠AOB的度数，再根据角平分线的定义求得∠AOM和∠BON的度数，从而求得∠MON的度数；
（2）因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，故知∠MOC+∠NOD=∠AOC+∠BOD=（∠AOC+∠BOD）即可解答．
试题解析：（1）∵∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，
∴∠COD=∠A0B-∠AOC-∠BOD=180-30-60=90°，
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠MOC=∠AOC=15°，∠NOD=∠BOD=30°，
∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠NOD=15+90+30=135°；
（2）∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线，
∴
∴∠MON=180°-∠AOM-∠BON
=180°-
考点：1．角平分线的性质；2．角的计算．
39．如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE＝．
（1）若∠AOC＝，求出∠BOD的的度数；
（2）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
【答案】（1）155°；（2）证明过程见解析
【解析】
试题分析：(1)、根据角平分线的性质求出∠AOD的度数，然后求出∠BOD的度数；(2)、根据等式的性质进行说明.
试题解析：(1)、∵OD平分∠AOC ∠AOC=50° ∴∠AOD=50°÷2=25°
∴∠BOD=180°－∠AOD=180°－25°=155°
、∵∠DOE=90° ∴∠COE+∠COD=90° ∠BOE+∠AOD=90°
∵∠COD=∠AOD ∴∠COE=∠BOE ∴OE平分∠BOC.
考点：角平分线的性质.
40．如图，∠AOB为直角，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数.
【答案】∠MON的度数为45°.
【分析】
结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．
【详解】
解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC=∠BOC，∠NOC=∠AOC，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（∠BOC-∠AOC）
=（∠BOA+∠AOC-∠AOC）
=∠BOA=45°．
故∠MON的度数为45°．
【点睛】
本题考查角的计算及角平分线的定义．
41．（2015秋•相城区期末）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD=32°．
（1）求∠AOG的度数；
（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？请说明理由．
【答案】（1）58°；（2）是
【解析】
试题分析：（1）根据对顶角的性质，可得∠AOC的度数，根据角的和差，可得答案；
（2）根据角平分线的性质，可得∠AOC与∠COE的关系，根据对顶角的性质，可得∠DOF与∠COE的关系，根据等量代换，可得∠AOC与∠DOF的关系，根据余角的性质，可得答案．
解：（1）由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=32°，
由角的和差，得∠AOG=∠COG﹣∠AOC=90°﹣32°=58°；
（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线，理由如下：
由OC是∠AOE的平分线，得∠COE=∠AOC=32°，
由对顶角相等，得∠DOF=∠COE，
等量代换，得∠DOF=∠AOC．
∠AOC+∠AOG=∠COG=90°，
∠DOF+∠FOG=∠DOG=90°，
由等角的余角相等，得∠AOG=∠FOG，
OG是∠AOF的平分线．
考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义；垂线．
42．（2015秋•端州区期末）如图，直线AB和EF相交于O，OC平分∠AOB，∠1=65°，试求∠3的度数．
【答案】∠3=∠AOE=155°．
【解析】
试题分析：由已知OC平分∠AOB，所以得∠AOC=90°，则∠AOE=∠AOC+∠1，再根据对顶角相等求出∠3的度数．
解：∵直线AB和EF相交于O，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB=90°，
∴∠AOE=∠AOC+∠1=90°+65°=155°，
∠3与∠AOE是对顶角，
∴∠3=∠AOE=155°．
考点：角的计算；角平分线的定义；对顶角、邻补角；垂线．
43．（2015秋•兴化市校级月考）已知：如图，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，∠AOB=90°；
（1）∠AOC=40°，求∠MON的大小；
（2）当锐角∠AOC的度数发生改变时，∠MON的大小是否发生改变，并说明理由．
【答案】（1）∠MON=45°；（2）不发生改变．
【解析】
试题分析：（1）求得∠BOC=130°，然后求得∠NOC=∠AOC=20°，∠MOC=∠BOC=65°，根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC即可求出∠MON的度数．
（2）结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．
解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=40°，
∴∠BOC=130°，
∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
∴∠NOC=∠AOC=20°，∠MOC=∠BOC=65°，
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣20°=45°，
即∠MON=45°；
（2）不发生改变，
理由：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC=∠BOC，∠NOC=∠AOC，
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠BOC﹣∠AOC）
=（∠AOB+∠AOC﹣∠AOC）
=∠AOB
=45°．
所以不发生改变．
44．如图所示，OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，且∠AOB=90°．
（1）若∠BOC=40°，求∠EOD的度数；
（2）若∠AOB+∠BOC=x°，直接写出用含x的式子表示∠EOD的度数．
【答案】（1）65°；（2）x°．
【解析】
试题分析：（1）首先根据角平分线的性质得出∠BOE和∠BOD的度数，然后根据∠EOD=∠BOE+∠BOD得出答案；（2）根据角平分线的性质得出∠EOD的度数．
试题解析：（1）∵OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∠AOB=90°，∠BOC=40°，
∴∠BOE=∠AOB=45°，∠BOD=∠BOC=20°，
∴∠EOD=∠BOE+∠BOD=45°+20°=65°；
（2）∵OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∠AOB+∠BOC=x°，
∴∠BOE=∠AOB，∠BOD=∠BOC，
∴∠EOD=∠BOE+∠BOD=（∠AOB+∠BOC）=x°．
考点：角度的计算
45．已知：如图，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，∠AOB=90º；
（1）∠AOC=40º，求∠MON的大小；
（2）当锐角∠AOC的度数发生改变时，∠MON的大小是否发生改变，并说明理由．
【答案】（1）∠MON=45°；（2）不发生改变．
【解析】
试题分析：（1）求得∠BOC=130°，然后求得∠NOC=∠AOC=20°，∠MOC=∠BOC=65°，根据∠MON=∠MOC-∠NOC即可求出∠MON的度数．
（2）结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．
试题解析：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=40°，
∴∠BOC=130°，
∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
∴∠NOC=∠AOC=20°，∠MOC=∠BOC=65°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=65°-20°=45°，
即∠MON=45°；
（2）不发生改变，
理由：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC=∠BOC，∠NOC=∠AOC，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（∠BOC-∠AOC）
=（∠AOB+∠AOC-∠AOC）
=∠AOB
=45°．
所以不发生改变．
考点：角平分线的定义．
46．如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOD=70°，∠EOF=65°．求∠AOF的度数．
【答案】30°
【解析】
试题分析：首先根据对顶角的性质求出∠AOC的度数，然后根据角平分线的性质得出∠AOE的度数，最后根据∠EOF－∠AOE得出∠AOF的度数．
试题解析：∵∠BOD=70°
∴∠AOC=∠BOD=70°
∵OE平分∠AOC
∴∠AOE=70°÷2=35°
∵∠EOF=65°
∴∠AOF=∠EOF－∠AOE=65°－35°=30°
考点：角度的计算．
47．如图所示，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，
O
A
E
B
D
C
（1）如果∠AOB＝90°，∠BOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）如果∠AOB＝，∠BOC＝（、均为锐角，＞），其他条件不变，求∠DOE；
【答案】（1）;（2）
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的定义求得
从而求得的度数；
（2）根据角平分线的定义求得
试题解析：（1）又分别平分和，
又分别平分和，
考点：1、角平分线的定义；2、角的计算．
48．一个角的余角比这个角的补角的一半还少40°，求这个角的度数．
【答案】
【详解】
试题分析：设这个角的度数为度，则余角为度，补角为度，根据这个角的余角比这个角的补角的一半还少即可列方程求解．
试题解析：设这个角的度数为度，根据题意得，解得
考点：余角和补角．
49．一个角的余角比这个角的多30°，请你计算出这个角的大小．
【答案】48°．
【解析】
试题分析：设这个角的度数为度，则余角为度，根据这个角的余角比这个角的还多即可列方程求解．
试题解析：设这个角为，则其余角为，依题意得：，解方程得：．
考点：余角和补角．
50．点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）①、如图1，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；
②、如图1，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置．
探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）①、20°；②、∠DOE=α；（2）∠DOE=∠AOC；理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）①首先根据180°－∠AOC求出∠BOC的度数，根据角平分线的性质的性质得出∠COE的度数，然后根据∠DOE=∠COD－∠COE得出答案；②、根据①得出规律；（2）根据题意得出∠BOC=180°－∠AOC，根据角平分线的性质得出∠COE=90°－∠AOC，最后根据∠DOE=∠COD－∠COE得出答案．
试题解析：（1）①∵∠BOC=180°－∠AOC=180°－40°=140° 又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=∠BOC=×140°=70° ∴∠DOE=∠COD－∠COE=90°－70°=20°
②∠DOE=α
∠DOE=∠AOC
理由如下：∵∠BOC=180°－∠AOC OE平分∠BOC
∴∠COE=∠BOC=×（180°－∠AOC）=90°－∠AOC
∴∠DOE=∠COD－∠COE=90°－（90°－∠AOC）=∠AOC
考点：角平分线的性质
51．已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°．
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是；
（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转n°（即∠AOC= n°），且．
①如果∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n=．
②当60﹤n﹤90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON的度数．
【答案】（1）60°；（2）①、60°、90°、150°；②、60°．
【解析】
试题分析：（1）根据∠BOD=∠AOB－∠COD得出答案；（2）本题需要分几种情况进行讨论，即AO⊥OC，AO⊥OD，BO⊥OC，BO⊥OD；（3）根据角平分线的性质得出∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，然后根据题意得出∠AOC+∠BOD+2∠BOC=120°，从而根据∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=∠AOC+∠BOC+∠BOD得出答案．
试题解析：（1）60°；
（2）60°、90°、150°．
（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD ∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD
∵∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD
∴∠AOC+∠BOD+2∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=∠AOC+∠BOC+∠BOD=×120°=60°
考点：（1）角平分线的性质；（2）角度之间的计算．
52．如图，已知∠AOM与∠MOB互为余角，且∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）如果已知中∠AOB=80°，其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）如果已知中∠BOC=60°，其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从（1）、（2）、（3）中你能看出有什么规律．
【答案】（1）45度．（2）40度．
（3）∠MON=45度．
（4）∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化无关．
【解析】
试题分析：要根据所提供的条件，和角平分线的性质，和两角互余的性质，求出角的度数．
解：（1）因OM平分∠AOC，
所以∠MOC=∠AOC．
又ON平分∠BOC，
所以∠NOC=∠BOC．
所以∠MON=∠MOC﹣∠NOC=∠AOC﹣∠BOC=∠AOB．
而∠AOB=90°，所以∠MON=45度．
（2）当∠AOB=80°，其他条件不变时，∠MON=×80°=40度．
（3）当∠BOC=60°，其他条件不变时，∠MON=45度．
（4）分析（1）、（2）、（3）的结果和（1）的解答过程可知：
∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化无关．
考点：余角和补角；角平分线的定义．
53．如图，AB⊥OD，∠BOC比∠DOC大34°，OE平分∠AOC，求：
（1）∠COD的大小；
（2）∠DOE的大小．
【答案】（1）28°；（2）34°．
【解析】
试题分析：（1）结合已知设∠DOC=x°，则∠BOC=x°+34°，再利用垂直的定义得出答案；
（2）利用（1）中所求，结合角平分线的性质求出答案．
解：（1）由题意可得：设∠DOC=x°，则∠BOC=x°+34°，
∵AB⊥OD，
∴∠DOC+∠BOC=90°，
则x°+x°+34°=90°，
解得：x=28．
故∠COD的度数为28°；
（2）∵∠AOD=90°，∠DOC=34°，
∴∠AOC=124°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=∠AOE=62°，
∴∠DOE的度数为：∠EOC﹣∠DOC=62°﹣28°=34°．
考点：垂线；角平分线的定义．
54．若一个角的余角比这个角的补角的一半少42．,求这个角的度数．
【答案】84°
【解析】
试题分析：根据互余两角的和为90°，互补两角的和为180°，然后设出未知数，列方程解答即可．
试题解析：设这个角的度数是x0,则它的余角为(90-x)0，补角为(180-x)0
依题意得：90-x=(180-x)-42
解得 x=84
答:这个角的度数是84°
考点：一元一次方程的应用
55．如图，（1）已知∠AOB是直角，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
（2）如果（1）中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数．
（3）你从（1）、（2）的结果中能发现什么规律？
【答案】（1）45°；（2）∠MON=∠AOB=；（3）∠MON的大小总等于∠AOB的一半
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的性质，和角的和差倍半可求解；
（2）类似（1）解法，把角的度数换成字母表示即可；
（3）同（2）的方法，把几何语言表示变成文字语言表示即可．
试题解析：（1）∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=∠AOC-∠BOC=∠AOB
∵∠AOB=90°，∴∠MON=45°
（2）当∠AOB=α时，其他条件不变．总有∠MON=∠AOB=
（3）由（1）（2）的结果，可得出结论：∠MON的大小总等于∠AOB的一半．
考点：角平分线的性质
56．（2015秋•鞍山期末）点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）①如图1，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；
②如图1，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置．探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）①25°；②α；（2）∠DOE=∠AOC
【解析】
试题分析：（1）①首先求得∠COB的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE=∠COD﹣∠COE即可求解；
②解法与①相同，把①中的60°改成α即可；
（2）把∠AOC的度数作为已知量，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE=∠COD﹣∠COE求得∠DOE，即可解决．
解：（1）①∵∠AOC=50°
∴∠BOC=180°﹣∠AOC
=180°﹣50°
=130°
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=∠BOC=×130°=65°
又∵∠COD=90°
∴∠DOE=∠COD﹣∠COE
=90°﹣65°
=25°
②∠DOE=90°﹣（180﹣α）
=90°﹣90°+α=α；
（2）∠DOE=∠AOC，理由如下：
∵∠BOC=180°﹣∠AOC
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=∠BOC=（180°﹣∠AOC）
=90°﹣∠AOC
又∵∠DOE=90°﹣∠COE
=90°﹣（90°﹣∠AOC）
=∠AOC．
考点：角的计算；角平分线的定义．
57．已知∠AOD=α，射线OB、OC在∠AOD的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）如图1，当射线OB与OC重合时，求∠MON的大小；
（2）在（1）的条件下，若射线OC绕点O逆时针旋转一定角度θ，如图2，求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，射线OC绕点O继续逆时针旋转，旋转到与射线OA的反向延长线重合为止，在这一旋转过程中，∠MON=．
【答案】（1）∠MON=α；（2）（α﹣θ）；（3）（θ﹣α）．
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的定义求出∠BOM和∠BON，然后根据∠MON=∠BOM+∠BON代入数据进行计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义求出∠COM和∠BON，然后根据∠MON=∠COM+∠BON﹣∠BOC代入数据进行计算即可得解；
（3）根据角平分线的定义求出∠AOM=∠AOC=90°，∠DON=∠BOD，根据∠AOD﹣∠BOD+BOC=180°求得∠BOD=α+θ﹣180°，然后根据∠MON=90°﹣α+∠BOD，代入数据进行计算即可得解．
解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠BON﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α，
∴∠MON=α；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
∴∠COM=∠AOC，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠BON﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC，
∵∠AOD=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=α，
∴∠AOC+∠BOD=α+θ，
∴∠MON=（α+θ）﹣θ=（α﹣θ）；
（3）如图3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
∴∠AOM=∠AOC=90°，∠DON=∠BOD，
∴∠MON=90°﹣α+∠BOD，
∵∠AOD﹣∠BOD+BOC=180°，
∴∠BOD=α+θ﹣180°，
∴∠MON=90°﹣α+∠BOD=90°﹣α+（α+θ﹣180°）=（θ﹣α）．
故答案为（θ﹣α）．
考点：角的计算；角平分线的定义．
58．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求∠BOD的度数；（2）试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量关系，说说你的理由．
【答案】（1）155°；（2）∠BOE=∠COE
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的定义，邻补角的定义，可得答案；
（2）根据角的和差，可得答案．
解：（1）由角平分线的定义，得
∠AOD=∠COD=∠AOC=×50°=25°．
由邻补角的定义，得
∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣25°=155°；
（2）∠BOE=∠COE，理由如下：
由角的和差，得
∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，
∠COE=∠DOE﹣∠COD=90°﹣25°=65°，
则∠BOE=∠COE．
考点：角的计算；角平分线的定义．
59．如图，∠AOC=140°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOE的度数．
（2）求∠DOE的度数．
【答案】（1）20°；（2）90°．
【解析】
试题分析：（1）根据邻补角的性质可得∠COB=180°﹣140°=40°，再根据角平分线的性质可得答案；
（2）由角平分线的定义可知==70°，又∠COE=∠BOE=20°，∠DOE=∠DOC+∠COE，可得结果．
解：（1）∵∠AOC=140°，
∴∠COB=180°﹣140°=40°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=20°；
（2）∵∠AOC=140°，OD平分∠AOC，
∴==70°，
∵∠COE=∠BOE=20°，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=70°+20°=90°．
考点：角平分线的定义．
60．已知：点O为直线AB上一点，∠COD=90°，射线OE平分∠AOD．
（1）如图①所示，若∠COE=20°，则∠BOD=______°．
（2）若将∠COD绕点O旋转至图②的位置，试判断∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由；
（3）若将∠COD绕点O旋转至图③的位置，∠BOD和∠COE的数量关系是否发生变化？并请说明理由．
（4）若将∠COD绕点O旋转至图④的位置，继续探究∠BOD和∠COE的数量关系，请直接写出∠BOD和∠COE之间的数量关系：______．
【答案】（1）40°；（2）∠BOD=2∠COE．（3）∠BOD=2∠COE；（4）∠BOD+2∠COE=360°
【详解】
试题分析：（1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOE度数，根据∠AOC=∠AOE﹣∠COE、∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD可得∠BOD度数；
（2）由互余及角平分线得∠DOE=90°﹣∠COE=∠AOE，∠AOC=∠AOE﹣∠COE=90°﹣2∠COE，最后根据∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD可得；
（3）由互余得∠DOE=90°﹣∠COE，由角平分线得∠AOD=2∠DOE=180°﹣2∠COE，最后根据∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD可得；
（4）由互余得∠DOE=∠COE﹣90°，由角平分线得∠AOD=2∠DOE=2∠COE﹣180°，最后根据∠BOD=180°﹣∠AOD可得；
解：（1）∠EOD=∠COD﹣∠COE=90°﹣20°=70°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠EOD=2×70°=140°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣140°=40°．
（2）∠BOD=2∠COE．理由如下：
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=90°﹣∠COE，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠DOE=90°﹣∠COE，
∴∠AOC=∠AOE﹣∠COE=90°﹣2∠COE，
∵A、O、B在同一直线上，
∴∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD
=180°﹣90°﹣（90°﹣2∠COE）
=2∠COE，
即：∠BOD=2∠COE．
（3）∠BOD=2∠COE，理由如下；
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠EOD，
∵∠BOD+∠AOD=180°，
∴∠BOD+2∠EOD=180°．
∵∠COD=90°，
∴∠COE+∠EOD=90°，
∴2∠COE+2∠EOD=180°，
∴∠BOD=2∠COE；
（4）∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COE﹣90°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2∠COE﹣180°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD
=180°﹣2∠COE+180°
=360°﹣2∠COE，
即：∠BOD+2∠COE=180°．
故答案为（1）40°，（4）∠BOD+2∠COE=360°．
考点：角的计算；角平分线的定义；余角和补角；角的大小比较．
61．如图所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．
（1）若∠AOB=120°，则∠COE是多少度？
（2）若∠EOC=65°，∠DOC=25°，则∠BOE是多少度？
【答案】（1）60°；（2）40°．
【解析】
试题分析：（1）直接利用角平分线的性质得出∠AOC=∠DOC，∠BOE=∠DOE，进而求出答案；
（2）利用已知得出∠DOE的度数，进而得出答案．
解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOC=∠DOC，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠COE=∠AOB=60°；
（2）∵∠EOC=65°，∠DOC=25°，
∴∠DOE=∠COE﹣∠DOC=65°﹣25°=40°，
∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠BOE=∠DOE=40°．
考点：角平分线的定义．
62．（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC．求∠EOF的度数；
（2）如图2，若∠AOC=∠BOD=80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．求∠EOF的度数；
（3）若∠AOC=∠BOD=α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．若α+β≤180°，α＞β，则∠EOC= ．（用含α与β的代数式表示）
【答案】（1）90°；（2）80°；（3）
【解析】
试题分析：（1）根据垂直的定义得到∠AOC=∠BOC=90°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠EOD=∠AOD=×（80+β）=40+β，∠COF=∠BOC=×（80+β）=40+β，根据角的和差即可得到结论；
（3）如图2由已知条件得到∠AOD=α+β，根据角平分线的定义得到∠DOE=（α+β），即可得到结论．
解：（1）∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=∠AOC=×90°=45°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=∠BOC=×90°=45°，
∠EOF=∠EOC+∠COF=45°+45°=90°；
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD=∠AOD=×（80+β）=40+β，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=∠BOC=×（80+β）=40+β，
∠COE=∠EOD﹣∠COD=40+β﹣β=40﹣β；
∠EOF=∠COE+∠COF=40﹣β+40+β=80°；
（3）如图2，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，
∴∠AOD=α+β，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=（α+β），
∴∠COE=∠DOE﹣∠COD==，
如图3，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，
∴∠AOD=α+β，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=（α﹣β），
∴∠COE=∠DOE+∠COD=．
综上所述：，
故答案为．
考点：角的计算；角平分线的定义．
63．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，另一边ON仍在直线AB的下方．
（1）若OM恰好平分∠BOC，求∠BON的度数；
（2）若∠BOM等于∠COM余角的3倍，求∠BOM的度数；
（3）若设∠BON＝α（0°<α<90°），试用含α的代数式表示∠COM．
【答案】（1）（2）（3）∠COM=30°+α
【解析】
试题分析：（1）利用角平分线求出的度数，由，所以，即可解出的度数．（2）设的余角为x°，则，由题意可列出方程，解出x即可．（3）因为，代入求解即可．
试题解析：（1），OM恰好平分
又．
设的余角为x°，则由题意得：，x=15,3x=45，所以的度数为45°．
（0°<<90°）．
．
考点：1、角平分线的概念 2、余角和补角 3、一元一次方程与角的计算的运用．
64．已知：如图所示，∠AOB：∠BOC=3：2，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，且∠DOE=36°，求∠BOE的度数．
【答案】12°
【解析】
试题分析：用比例巧设方程，用x去表示各角，利用角与角之间的关系从而得出结论．
解：设∠AOB=3x，∠BOC=2x．
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x．
∵OE是∠AOC的平分线，OD是∠BOC的平分线，
∴∠COE═∠AOC=x∠COD=∠BOC=x，
∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=x﹣x=x，
∵∠DOE=36°，
∴x=36°，
解得，x=24°，
∴∠BOE=∠COE﹣∠COB=×24﹣2×24=12°．
考点：角的计算；角平分线的定义．
65．如图，时钟的时针，分针均按时正常转动．
（1）分针每分针转动了度，时针每分钟转动了度；
（2）若现在时间恰好是2点整，求：
①经过多少分钟后，时针与分针第一次成90°角；
②从2点到4点（不含2点）有几次时针与分针成60°角，分别是几时几分？
【答案】（1）6，0.5；（2）①经过分钟后，时针与分针第一次成90°角；②分别是2时分，3时分，3时分．
【解析】
试题分析：（1）利用钟表表盘的特征解答．表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为6°．
（2）①可设经过x分钟后，时针与分针第一次成90°角，根据角度差的等量关系列出方程求解即可；
②分三种情况：2时～3时，时针与分针成60°角；3时～4时，时针在前面，分针在后面，时针与分针成60°角；3时～4时，分针在前面，时针在后面，时针与分针成60°角；列出方程求解即可．
解：（1）分针每分针转动了6度，时针每分钟转动了0.5度．
故答案为：6，0.5；
（2）①设经过x分钟后，时针与分针第一次成90°角，依题意有
6x﹣0.5x﹣60=90，
解得x=．
故经过分钟后，时针与分针第一次成90°角；
②2时～3时，时针与分针成60°角，
6m﹣60﹣0.5m=60，
解得m=；
故3时～4时，时针在前面，分针在后面，时针与分针成60°角，
90+0.5n﹣6n=60，
解得n=；
3时～4时，分针在前面，时针在后面，时针与分针成60°角；
6t﹣90﹣0.5t=60，
解得t=．
故从2点到4点（不含2点）有3次时针与分针成60°角，分别是2时分，3时分，3时分．
考点：一元一次方程的应用；钟面角．
66．如图，点O是直线EF上一点，射线OA，OB，OC在直线EF的上方，射线OD的直线EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．
（1）若∠DOF=25°，求∠AOB的度数．
（2）若OA平分∠BOE，则∠DOF的度数是．（直接写出答案）
【答案】（1）50°；（2）30°．
【解析】
试题分析：（1）利用角平分线的定义可得∠DOC=50°，由垂直的定义可得∠BOD=90°，易得∠BOC=40°，因为OA⊥OC，可得结果；
（2）利用垂直的定义易得∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，可得∠COD=∠AOB，设∠DOF=∠COF=x，利用平分线的定义可得∠AOE=∠AOB=∠COD=2x，∠BOC=90°﹣2x，由平角的定义可得5x+90°﹣2x=180°，解得x，即得结果．
解：（1）∵∠DOF=25°，OF平分∠COD，
∴∠DOC=50°，
∵OB⊥OD，
∴∠BOC=90°﹣50°=40°，
∵OA⊥OC，
∴∠AOB=90°﹣∠BOC=50°；
（2）∵∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，
∴∠COD=∠AOB，
设∠DOF=∠COF=x，
∵OA平分∠BOE，
∴∠AOE=∠AOB=∠COD=2x，∠BOC=90°﹣2x，
∴5x+90°﹣2x=180°，
解得：x=30°，
即∠DOF=30°．
故答案为30°．
考点：垂线；角平分线的定义．
67．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OM平分∠AOD，ON平分∠DOE．
（1）若∠EON=18°，求∠AOC的度数．
（2）试判断∠MON与∠AOE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）54°；（2）∠MON=∠AOE=45°．
【解析】
试题分析：（1）直接利用角平分线的性质得出∠DOE的度数，再求出∠DOB的度数，进而得出答案；
（2）直接利用未知数表示出∠AOD、∠MOD、∠MON进而求出答案．
解：（1）∵ON平分∠DOE，
∴∠DOE=2∠EON=36°，
∵∠BOE=∠DOE+∠DOB=90°，
∴∠DOB=∠BOE﹣∠DOE=54°，
∴∠AOC=∠DOB=54°；
（2）∠DON=∠AOE
理由：设∠DON=x°，
∵ON平分∠DOE，
∴∠DOE=2∠DON=2x°，
∵∠AOE+∠BOE=180°，∠BOE=90°，
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=90°，
∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=（90+2x）°，
∵OM平分∠AOD，
∴∠MOD=（90+2x）°=（45+x）°，
∴∠MON=∠MOD﹣∠DON=45°，
∴∠MON=∠AOE=45°．
考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义；垂线．
68．已知，在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数为 °，∠CON的度数为 °；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为 °；
（3）请从下列（A），（B）两题中任选一题作答．
我选择： ．
（A）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则∠AOD的度数为 °；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC ∠BON（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（B）如图4，MN⊥AB，ON在∠AOC的内部，若另一边OM在直线AB的下方，则∠COM+∠AON的度数为 °；∠AOM﹣∠CON的度数为 °．
【答案】（1）120；150．（2）30°．（3）A（或B）；30；=；150；30．
【解析】
试题分析：（1）利用两角互补，即可得出结论；
（2）根据OM平分∠BOC，可得出∠BOM=60°，由∠BOM+∠BON=∠MON=90°可求得∠BON的度数；
（3）根据直角三角板MON各角的度数以及图中各角的关系即能得出结论．
解：（1）∵∠AOC=60°，∠BOC与∠AOC互补，∠AON=90°
∴∠BOC=180°﹣60°=120°，∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°．
故答案为120；150．
（2）∵三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，∠BOC=120°，
∴∠BOM=∠BOC=60°，
又∵∠MON=∠BOM+∠BON=90°，
∴∠BON=90°﹣60°=30°．
故答案为30°．
（3）（A）∵∠AOD=∠BON（对顶角），∠BON=30°，
∴∠AOD=30°，
又∵∠AOC=60°，
∴∠DOC=∠AOC﹣∠AOD=60°﹣30°=30°=∠BON．
（B）∵MN⊥AB，
∴∠AON与∠MNO互余，
∵∠MNO=60°（三角板里面的60°角），
∴∠AON=90°﹣60°=30°，
∵∠AOC=60°，150
∴∠CON=∠AOC﹣∠AON=60°﹣30°=30°，
∴∠COM+∠AON=∠MON+2∠CON=90°+2×30°=150°，
∠AOM﹣∠CON=∠MON﹣2∠CON=90°﹣2×30°=30°．
故答案为A（或B）；30；=；150；30．
考点：角的计算；角平分线的定义．
69．如图，已知∠AOB=120°，射线OA绕点O以每秒钟6°的速度逆时针旋转到OP，设射线OA旋转OP所用时间为t秒（t＜30）．
（1）如图1，直接写出∠BOP=°（用含t的式子表示）；
（2）若OM平分∠AOP，ON平分∠BOP．
①当OA旋转到如图1所示OP处，请完成作图并求∠MON的度数；
②当OA旋转到如图2所示OP处，若2∠BOM=3∠BON，求t的值．
【答案】（1）（120﹣6t）；（2）①60°；②t=28．
【解析】
试题分析：（1）由于∠AOB=120°，∠AOP=6t，即可得到∠BOP=（120﹣6t）°；
（2）根据角平分线的定义得到∠MOP=∠AOP=3t，∠NOP=∠BOP=60﹣3t，根据线段的和差即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义得到∠MOA=∠MOP=∠AOP=3t，∠BON=∠NOP=∠BOP=3t﹣60，根据已知条件列方程即可得到结论．
解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOP=6t，
∴∠BOP=（120﹣6t）°．
故答案为：（120﹣6t）；
（2）∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOP，
∴∠MOP=∠AOP=3t，∠NOP=∠BOP=60﹣3t，
∴∠MON=∠MOP+∠NOP=3t+60﹣3t=60°；
（3）∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOP，
∴∠MOA=∠MOP=∠AOP=3t，
∠BON=∠NOP=∠BOP=3t﹣60，
∵2∠BOM=3∠BON，
即2（120﹣3t）=3（3t﹣60），
解得t=28．
考点：角的计算；角平分线的定义．
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