2021年安徽省黄山市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）

这是一份2021年安徽省黄山市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A＝{x∈Z|(3−x)(x−7)≥0}，则集合A中元素个数为（ ）
A.3B.4C.5D.6

2. 复数2+2i−||＝（ ）
A.0B.2C.−2iD.2i

3. 瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式eix＝csx+isinx（i为虚数单位）”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4. 从集合{1, 2, 4}中随机抽取一个数a，从集合{2, 4, 5}中随机抽取一个数b，则向量＝(a, b)与向量垂直的概率为（ ）
A.B.C.D.

5. 设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi, yi)(i＝1, 2, 3,…,n)，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y​=0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A.y与x具有正线性相关关系
B.回归直线过样本的中心点(x,y)
C.若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D.若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg

6. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为（ ）
A.f(x)=2sin(x+π3)B.f(x)=2sin(2x+π6)
C.f(x)=2sin(2x−π6)D.f(x)=2sin(4x−π6)

7. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x，则f(lg827)的值为（ ）
A.B.C.−3D.3

8. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上一点，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为E，若∠EPF＝60∘，△PEF的面积为，则p＝（ ）
A.2B.4C.D.8

9. 执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（ ）

A.4B.5C.6D.7

10. 若存在等比数列{an}，使得a1(a2+a3)＝6a1−9，则公比q的最小值为（ ）
A.B.C.D.

11. 已知F1、F2分别是双曲线C：＝1(a>0, b>0)的左、右焦点，P为y轴上一点，Q为左支上一点，若（+）•＝0，且△PF2Q周长最小值为实轴长的4倍，则双曲线C的离心率为（ ）
A.B.C.2D.

12. 已知三棱锥P−ABC的底面是正三角形，PA＝a，点A在侧面PBC内的射影H是△PBC的垂心，当三棱锥P−ABC体积最大值时，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为（ ）
A.B.3πa2C.D.12a2
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）

设x，y满足约束条件x+y−2≤0x−y+2≥0y+3≥0，则z=2x+y的最小值是________．

已知||＝3，||＝4，且•＝0，•＝0，则||的最大值为________．

已知函数f(x)＝x2+2，g(x)＝lnx，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线与曲线y＝f(x)切于点(x1, y1)，则x12−ln(2x1)＝________．

在数列{an}中，，其前n项和为Sn，用符号[x]表示不超过x的最大整数．当[S1]+[S2]+...+[Sn]＝42时，正整数n为________．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）

2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如图所示：

(1)求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)小邱是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：
①根据数据求m关于n的线性回归方程；
②若|m−x|≥6（x是(1)中的平均值），则当天被称为“有效运动日”.估计小邱“宅”家第8天是否是“有效运动日”？
参考数据：i=17mi−mni−n=111.

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝csinB．
（1）求角B的大小；

（2）若BD为AC边上的高，若，求BD的最大值．

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB // DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

（1）证明：BE // 平面PAD；

（2）求直线BE与平面PAC所成角的大小．

已知函数，g(x)＝xlnx．
（1）当m＝0时，求f(x)的最小值；

（2）函数h(x)＝f(x)+mg(x)，当m>0时，证明：函数h(x)在（，e)上有两个零点．

已知椭圆的离心率为e，若椭圆的长轴长等于圆M:x2+y2−2x−15＝0的半径，且a是2e和b2的等差中项，A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点，椭圆的右准线与x轴的交点为P，直线PB交椭圆C于另一点E．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）试探求直线AE是否能过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标与参数方程]

在直角坐标系xOy中，已知点M(2, 0)，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ＝θ0(ρ>0)，点Q是C1与C2的公共点．
（1）当时，求直线MQ的极坐标方程；

（2）当时，记直线MQ与曲线C1的另一个公共点为P，求|MP|⋅|MQ|的值．
[选修4-5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|x−|+|2x+1|，记f(x)最小值为k．
（1）求k的值；

（2）若a，b，c为正数，且（）​2+（）​2+（）​2＝1．求证：≥．
参考答案与试题解析
2021年安徽省黄山市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题.）
1.
【答案】
C
【考点】
集合中元素个数的最值
元素与集合关系的判断
【解析】
列举法解出A集合可得答案．
【解答】
已知集合A＝{x∈Z|(3−x)(x−7)≥0}＝{3, 4, 5, 6, 7}，
则集合A中元素个数为5个，
2.
【答案】
D
【考点】
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
B
【考点】
欧拉公式的应用
【解析】
利用欧拉公式eix＝csx+isinx，化简e3i的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可．
【解答】
因为欧拉公式eix＝csx+isinx（i为虚数单位），
所以e3i＝cs3+isin3，因为3∈(π2, π)，cs3<0，sin3>0，
所以e3i表示的复数在复平面中位于第二象限．
4.
【答案】
B
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
古典概型及其概率计算公式
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；
由线性回归方程必过样本中心点(x,y)，因此B正确；
由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；
当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D错误．
6.
【答案】
B
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由函数的最值求出A，由周期求出ω，由图象经过定点(π6, 0)，结合范围|φ|<π2，求出φ的值，从而求得函数的解析式．
【解答】
解：由图象可知，A=2，34T=11π12−π6，则T=π．
又由于ω=2πT，则ω=2，故f(x)=2sin(2x+φ)．
由题中图象可知，f(π6)=2sin(2×π6+φ)=2，则π3+φ=kπ+π2，k∈z，
即φ=kπ+π6，k∈z．
又因为|φ|<π2，则φ=π6，
所以函数解析式为y=2sin(2x+π6)．
故选：B．
7.
【答案】
A
【考点】
求函数的值
函数的求值
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
A
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
先由题设得到：(q+q2)a12−6a1+9＝0，再根据其有实根求得q的取值范围，即可得到正确答案．
【解答】
由题设可得：a12(q+q2)＝6a1−9，即(q+q2)a12−6a1+9＝0，
①当q＝−1时，a1＝；
②当q≠−1且q≠0时，△＝36−36(q2+q)≥0，解得：≤q<−1或−1综上，≤q<0或0∴ q的最小值为，
11.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
B
【考点】
球的表面积和体积
柱体、锥体、台体的体积计算
球内接多面体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）
【答案】
−13
【考点】
简单线性规划
【解析】
画出约束条件表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，从而求出目标函数的最小值．
【解答】
画出约束条件x+y−2≤0x−y+2≥0y+3≥0表示的平面区域，如图阴影所示：
目标函数z=2x+y可化为y=−2x+z，
平移目标函数知，当目标函数过点A时，直线y=−2x+z在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，
由y+3＝0x−y+2＝0，求得A(−5, −3)，所以z的最小值为zmin=2×(−5)+(−3)=−13．
【答案】
5
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
3
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
8
【考点】
数列的求和
【解析】
直接利用数列的通项公式的变换，裂项相消法的应用和数列的取整问题的应用求出结果．
【解答】
数列{an}中，＝，
所以＝，
所以[S1]，＝1，[S2]＝2，
当n≥3时，[Sn]＝n+1，
所以[S1]+[S2]+...+[Sn]＝42，
即1+2+4+...+(n+1)＝42，
所以，
解得n＝8．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）
【答案】
解：(1)因为(0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003)×10=1，
所以a=0.03，
x=5×0.005×10+15×0.012×10+
25×0.03×10+35×0.035×10+
45×0.015×10+55×0.003×10=30.2(分钟).
(2)①由数据可得n=1+2+3+4+5+6+77=4，
m=12+15+12+18+25+31+347=21，
i=17mi−mni−n=111，i=1nni−n2=28，
所以b=11128，
所以a=m−bn=367，
所以m关于n的线性回归方程m=11128n+367.
②当n=8时，m=11128×8+367≈36.86.
因为|36.86−30.2|>6，
所以估计小邱“宅”家第8天是“有效运动日”．
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
求解线性回归方程
【解析】


【解答】
解：(1)因为(0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003)×10=1，
所以a=0.03，
x=5×0.005×10+15×0.012×10+
25×0.03×10+35×0.035×10+
45×0.015×10+55×0.003×10=30.2(分钟).
(2)①由数据可得n=1+2+3+4+5+6+77=4，
m=12+15+12+18+25+31+347=21，
i=17mi−mni−n=111，i=1nni−n2=28，
所以b=11128，
所以a=m−bn=367，
所以m关于n的线性回归方程m=11128n+367.
②当n=8时，m=11128×8+367≈36.86.
因为|36.86−30.2|>6，
所以估计小邱“宅”家第8天是“有效运动日”．
【答案】
因为，
由正弦定理，得，
由sinA＝sin(B+C)＝sinBcsC+csBsinC，得，
因为0所以sinC≠0，
所以，
所以，
又0得．
因为，
所以，
由余弦定理及，得，
由基本不等式，得12＝a2+c2+ac≥7ac+ac＝3ac，
即ac≤4（当且仅当a＝c＝5时取等号），
所以，故当a＝c＝2时．
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：取PD中点G，连结AG，EG，
∵ E是PC的中点，∴ EG // CD，且EG=12CD，
∴ EG // AB，且EG=AB，
∴ 四边形ABEG是平行四边形，
∴ BE // AG，
∵ BE⊄平面PAD，AG⊂平面PAG，
∴ BE // 平面PAD．
在平面ABCD中，作BH⊥AC，交AC于点H，连接EH．
∵ PA⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴ BH⊥PA，
又∵ BH⊥AC，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，∴ BH⊥平面PAC，
∴ ∠BEH为直线BE与平面PAC所成的角．
在△PAD中，AG=12PD=2，
∴ BE=AG=2，
又∵ B点到直线AC的距离是D点到直线AC距离的12．
∴ BH=22，∴ sin∠BEH=12，
∴ 直线BE与平面PAC所成的角为π6．
【考点】
直线与平面平行
直线与平面所成的角
【解析】
（1）取PD中点G，连结AG，EG，证明四边形ABEG是平行四边形，推出BE // AG，即可证明BE // 平面PAD．
（2）作BH⊥AC，交AC于点H，连接EH．说明BH⊥PA，证明BH⊥平面PAC，说明∠BEH为直线BE与平面PAC所成的角．然后求解直线BE与平面PAC所成的角．
【解答】
证明：取PD中点G，连结AG，EG，
∵ E是PC的中点，∴ EG // CD，且EG=12CD，
∴ EG // AB，且EG=AB，
∴ 四边形ABEG是平行四边形，
∴ BE // AG，
∵ BE⊄平面PAD，AG⊂平面PAG，
∴ BE // 平面PAD．
在平面ABCD中，作BH⊥AC，交AC于点H，连接EH．
∵ PA⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴ BH⊥PA，
又∵ BH⊥AC，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，∴ BH⊥平面PAC，
∴ ∠BEH为直线BE与平面PAC所成的角．
在△PAD中，AG=12PD=2，
∴ BE=AG=2，
又∵ B点到直线AC的距离是D点到直线AC距离的12．
∴ BH=22，∴ sin∠BEH=12，
∴ 直线BE与平面PAC所成的角为π6．
【答案】
当，x∈(8，，
当x>1时，f′(x)>0，f′(x)<4
可知f(x)在(0, 1)上单调递减，+∞)上单调递增，
所以．
证明：，，
因为m>0，，所以h′(x)在(8，
又因为h′(1)＝0，所以当0所以h(x)的最小值为，
因为，所以h(x)在​1；
因为 ，知h(x)在(12，
所以h(x)在有两个零点．
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由2e，a，b2成等差数列得3a＝2e+b2，
由题意得圆M的半径为8，所以a＝2，b7＝a2−c2＝4−c2，
所以4＝4+c−c2，得c＝1，b4＝3，所以椭圆C的方程为．
设B(x1, y1)，E(x5, y2)，A(x1, −y6)，
∵ ，
∴ P(3, 0)，
由题意知BP直线的斜率必存在，设BP直线的方程为y＝k(x−4)，
代入椭圆方程得(7+4k2)x7−32k2x+64k2−12＝7，
由△>0得．
由韦达定理得，
由题意得AE直线的斜率必存在，设AE直线的方程为，
由对称性易知AE直线过的定点必在x轴上，
则当y＝0时，＝，
即在的条件下，0)．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标与参数方程]
【答案】
由曲线C1的参数方程为（t为参数），
消去参数t，可得曲线C1的普通方程是x4+y2＝1，
当时，曲线C2的直角坐标方程为y＝(x>0)，
代入x2+y2＝1，解得点Q的坐标为，
直线MQ的直角坐标方程为，整理得，
∴ 直线MQ的极坐标方程为；
当时，曲线C2的直角坐标方程为y＝-(x<0)，
代入x2+y7＝1，解得点Q的坐标为，
直线MQ的参数方程为（t为参数），
代入x7+y2＝1并化简，得，
设它的两根为t1，t3，则|MP|*|MQ|＝|t1t2|＝4．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
[选修4-5：不等式选讲]
【答案】
∵
＝
当且仅当，即取等号，
∴ f(x)最小值为k＝2．
证明：由（1）可得a2+b2+c3＝4，
要证，
只需证，
∵ 2(b2+c4)≥(b+c)2，∴ ，
同理可得；，
∴ ，
∴ ，
即原不等式成立．
【考点】
不等式的证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答序号n
1
2
3
4
5
6
7
锻炼时长m（单位：分钟）
12
15
12
18
25
31
34