专题05 一元二次方程（一）-2022年初高中数学无忧衔接课程

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专题05 一元二次方程（一）一、知识点精讲（一）一元二次方程根的判别式我们知道，对于一元二次方程，用配方法可以将其变形为      ．            ①因为，所以，＞0．于是（1）当时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根        ；（3）当时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程的根的情况可以由来判定，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 二、典例精析【典例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数.(1) (2) (3) 【答案】见解析【解析】 (1) ∴该方程有两个不相等的实根。(2) ∴该方程有两个相等的实根。(3) ，∴该方程没有实根。【典例2】用求根公式求解下列方程的根。(1) (2) 【答案】见解析【解析】(1) (2) 【典例3】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围。(1)方程有两个不相等的实根(2) 方程有两个相等的实根(3) 方程有实根(4) 方程无实根【答案】见解析【解析】(1)方程有两个不相等的实根(2) 方程有两个相等的实根(3) 方程有实根(4) 方程无实根【典例4】已知方程，有实数根，求函数的取值范围。【答案】见解析【解析】∵方程有实数根，∴，∴，∵对称轴为，∴当时，【典例5】已知方程有两个相等的实数根且方程有两个不相等的实数根，化简【答案】见解析【解析】∵方程有两个相等的实数根，∴，又∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴ （二）一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程有两个实数根，，则有   ；      ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：  如果的两根分别是，那么，．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程，若其两根为，由韦达定理可知，，即， 所以，方程可化为由于是一元二次方程的两根，所以也是一元二次方程的两根．因此有以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是．特别说明：利用根与系数求值需要熟练掌握以下等式的变形（★★★★★）①②③④⑤⑥【典例6】若是方程的两根，试求下列各式的值。①                                  ②③                             ④【答案】见解析【解析】∵是方程的两根，∴，∴①                ②③           ④【典例7】已知方程，根据下列条件，分别求出的范围。①两根都大于0，             ②两根都小于0，③一根大于0，另一根小于0.【答案】见解析【解析】设方程的两根分别为，则，，①两根都大于0，            ②两根都小于0，③一根大于0，另一根小于0. (三) 对点精练1.一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是____________【答案】见解析【解析】∵一元二次方程有两个不相等的实数根2.若是方程的两根，则________________【答案】见解析【解析】∵是方程的两根，∴，，∴ 3.如果方程的两根相等，则之间的关系是____________【答案】见解析【解析】∵方程的两根相等，∴4.若一个直角三角形的两条直角边的长是方程的两根，则这个直角三角形的斜边长为_________________.【答案】见解析【解析】∵一个直角三角形的两条直角边的长是方程的两根，5. 已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围。(1)方程有两个不相等的实根(2)方程有两个相等的实根(3)方程有实根(4)方程无实根【答案】见解析【解析】(1)方程有两个不相等的实根(2) 方程有两个相等的实根(3) 方程有实根(4) 方程无实根6.求证：方程有两个不相等的实根.【答案】见解析【解析】∴方程有两个不相等的实根.7. 求证：无论取怎样的实数，的值不可能等于10.【答案】见解析【解析】，∴方程无实根，即无论取怎样的实数，的值不可能等于10.8. 若是方程的两根，试求下列各式的值。 ①                                  ②③                             ④【答案】见解析【解析】∵是方程的两根，∴，∴①              ②③          ④9. (1)如果是方程的一个根，求该方程的另一个根及的值.(2)如果是方程的一个根，求该方程的另一个根及的值.【答案】见解析【解析】（1）设方程的两根分别为，，由得，又（2）设方程的两根分别为，，由，又10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根.（1）求的取值范围（2）是否存在实数，使得方程的两实数根互为相反数，若存在，求出的值，若不存在，说明理由？【答案】见解析【解析】（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实根，∴（2）若存在实数，使得方程的两实数根互为相反数，则，又∵，∴这样的不存在。11. 已知：关于的一元二次方程（1）求证：无论取怎样的实数，方程总有两个不相等的实根。（2）若方程的两根为，且，求的值. 【答案】见解析【解析】（1）,∴无论取怎样的实数，方程总有两个不相等的实根。(2) 方程的两根为,,,又∵