考点9.3　椭圆（解析版）练习题

这是一份考点9.3　椭圆（解析版）练习题，共20页。

9.3　椭圆
【基础集训】
考点一　椭圆的定义及标准方程
1.已知椭圆y2m+x22=1的一个焦点为0,12,则m=(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.94
【答案】　D
2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为(　　)
A.x23+y22=1　　　　　B.x23+y2=1
C.x212+y28=1　　　　　D.x212+y24=1
【答案】　A
3.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆y24+x23=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为(　　)
A.5　　　B.4　　　C.3　　　D.2
【答案】　A
4.椭圆x29+y225=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,当m取最大值时,点P的坐标是　　　　　　　. 
【答案】　(-3,0)或(3,0)
考点二　椭圆的几何性质
5.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是(　　)
A.13　　　B.33　　　C.34　　　D.223
【答案】　D
6.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(　　)
A.36　　　B.13　　　C.12　　　D.33
【答案】　D
7.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1b≥32a>0,右焦点为F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则x12+x22的取值范围是(　　)
A.0,32　　　　　B.1,32
C.1,34　　　　　D.1,74
【答案】　D
考点三　直线与椭圆的位置关系
8.与椭圆x22+y2=1有相同的焦点且与直线l:x-y+3=0相切的椭圆的离心率为(　　)
A.22　　　B.55　　　C.12　　　D.15
【答案】　B
9.椭圆x225+y216=1的左,右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为(　　)
A.53　　　　　B.103
C.103　　　　D.53　
【答案】　A
10.已知P(1,1)为椭圆x24+y22=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,且弦与椭圆交于A、B两点,则此弦所在直线的方程为　　　　　　　. 
【答案】　x+2y-3=0
11.设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
【答案】　(1)根据题意知F1(-c,0),Mc,b2a.
由kMN=34得b2a-0c-(-c)=34,
即2b2=3ac,将b2=a2-c2代入得2(a2-c2)=3ac,2c2-2a2+3ac=0,
2e2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍),
故C的离心率为12.
(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,设直线MF1与y轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a,①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,则
2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.
代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.②
将①及c=a2-b2代入②得9(a2-4a)4a2+14a=1.
解得a=7,则b2=4a=28.故b=27.
评析　本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
【综合集训】
考法一　与椭圆定义相关的问题
1.一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为(　　)
A.x28+y26=1　　　　　B.x216+y26=1
C.x24+y22=1　　　　　D.x28+y24=1
【答案】　A
2.椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为23,则△PF1F2的周长是(　　)
A.2(2+3)　　　 B.4+23　　
C.2+3　　　　　D.2+23
【答案】　A
3.已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为(　　)
A.43　　　B.1　　　C.45　　　D.34
【答案】　D
考法二　椭圆离心率问题的求法
4.设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为(　　)
A.2-1　　　 B.5-12　　
C.22　　　　　D.2+1
【答案】　A
5.我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,在地球轨道上经历3次调相轨道变轨,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为R,卫星近地点,远地点离地面的距离分别是R2,5R2(如图所示),则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为(　　)

A.25　　　B.15　　　C.23　　　D.13
【答案】　A
6.设F,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点和上顶点,O为坐标原点,C是直线y=bax与椭圆在第一象限内的交点,若FO+FC=λ(BO+BC),则椭圆的离心率是(　　)
A.22+17　　　　　B.22-17
C.22-13　　　　　D.2-1
【答案】　A
考法三　直线与椭圆位置关系问题的解法
7.已知椭圆x2a2+y24=1(a>2)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|AF2|+|BF2|的最大值为283,则该椭圆的离心率为(　　)
A.22　　　B.53　　　C.12　　　D.59
【答案】　B
8.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
【答案】　本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力.
(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由题意得a=2,ca=32,
解得c=3.
所以b2=a2-c2=1.
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)证明:设M(m,n),
则D(m,0),N(m,-n).
由题设知m≠±2,且n≠0.
直线AM的斜率kAM=nm+2,
故直线DE的斜率kDE=-m+2n.
所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m).
直线BN的方程为y=n2-m(x-2).
联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),
解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.
由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.
所以yE=-45n.
又S△BDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,
S△BDN=12|BD|·|n|,
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
题组一
考点一　椭圆的定义及标准方程
1.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)
A.x22+y2=1　　　B.x23+y22=1　　　C.x24+y23=1　　　D.x25+y24=1
【答案】　B
2.设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　. 
【答案】　(3,15)
3.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.

【答案】　(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,
则原点O到该直线的距离d=bcb2+c2=bca,
由d=12c,得a=2b=2a2-c2,可得离心率ca=32.
(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①
依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=10.
易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得
(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,
x1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2.
由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,
解得k=12.
从而x1x2=8-2b2.
于是|AB|=1+122|x1-x2|
=52(x1+x2)2-4x1x2
=10(b2-2).
由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.
故椭圆E的方程为x212+y23=1.
解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②
依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=10.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2,
两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得
-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,
易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,
所以AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=12.
因此直线AB的方程为y=12(x+2)+1,
代入②得x2+4x+8-2b2=0.
所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.
于是|AB|=1+122|x1-x2|
=52(x1+x2)2-4x1x2
=10(b2-2).
由|AB|=10,得10(b2-2)=10,
解得b2=3.
故椭圆E的方程为x212+y23=1.
解题关键　对于第(2)问,利用弦长及韦达定理或点差法构造关于参数的方程是解题的关键.
考点二　椭圆的几何性质
4.椭圆x29+y24=1的离心率是(　　)
A.133　　　B.53　　　C.23　　　D.59
【答案】　B
5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则(　　)
A.a2=2b2　　　B.3a2=4b2　　　C.a=2b　　　D.3a=4b
【答案】　B
6.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(　　)
A.23　　　B.12　　　C.13　　　D.14
【答案】　D
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　　)
A.63　　　B.33　　　C.23　　　D.13
【答案】　A
8.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为　(　　)
A.13　　　B.12　　　C.23　　　D.34
【答案】　A
9.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2-y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为　　　　;双曲线N的离心率为　　　　. 
【答案】　3-1;2
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=52.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求点E的坐标.

【答案】　本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.
(1)设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.
又因为DF1=52,AF2⊥x轴,所以DF2=DF12-F1F22=522-22=32.
因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.
由b2=a2-c2,得b2=3.
因此,椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
(2)解法一:由(1)知,椭圆C:x24+y23=1,a=2.
因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.
因为点A在x轴上方,所以A(1,4).
又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.
由y=2x+2,(x-1)2+y2=16,得5x2+6x-11=0,
解得x=1或x=-115.
将x=-115代入y=2x+2,得y=-125.
因此B-115,-125.
又F2(1,0),所以直线BF2:y=34(x-1).
由y=34(x-1),x24+y23=1,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.
将x=-1代入y=34(x-1),得y=-32.
因此E-1,-32.
解法二:由(1)知,椭圆C:x24+y23=1.
如图,连接EF1.
因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.
所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1,0),由x=-1,x24+y23=1,解得y=±32.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-32.
因此E-1,-32.


考点三　直线与椭圆的位置关系
11.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
【答案】　本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.
所以,椭圆的方程为x25+y24=1.
(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立y=kx+2,x25+y24=1,整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2,代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2,进而直线OP的斜率yPxP=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k2.由OP⊥MN,得4-5k2-10k·-k2=-1,化简得k2=245,从而k=±2305.
所以,直线PB的斜率为2305或-2305.
思路分析　(1)根据条件求出基本量a,b得到椭圆方程.
(2)要利用条件OP⊥MN,必须求P点和M、N点坐标.由直线PB的方程与椭圆方程联立得到P点坐标,求出M及N点坐标,利用kOP·kMN=-1求出kPB.
12.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,|AB|=13.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.
【答案】　本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为x29+y24=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.
易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程组x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.
由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.
当k=-89时,x2=-9<0,不合题意,舍去;
当k=-12时,x2=12,x1=125,符合题意.
所以,k的值为-12.
解题关键　第(2)问中把两个三角形的面积的关系转化为点P、M的横坐标间的关系,进而得到关于k的方程是求解的难点和关键.
13.设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
【答案】　(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,
由已知可得,点A的坐标为1,22或1,-22.
所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2.
(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,
当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线,
所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,
设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1<2,x2<2,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2,
由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).
将y=k(x-1)代入x22+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
所以,x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.
则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0,
从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,
所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.
14.设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.
【答案】　(1)由题设条件知,点M的坐标为23a,13b,
又kOM=510,从而b2a=510.
进而a=5b,c=a2-b2=2b.故e=ca=255.
(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为a2,-b2,可得NM=a6,5b6.
又AB=(-a,b),从而有AB·NM=-16a2+56b2=16(5b2-a2).
由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以AB·NM=0,故MN⊥AB.
评析　本题考查椭圆的简单几何性质及利用向量法证明线线垂直,较难.
题组二
考点一　椭圆的定义及标准方程
1.设F1,F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0 【答案】　x2+32y2=1
2.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为22.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为　　　　　. 
【答案】　x216+y28=1
3.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,2),且离心率e=22.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G-94,0与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.

【答案】　(1)由已知得b=2,ca=22,a2=b2+c2.解得a=2,b=2,c=2.
所以椭圆E的方程为x24+y22=1.
(2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).
由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,
从而y0=mm2+2.
所以|GH|2=x0+942+y02=my0+542+y02=(m2+1)y02+52my0+2516.
|AB|24=(x1-x2)2+(y1-y2)24=(1+m2)(y1-y2)24
=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]4=(1+m2)(y02-y1y2),
故|GH|2-|AB|24=52my0+(1+m2)y1y2+2516=5m22(m2+2)-3(1+m2)m2+2+2516=17m2+216(m2+2)>0,
所以|GH|>|AB|2.
故点G-94,0在以AB为直径的圆外.
解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则GA=x1+94,y1,
GB=x2+94,y2.
由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,
从而GA·GB=x1+94x2+94+y1y2
=my1+54my2+54+y1y2
=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516
=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516
=17m2+216(m2+2)>0,
所以cos>0.又GA,GB不共线,所以∠AGB为锐角.
故点G-94,0在以AB为直径的圆外.
评析　本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.
考点二　椭圆的几何性质
4.设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为(　　)
A.12　　　B.23　　　C.34　　　D.45
【答案】　C
5.如图,设椭圆x2a2+y2=1(a>1).
(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.

【答案】　(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,
由y=kx+1,x2a2+y2=1得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,
故x1=0,x2=-2a2k1+a2k2.
因此|AP|=1+k2|x1-x2|=2a2|k|1+a2k2·1+k2.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.
记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.
由(1)知,|AP|=2a2|k1|1+k121+a2k12,|AQ|=2a2|k2|1+k221+a2k22,
故2a2|k1|1+k121+a2k12=2a2|k2|1+k221+a2k22,
所以(k12-k22)[1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22]=0.
由于k1≠k2,k1,k2>0得1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0,
因此1k12+11k22+1=1+a2(a2-2),①
因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>2.
因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1 由e=ca=a2-1a得,所求离心率的取值范围为0 评析　本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查答案几何的基本思想方法和综合解题能力.