考点3.5　对数与对数函数（解析版）练习题

§3.5　对数与对数函数

【基础集训】

考点　对数与对数函数

1.已知函数f(x)=(ex+e-x)·ln-1,若f(a)=1,则f(-a)=(　　)

A.1　　　B.-1　　　C.3　　　D.-3

【答案】　D

2.函数f(x)=xa满足f(2)=4,那么函数g(x)=|loga(x+1)|的图象大致为(　　)

【答案】　C

3.已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+)在区间(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga||x|-b|的图象是(　　)

【答案】　A

4.化简:=　　　　. 

【答案】　

5.设2x=5y=m,且+=2,则m=　　　　. 

【答案】　

6.已知对数函数f(x)的图象过点(4,1).

(1)求f(x)的解析式;

(2)若实数m满足f(2m-1)<f(5-m),求实数m的取值范围.

【解析】　(1)依题可设f(x)=logax(a>0,且a≠1),

∵f(x)的图象过点(4,1),

∴f(4)=1⇒loga4=1⇒a=4,

∴f(x)=log4x.

(2)∵函数f(x)=log4x在定义域内单调递增,

∴不等式f(2m-1)<f(5-m)成立,

m需满足

∴⇒<m<2,

∴实数m的取值范围是.

【综合集训】

考法一　对数式大小的比较方法

1.设a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a<b<c　　　B.c<b<a　　　C.c<a<b　　　D.b<c<a

【答案】　B

2.已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,设a=ln,b=(ln π)2,c=ln,则(　　)

A.f(a)>f(b)>f(c)　　　　　B.f(b)>f(a)>f(c)

C.f(c)>f(a)>f(b)　　　　　D.f(c)>f(b)>f(a)

【答案】　C

考法二　对数函数的图象与性质的应用

3.若函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|-1)的图象可以是(　　)

【答案】　D

4.若函数f(x)=log0.2(5+4x-x2)在区间(a-1,a+1)上递减,且b=lg 0.2,c=20.2,则(　　)

A.c<b<a　　　B.b<c<a　　　C.a<b<c　　　D.b<a<c

【答案】　D

5.设函数f(x)=lo(x2+1)+,则不等式f(log2x)+f(lox)≥2的解集为(　　)

A.(0,2]　　　　　B.

C.[2,+∞)　　　　　D.∪[2,+∞)

【答案】　B

6.已知函数f(x)=log3.

(1)求函数f(x)的定义域;

(2)判断函数f(x)的奇偶性;

(3)当x∈时,g(x)=f(x),求函数g(x)的值域.

【解析】　(1)要使函数f(x)=log3有意义,

自变量x需满足>0,

解得x∈(-1,1),故函数f(x)的定义域为(-1,1).

(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称.

∵f(-x)=log3=log3=-log3=-f(x),

∴函数f(x)为奇函数.

(3)令u=,则u'=-,u'<0,

故u=在上为减函数,则u∈,

又∵y=log3u为增函数,∴g(x)∈[-1,1],

故函数g(x)的值域为[-1,1].

易错警示　利用对数函数的性质研究对数型函数性质时,要注意以下四点:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是如果需将函数解析式变形,一定确保其等价性;四是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.

考点　对数与对数函数

1.已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<c<b　　　B.a<b<c　　　C.b<c<a　　　D.c<a<b

【答案】　A

2.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a>b>c　　　B.b>a>c　　　C.c>b>a　　　D.c>a>b

【答案】　D

3.若a>b>1,0<c<1,则(　　)

A.ac<bc　　　　　B.abc<bac

C.alogbc<blogac　　　　　D.logac<logbc

【答案】　C

4.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为　　(　　)

A.1010.1　　　B.10.1　　　C.lg 10.1　　　D.10-10.1

【答案】　A

5.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)(　　)

A.1033　　　B.1053　　　C.1073　　　D.1093

【答案】　D

6.已知函数f(x)的周期为1,且当 0<x≤1时, f(x)=log2x,则f=　　　　. 

【答案】　-1

巩固练习题组

考点　对数与对数函数

1.已知a=,b=log2,c=lo,则(　　)

A.a>b>c　　　B.a>c>b　　　C.c>a>b　　　D.c>b>a

【答案】　C

2.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是(　　)

A.q=r<p　　　B.q=r>p　　　C.p=r<q　　　D.p=r>q

【答案】　C

3.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是　(　　)

A.奇函数,且在(0,1)上是增函数

B.奇函数,且在(0,1)上是减函数

C.偶函数,且在(0,1)上是增函数

D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

【答案】　A

4.若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是(　　)

【答案】　B

5.已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:

①f(-x)=-f(x);②f=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.

其中的所有正确命题的序号是(　　)

A.①②③　　　B.②③　　　C.①③　　　D.①②

【答案】　A

6.若a=log43,则2a+2-a=　　　　. 

【答案】　

模拟测试

一、单项选择题(每题5分,共30分)

1.若loa<1,则a的取值范围是(　　)

A.0<a<　　　　　B.a>　　　

C.<a<1　　　　　D.0<a<或a>1

【答案】　B

2.函数f(x)=loga|x|(0<a<1)的图象的大致形状是(　　)

【答案】　C

3.设a=,b=lo,c=log32,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a<b<c　　　B.a<c<b　　　C.c<a<b　　　D.c<b<a

【答案】　B

4.若a>b>c>1且ac<b2,则(　　)

A.logab>logbc>logca　　　　　B.logcb>logba>logac

C.logbc>logab>logca　　　　　D.logba>logcb>logac

【答案】　B

5.若函数f(x)=loga(2-ax)(a>0,且a≠1)在区间(1,3)内单调递增,则a的取值范围是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【答案】　B

6.“ln x<ln y”是“ex<ey”的(　　)

A.充分非必要条件　　　　　B.必要非充分条件

C.充要条件　　　　　D.既不充分也不必要条件

【答案】　A

二、多项选择题(每题5分,共10分)

7.(改编题)若实数a,b,c,满足loga2<logb2<logc2,则下列关系中可能成立的是(　　)

A.a<b<c　　　　　B.b<a<c                C.c<b<a　　　　　D.a<c<b

【答案】　BCD

8.(改编题)已知函数f(x)=ln,若f(a)+f(b)=0且0<a<b<1,则(　　)

A.a+b=1　　　　　B.0<ab<

C.0<ab≤　　　　　D.0<a<

【答案】　ABD

三、填空题(每题5分,共10分)

9.函数y=f(x)的图象和函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=-x对称,且函数g(x)=f(x-1)-3,则函数y=g(x)的图象必过定点　　　　. 

【答案】　(1,-4)

10.已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则=　　　　. 

【答案】　9

四、解答题(共25分)

11.已知函数f(x)=log3(ax2-x+3).

(1)若函数f(x)的定义域为R,求a的取值范围;

(2)已知集合M=[1,3],方程f(x)=2的解集为N.若M∩N≠⌀,求a的取值范围.

【解析】　(1)因为函数的定义域为R,所以ax2-x+3>0恒成立.当a=0时,-x+3>0不恒成立,不符合题意;

当a≠0时,解得a>.综上所述,a>.故a的取值范围为.

(2)由题意可知,ax2-x+3=9在[1,3]上有解,即a=+在[1,3]上有解,设t=,t∈,则a=6t2+t,

因为a=6t2+t在上单调递增,所以a∈[1,7].

12.已知函数f(x)=log2.

(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值;

(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围;

(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.

【解析】　(1)因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,

即log2=0,解得a=0.(2分)

当a=0时, f(x)=-x是R上的奇函数.所以a=0.(4分)

(2)因为函数f(x)的定义域是一切实数,所以+a>0恒成立.即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0),故只要a≥0即可.(7分)

(3)由已知得函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),

最小值是f(1)=log2.(8分)

由题设得log2(1+a)-log2≥2⇒(11分)

解得-<a≤-.(12分)