考点6.3　等比数列（解析版）练习题

6.3　等比数列

【基础集训】

考点一　等比数列的有关概念及运算

1.Sn是正项等比数列{an}的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=(　　)

A.2　　　B.3　　　C.1　　　D.6

【答案】　A

2.在数列{an}中,满足a1=2,=an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn为{an}的前n项和,若a6=64,则S7的值为(　　)

A.126　　　B.256　　　C.255　　　D.254

【答案】　D

3.已知{an}是等比数列,若a1=1,a6=8a3,数列的前n项和为Tn,则T5=(　　)

A.　　　B.31　　　C.　　　D.7

【答案】　A

4.已知正项等比数列{an}满足log2an+2-log2an=2,且a3=8,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　. 

【答案】　2n+1-2

5.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.

(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

【解析】　(1)证明:∵a1=1,Sn+1=4an+2,

∴a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2,∴b1=a2-2a1=3,当n≥2时,Sn=4an-1+2,

∴Sn+1-Sn=4an-4an-1,∴an+1=4an-4an-1,

∴an+1-2an=2(an-2an-1).

又∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,n≥2,

∴{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.

(2)由(1)知:bn=an+1-2an=3·2n-1,∴-=,

∴数列是首项为,公差为的等差数列,

∴=+(n-1)×=n-,∴an=(3n-1)·2n-2.

6.已知Sn为数列{an}的前n项和,且2Sn=3an-2(n∈N*).

(1)求an和Sn;

(2)若bn=log3(Sn+1),求数列{b2n}的前n项和Tn.

【解析】　(1)∵2Sn=3an-2,

∴当n=1时,2S1=3a1-2,解得a1=2;

当n≥2时,2Sn-1=3an-1-2,∴2Sn-2Sn-1=3an-3an-1,

∴2an=3an-3an-1,∴an=3an-1,

∴数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,

∴an=2·,Sn==3n-1.

(2)由(1)知Sn=3n-1,

∴bn=log3(Sn+1)=log33n=n,∴b2n=2n,

∴Tn=2+4+6+…+2n==n2+n.

7.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+λ(λ为常数).

(1)试探究数列{an+λ}是不是等比数列,并求an;

(2)当λ=1时,求数列{n(an+λ)}的前n项和Tn.

【解析】　(1)因为an+1=2an+λ,所以an+1+λ=2(an+λ).

又a1=1,

所以当λ=-1时,a1+λ=0,数列{an+λ}不是等比数列,

此时an+λ=an-1=0,即an=1;

当λ≠-1时,a1+λ≠0,所以an+λ≠0,

所以数列{an+λ}是以1+λ为首项,2为公比的等比数列,

此时an+λ=(1+λ)2n-1,即an=(1+λ)2n-1-λ.

(2)当λ=1时,由(1)知an=2n-1,所以n(an+1)=n×2n,

Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n①,

2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1②,

①-②得:-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)2n+1-2.所以Tn=(n-1)2n+1+2.

考点二　等比数列的性质

8.已知数列{an}为等比数列,且a1a13+2=4π,则tan(a2a12)的值为(　　)

A.　　　B.-　　　C.±　　　D.-

【答案】　A

9.在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则的值为(　　)

A.2　　　B.-　　　C.　　　D.-或

【答案】　D

10.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则(　　)

A.a1<0,0<q<1　　　　　B.a1<0,q>1

C.a1>0,0<q<1　　　　　D.a1>0,q>1

【答案】　A

【综合集训】

考法一　等比数列基本量运算的解题技巧

1.已知数列{an}是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则的值为(　　)

A.　　　B.4　　　C.2　　　D.

【答案】　A

2.已知数列{an}为等差数列,且,2,成等比数列,则{an}的前6项的和为(　　)

A.15　　　B.　　　C.6　　　D.3

【答案】　C

3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1=(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.2

【答案】　A

4.已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2,2a5,3a8成等差数列,则=(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【答案】　C

考法二　等比数列的判定与证明

5.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是(　　)

A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=

B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=

C.a,b,c依次成公比为的等比数列,且a=

D.a,b,c依次成公比为的等比数列,且c=

【答案】　D

6.设{an}是公比为q的等比数列.

(1)推导{an}的前n项和公式;

(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.

【解析】　(1)易知q≠0.

当q=1时,Sn=na1.当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an,

qSn=a1q+a2q+…+anq=a2+a3+…+an+anq,

∴(1-q)Sn=a1-anq,

∴Sn==.

综上,Sn=

(2)证明:假设q≠1时,数列{an+1}是等比数列.

则(a2+1)2=(a1+1)(a3+1),

即(a1q+1)2=(a1+1)(a1q2+1),

化为a1(q-1)2=0,易知a1≠0,解得q=1,与q≠1矛盾,

因此假设不成立,故原结论成立,即q≠1时,数列{an+1}不是等比数列.

考点一　等比数列的有关概念及运算

1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=(　　)

A.16　　　B.8　　　C.4　　　D.2

【答案】　C

2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(　　)

A.1盏　　　B.3盏　　　C.5盏　　　D.9盏

【答案】　B

3.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(　　)

A.f　　　B.f　　　C.f　　　D.f

【答案】　D

4.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=　　　　. 

【答案】　

5.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=　　　　. 

【答案】　1

6.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=　　　　. 

【答案】　32

7.设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=　　　　. 

【答案】　3n-1

8.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.

(1)求{an}的通项公式;

(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.

【解析】　本题考查等比数列的概念及其运算.

(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.

由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.

故an=(-2)n-1或an=2n-1.

(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.

由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.

若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.

综上,m=6.

解后反思　等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略

(1)求通项公式.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项公式便可求出.

(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.

(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.

(4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.

9.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;

(2)若S5=,求λ.

【解析】　(1)由题意得a1=S1=1+λa1,

故λ≠1,a1=,a1≠0.(2分)

由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.

因此{an}是首项为,公比为的等比数列,

于是an=.(6分)

(2)由(1)得Sn=1-.

由S5=得1-=,即=.

解得λ=-1.(12分)

方法指导　(1)利用an+1=Sn+1-Sn可得到an+1与an的关系式,要证数列{an}是等比数列,关键是得出an+1与an之比为常数,其中说明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论列方程即可求出λ.

考点二　等比数列的性质

10.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　. 

【答案】　64

11.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于　　　　. 

【答案】　2n-1

巩固训练

考点一　等比数列的有关概念及运算

1.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(　　)

A.　　　B.-　　　C.　　　D.-

【答案】　C

2.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(　　)

A.7　　　B.5　　　C.-5　　　D.-7

【答案】　D

3.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=　　　　. 

【答案】　1

4.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.

(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式;

(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+…+en>.

【解析】　(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,

两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.

又由S2=qS1+1得到a2=qa1,

故an+1=qan对所有n≥1都成立.

所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.

从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得

2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,

由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*).

(2)证明:由(1)可知,an=qn-1.

所以双曲线x2-=1的离心率en==.

由e2==,解得q=.

因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>qk-1(k∈N*).于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=,故e1+e2+…+en>.

5.设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.

【解析】　(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,

当n>1时,2Sn-1=3n-1+3,

此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,

所以an=

(2)因为anbn=log3an,所以b1=,

当n>1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.

所以T1=b1=;

当n>1时,

Tn=b1+b2+b3+…+bn=+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n],

所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n],

两式相减,得

2Tn=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n

=+-(n-1)×31-n=-,

所以Tn=-(n>1).经检验,n=1时也适合.

综上可得Tn=-(n∈N*).

6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.

(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;

(2)证明++…+<.

【解析】　(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.

又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.

an+=,因此{an}的通项公式为an=.

(2)证明:由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.

于是++…+≤1++…+=<.

所以++…+<.

考点二　等比数列的性质

7.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则(　　)

A.a1<a3,a2<a4　　　　　B.a1>a3,a2<a4                          C.a1<a3,a2>a4　　　　　D.a1>a3,a2>a4

【答案】　B

8.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前8项和等于(　　)

A.6　　　B.5　　　C.4　　　D.3

【答案】　C

模拟预测

一、单项选择题(每题5分,共45分)

1.已知等差数列{an}的首项为a1,公差d≠0,则“a1,a3,a9成等比数列”是“a1=d”的(　　)

A.充分而不必要条件　　　　　B.必要而不充分条件

C.充要条件　　　　　D.既不充分也不必要条件

【答案】　C

2.等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,则S12=(　　)

A.15　　　B.30　　　C.45　　　D.60

【答案】　C

3.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%.今共有粮m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为(　　)

A.20%;369　　　B.80%;369　　　C.40%;360　　　D.60%;365

【答案】　A

4.在公比为q的正项等比数列{an}中,a4=4,则当2a2+a6取得最小值时,log2q=(　　)

A.　　　B.-　　　C.　　　D.-

【答案】　A

5.在等比数列{an}中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是(　　)

A.{6}　　　B.{-8,8}　　　C.{-8}　　　D.{8}

【答案】　D

6.已知数列{an}为正项等比数列,a2=,a3=2a1,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(　　)

A.(2+)[1-]　　　　　B.(2+)[-1]                 

 C.(2n-1)　　　　　D.(1-2n)

【答案】　C

7.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n+1+λ,则λ=(　　)

A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2

【答案】　A

8.已知等比数列{an}满足a1+a2=12,a1-a3=6,则当a1·a2·…·an取到最大值时,n的值为(　　)

A.3　　　B.4　　　C.3或4　　　D.5

【答案】　C

9.设Sn是等比数列{an}的前n项和,S4=5S2,则的值为(　　)

A.±　　　B.±2　　　C.±2或-1　　　D.±或-1

【答案】　D

二、多项选择题(每题5分,共10分)

10.已知各项均为正数的等比数列{an},a1>1,0<q<1,其前n项和为Sn,则下列说法正确的是(　　)

A.数列{ln an}为等差数列

B.若Sn=Aqn+B,则A+B=0

C.Sn·S3n=

D.记Tn=a1·a2·…·an,则数列{Tn}有最大值

【答案】　ABD

11.已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是(　　)

A.　　　　　B.{log2(an)2}

C.{an+an+1}　　　　　D.{an+an+1+an+2}

【答案】　AD

三、填空题(每题5分,共10分)

12.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an-1(n∈N*),则S6等于　　　　. 

【答案】　63

13.已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,若an+1=(n∈N*),a1=1,则使不等式Sn>2 019成立的n的最小值是　　　　. 

【答案】　11

四、解答题(共50分)

14.设数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+1,在下列两个条件:①a1=-1,②a2=3中选择一个,求数列{an}的通项公式并求其前n项和.

【解析】　若选择条件①a1=-1,由于an+1=2Sn+1,

∴当n≥2时,an=2Sn-1+1,

两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an,又a2=2S1+1=-1,

∴数列a2,a3,…,an是首项为-1,公比为3的等比数列,

则an=a2·3n-2=-3n-2,n≥2,∴an=

又当n=1时,S1=a1=-1,

∴当n≥2时,Sn=a1+a2+a3+…+an=(-1)+(-1)+(-1)×3+…+(-1)×3n-2=(-1)+=-1+=--,又当n=1时,S1=--=-1也符合上式,

因此Sn=--,n∈N*.若选择条件②a2=3,∵a2=3,∴a2=2S1+1=3,∴S1=1,即a1=1.

∵an+1=2Sn+1,∴n≥2时,an=2Sn-1+1,∴an+1-an=2an,

即an+1=3an,又∵==3,∴数列{an}是首项为a1=1,公比为3的等比数列,∴an=a13n-1=3n-1,

∴Sn==(3n-1)=·3n-.

15.已知{an}是递增的等差数列,且a2,a4是方程x2-5x+6=0的根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2bn-2(n∈N*).

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)若cn=an·bn(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn.

【解析】　(1)易得方程x2-5x+6=0的两根为2,3,

则由题意,得a2=2,a4=3.设等差数列{an}的公差为d,

则a4-a2=2d,∴d=.从而a2=a1+d=2,∴a1=.

∴数列{an}的通项公式为an=+(n-1)×=+1.

∵Sn=2bn-2,①

∴当n≥2时,Sn-1=2bn-1-2,②

①-②得,bn=Sn-Sn-1=(2bn-2)-(2bn-1-2)=2bn-2bn-1,

∴bn=2bn-1(n≥2).又b1=S1=2b1-2,∴b1=2.∴{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴bn=2×2n-1=2n.

(2)由题意及(1)得cn=×2n=(n+2)×2n-1,

∴Tn=(1+2)×20+(2+2)×21+(3+2)×22+…+(n+1)×2n-2+(n+2)×2n-1,

即Tn=3×20+4×21+5×22+…+(n+1)×2n-2+(n+2)×2n-1,①

∴2Tn=3×21+4×22+5×23+…+(n+1)×2n-1+(n+2)×2n,②

①-②得-Tn=3+21+22+23+…+2n-2+2n-1-(n+2)×2n,

∴-Tn=3+-(n+2)×2n=1-(n+1)×2n,

∴Tn=(n+1)×2n-1.

16.已知数列{an}为等差数列,Sn为{an}的前n项和,2a2+a5=a8,S5=25.数列{bn}为等比数列,且bn>0,b1=a1,=a1a5.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)记cn=,其前n项和为Tn,求证:Tn≥.

【解析】　(1)设数列{an}的公差为d,则由2a2+a5=a8,S5=25得解得所以an=2n-1,

所以a1=1,a5=9.设{bn}的公比为q,

因为b1=a1=1,=a1a5=q2,bn>0,所以q=3,则bn=3n-1.

(2)证明:由(1)得cn===2,

所以Tn=2=2,

易知Tn随着n的增大而增大,所以Tn≥T1=2=.

17.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an>0,=-λSn+1,其中λ为常数.

(1)证明:Sn+1=2Sn+λ;

(2)是否存在实数λ,使得数列{an}为等比数列?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

【解析】　(1)证明:∵an+1=Sn+1-Sn,=-λSn+1,

∴=(Sn+1-Sn)2-λSn+1,∴Sn+1(Sn+1-2Sn-λ)=0,

∵an>0,∴Sn+1>0,∴Sn+1-2Sn-λ=0,∴Sn+1=2Sn+λ.

(2)存在.∵Sn+1=2Sn+λ,∴Sn=2Sn-1+λ(n≥2),相减得an+1=2an(n≥2),∴{an}从第二项起成等比数列,

∵S2=2S1+λ,即a2+a1=2a1+λ,∴a2=1+λ>0,得λ>-1,

∴an=

若使{an}是等比数列,则a1a3=,

∴2(λ+1)=(λ+1)2,∴λ=1,经检验,符合题意.

故存在实数λ,使得数列{an}为等比数列,λ的值为1.