考点7.2　平面向量的数量积及向量的综合应用（解析版）练习题

7.2　平面向量的数量积及向量的综合应用

【基础集训】

考点一　平面向量的数量积

1.已知向量=(1,2),=(-3,1),则·=(　　)

A.6　　　B.-6　　　C.-1　　　D.1

【答案】　B

2.已知向量m=(1,2),n=(2,3),则m在n方向上的投影为(　　)

A.　　　B.8　　　C.　　　D.

【答案】　D

考点二　平面向量数量积的应用

3.已知单位向量e1,e2的夹角为θ,且tan θ=2,若向量m=2e1-3e2,则|m|=(　　)

A.9　　　B.10　　　C.3　　　D.

【答案】　C

4.△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则向量a,b的夹角为(　　)

A.30°　　　B.60°　　　C.120°　　　D.150°

【答案】　C

5.已知|a|=,a·b=-,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【答案】　C

6.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则等于(　　)

A.-　　　B.1　　　C.2　　　D.

【答案】　B

7.已知点P(-1,),O为坐标原点,点Q是圆O:x2+y2=1上一点,且·=0,则|+|=(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.7

【答案】　C

8.已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的最大值与最小值的和为(　　)

A.0　　　B.　　　C.　　　D.

【答案】　D

【综合集训】

考法一　求向量模的方法

1.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=(　　)

A.　　　B.　　　C.2　　　D.5

【答案】　D

2.已知向量a,b满足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|=(　　)

A.2　　　B.2　　　C.4　　　D.12

【答案】　A

3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|=(　　)

A.2　　　B.　　　C.2　　　D.1

【答案】　A

考法二　求平面向量夹角的方法

4.已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b夹角的余弦值为(　　)

A.　　　B.-　　　C.　　　D.-

【答案】　C

5.已知平面向量a、b满足|a|=|b|=1,若(2a-b)·b=0,则向量a、b的夹角为(　　)

A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.120°

【答案】　C

6.已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是　　　　. 

【答案】　

7.已知在△OAB中,OA=OB=2,AB=2,动点P位于线段AB上,则当·取最小值时,向量与的夹角的余弦值为　　　　. 

【答案】　-

【应用集训】

1.已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于(　　)

A.13　　　B.15　　　C.19　　　D.21

【答案】　A

2.如图,半径为1的扇形AOB中,∠AOB=,P是弧AB上的一点,且满足OP⊥OB,M,N分别是线段OA,OB上的动点,则·的最大值为(　　)

A.　　　B.　　　C.1　　　D.

【答案】　C

3.已知A,B,C均位于同一单位圆O上,且·=||2,若·=3,则|++|的取值范围为　　　　　. 

【答案】　[5,7]

题组一

考点一　平面向量的数量积

1.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·=(　　)

A.-3　　　B.-2　　　C.2　　　D.3

【答案】　C

2.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)

A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.0

【答案】　B

3.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=　　　　. 

【答案】　-1

考点二　平面向量数量积的应用

4.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【答案】　B

5.已知向量=,=,则∠ABC=(　　)

A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.120°

【答案】　A

6.设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的(　　)

A.充分而不必要条件　　　　　B.必要而不充分条件

C.充分必要条件　　　　　D.既不充分也不必要条件

【答案】　D

7.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(　　)

A.-2　　　B.-　　　C.-　　　D.-1

【答案】　B

8.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.3

【答案】　A

9.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　)

A.4　　　B.-4　　　C.　　　D.-

【答案】　B

10.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是(　　)

A.|b|=1　　　B.a⊥b　　　C.a·b=1　　　D.(4a+b)⊥

【答案】　D

11.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos<a,c>=　　　　. 

【答案】　

12.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　. 

【答案】　-2

13.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若·=6·,则的值是　　　　. 

【答案】　

14.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为　　　　. 

【答案】　

题组一

考点一　平面向量的数量积

1.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=(　　)

A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.5

【答案】　A

2.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为(　　)

A.-　　　B.　　　C.　　　D.

【答案】　B

3.设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=(　　)

A.20　　　B.15　　　C.9　　　D.6

【答案】　C

4.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=　　　　. 

【答案】　2

5.在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则·的最小值为　　　　. 

【答案】　-3

6.已知向量⊥,||=3,则·=　　　　. 

【答案】　9

7.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则·的最小值为　　　　. 

【答案】　

考点二　平面向量数量积的应用

8.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(　　)

A.-1　　　B.+1　　　C.2　　　D.2-

【答案】　A

9.在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【答案】　B

10.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则(　　)

A.I1<I2<I3　　　B.I1<I3<I2　　　C.I3<I1<I2　　　D.I2<I1<I3

【答案】　C

11.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=　　　　. 

【答案】　3

12.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是　　　　,最大值是　　　　. 

【答案】　4;2

13.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.

(1)若m⊥n,求tan x的值;

(2)若m与n的夹角为,求x的值.

【解析】　(1)因为m⊥n,

所以m·n=sin x-cos x=0.

即sin x=cos x,又x∈,所以tan x==1.

(2)易求得|m|=1,|n|==1.

因为m与n的夹角为,

所以cos==.

则sin x-cos x=sin=.

又因为x∈,所以x-∈.

所以x-=,解得x=.

题组二

一、单项选择题(每题5分,共45分)

1.设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,则λ=(　　)

A.3　　　B.2　　　C.-2　　　D.-3

【答案】　A

2.已知向量=(1,1),=(-2,1),则||=(　　)

A.5　　　B.　　　C.3　　　D.

【答案】　B

3.在△ABC中,|CA|=1,|CB|=2,∠ACB=π,点M满足=+2,则·=(　　)

A.0　　　B.2　　　C.2　　　D.4

【答案】　A

4.若向量a=(1,2),b=(1,m),且a-b与b的夹角为钝角,则实数m的取值范围是(　　)

A.(0,2)　　　　　B.(-∞,2)

C.(-2,2)　　　　　D.(-∞,0)∪(2,+∞)

【答案】　D

5.若向量a,b是非零向量,则“|a+b|=|a-b|”是“a,b的夹角为90°”的(　　)

A.充分不必要条件　　　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　D.既不充分又不必要条件

【答案】　C

6.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,则|a-b|=　(　　)

A.2　　　B.　　　C.　　　D.

【答案】　A

7.已知单位向量a,b满足|a+b|-2a·b=0,则|a+2b|=(　　)

A.3　　　B.2　　　C.9　　　D.4

【答案】　A

8.已知平面向量a,b,a=(2cos α,2sin α),b=(cos β,sin β),且a·b>0,若对任意的实数λ,|a-λb|的最小值为,则此时|a-b|=(　　)

A.1　　　B.2　　　C.　　　D.

【答案】　D

9.如图,已知等腰梯形ABCD中,AB=2DC=4,AD=BC=,E是DC的中点,F是线段BC上的动点,则·的最小值是(　　)

A.0　　　B.-　　　C.-　　　D.1

【答案】　B

二、多项选择题(每题5分,共15分)

10.已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为,则下列结论正确的是(　　)

A.e1,e2的夹角是　　　　　B.e1,e2的夹角是或

C.|e1+e2|=1或　　　　　D.|e1+e2|=1或

【答案】　BC

11.已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2(k∈R),则以下结论正确的是(　　)

A.若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2

B.若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2

C.存在k,使得a与b不共线,e1与e2共线

D.不存在k,使得a与b不共线,e1与e2共线

【答案】　AD

12.已知向量a=(sin α,cos α),b=(1,2),则下列命题正确的是(　　)

A.若a∥b,则tan α=

B.若a⊥b,则tan α=

C.若f(α)=a·b取得最大值,则tan α=

D.|a-b|的最大值为+1

【答案】　ACD

三、填空题(每题5分,共20分)

13.已知向量a=(2,3),b=(-1,m),且a与(a+b)垂直,则m=　　　　. 

【答案】　-

14.已知单位向量e1,e2的夹角为60°,则|e1+2e2|=　　　　,|e1+λe2|(λ∈R)的最小值为　　　　. 

【答案】　;

15.在△ABC中,CA=2CB=2,·=-1,O是△ABC的外心,若=x+y,则x+y=　　　　. 

【答案】　

16.已知菱形ABCD的边长为1,∠B=60°,点E,F分别是边AB,BC的中点,则·的值为　　　　. 

【答案】　

四、解答题(共20分)

17.已知单位向量a,b,在下列条件①|a+b|=　　　　;②|a-b|=　　　　;③a·(a-b)=　　　　中选择一个条件　　　,并在“　　　　”处填上适当的数,使得a·b的夹角为. 

【解析】　若选条件①,∵<a,b>=,

∴|a+b|====,故填,反之亦成立.此处填条件①;.

若选条件②,∵|a|=|b|=1,且<a,b>=,∴|a-b|===1,反之亦成立,故填条件②;1.

若选条件③,∵|a|=|b|=1,<a,b>=,∴a·(a-b)=a2-a·b=1-1×1×=,反之亦成立,

故填条件③;.以上三种每一种结果均可.

18.已知a=(x,1),b=(4,-2).

(1)若a∥b,求x的值;

(2)当a⊥b时,求|2a-b|;

(3)若a与b所成角为钝角,求x的取值范围.

【解析】　本题主要考查平面向量的平行,垂直及夹角问题的求解,考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.

(1)∵a=(x,1),b=(4,-2),a∥b,

∴x·(-2)-1×4=0,∴x=-2.

(2)∵a⊥b,∴a·b=4x-2=0,解得x=,∴a=,2a-b=2-(4,-2)=(-3,4),

∴|2a-b|==5.

(3)∵a与b所成角为钝角,∴a·b<0,且a与b不共线.

由a·b=(x,1)·(4,-2)=4x-2<0得x<,

由a与b不共线,得-2x-4≠0,得x≠-2,∴a与b所成角为钝角时,x的取值范围是x.