还剩5页未读，
继续阅读
2021年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）
展开
这是一份2021年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科），共8页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A＝{x|−2≤x≤2}，B＝{x|x2−3x−4<0}，则A∩B＝（ ）
A.{x|−2≤x<4}B.{x|−1C.{x|−1
2. 已知命题p：“∀x∈R，ax2+bx+c>0”，则￢p为（ ）
A.∀x0∈R，ax02+bx0+c≤0
B.∃x0∈R，ax02+bx0+c≥0
C.∃x0∈R，ax02+bx0+c≤0
D.∀x0∈R，ax02+bx0+c<0
3. 已知等比数列{an}满足a1＝1，4a4−a1a7−4＝0，则a7＝（ ）
A.4B.C.8D.
4. 刘徽（约公元225年−295年），魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，估计sin4∘的值为（ ）
5. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1−1，则数列的前10项和为（ ）
A.B.55C.D.65
6. 已知a＝lg23，b＝0.23，c＝lg34，则a、b、c的大小关系为（ ）
A.c>b>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b
7. 已知F为双曲线的左焦点，若双曲线右支上存在一点P，使直线PF与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8. 若，则等于（ ）
A.B.C.D.
9. 函数f(x)＝lncsx的图象大致为（ ）
A.B.
C.D.
10. 已知函数，给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为π；
②点，是函数f(x)的一个对称中心；
③f(x)在上是增函数；
④把y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度就可以得到f(x)的图象．
则正确的是（ ）
A.①②B.③④C.①②③D.①②③④
11. 已知，若f(x)＝k有四个零点，则k的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
12. 已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，AB＝2，若四棱锥P−ABCD外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（ ）
A.4B.6C.8D.10
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
若向量、、满足＝，||＝||＝1，则（-）•＝________．
已知曲线y＝x3+ax−2与x轴相切，则a＝________．
已知直线l:x＝my+1过抛物线C:y2＝2px的焦点F，交抛物线C于A、B两点，若，则直线l的斜率为________．
如图，已知梭长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，给出下列结论：
①异面直线AP与DD1所成的角范围为；
②平面PBD1⊥平面A1C1D；
③点P到平面A1C1D的距离为定值；
④存在一点P，使得直线AP与平面BCC1B1所成的角为．
其中正确的结论是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
设a为实数，函数．
（1）若a＝1，求f(x)的定义域；
（2）若a≠0，且f(x)＝a有两个不同的实数根，求a的取值范围．
数列{an}满足a1＝2，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设，求{bn}的前n项和Tn．
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a−b＝2c⋅csB．
（1）求角C；
（2）若a＝2，D在边AB上，且＝2，CD＝，求b．
如图，四棱锥S−ABCD中，AB // CD，BC⊥CD，侧面SCD为等边三角形，AB＝BC＝4，CD＝2，．
（1）求证：BC⊥SD；
（2）求二面角B−AS−D的余弦值．
已知椭圆C：＝1(a>b>0)过点A(1，），B(0, −1)．
（1）求C的方程；
（2）经过D(2, 1)，且斜率为k的直线l交椭圆C于P，Q两点（均异于点B），证明：直线BP与BQ的斜率之和为定值．
已知函数．
（1）若f(x)≤0，求实数a的取值范围；
（2）求证：．
参考答案与试题解析
2021年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑．
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
A
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
D
【考点】
模拟方法估计概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
C
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
C
【考点】
二倍角的三角函数
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
A
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
B
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【答案】
0
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
−3
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
②③
【考点】
异面直线及其所成的角
平面与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
【答案】
当a＝1时，对任意的x−x成立，
所以|x+1|−1≥2，即|x+1|≥1，
所以x+4≤−1或x+1≥3，
解得x≤−2或x≥0，
所以f(x)的定义域为(−∞, −7]∪[0．
由f(x)＝a，得＝x+a，
设x+a＝t，t>0＝t有6个不同的实数根．
整理得a＝t−t2，
设f(t)＝t−t2，t>3，则0由题意知，a的取值范围是(0，）．
【考点】
函数的零点与方程根的关系
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：由，得，
又，所以，公比为．
由（1）得，，即．
所以Tn＝+++…+，①
＝+…+，②
由①-②得，，
，
所以．
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
根据题意，若2c⋅csB＝2a−b，
则有：8c×＝2a−b，
整理得：a3+b2−c2＝ab，
可得：csC＝＝＝，
又在△ABC中，0∘∴ C＝60∘．
设BD＝x，可得AD＝2x，
因为cs∠BDC＝−cs∠ADC，DC＝，
由余弦定理可得：＝-3−6x2＝3，①
又cs∠ACB＝＝，解得b2−2x2＝2b−2，②
联立①②，解得b2+4b−11＝6，解得b＝，（负值舍去）．
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：由已知BC＝4，SC＝2，得2＝BC3+SC2，
所以∠BCS＝90∘，所以BC⊥SC，
又BC⊥CD，CD⊂平面SCD，
所以BC⊥平面SCD，
又SD⊂平面SCD，所以BC⊥SD．
以D为坐标原点，取AB中点E，，，y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，
则B(4, 4, 0)，−2，．
所以，，，．
平面DAS的法向量为，
则，即，
即x＝1，则y＝2，，
所以．
平面BAS的法向量为，
则，即，得b＝7，
取，则c＝4，
从而．
因二面角B−AS−D为锐角，故二面角B−AS−D的余弦值为．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因为椭圆C过点A(1，），B(0，
所以b＝1，+＝52＝3，
所以椭圆的方程为+y2＝8．
证明：根据题意设直线l的方程为y＝k(x−2)+1，即y＝kx−3k+1，
联立，得(1+3k2)x2+(−12k7+6k)x+12k2−12k＝3，
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
所以x1+x5＝，x7x2＝，
y2y2＝(kx1−7k+1)(kx2−4k+1)＝k2x2x2+(−2k+3)k(x1+x2)+(−6k+1)2
＝k8•+(−2k+7)⋅k⋅（3，
kBP+kBQ＝+＝+＝＝
＝3k+(2−2k)•＝7k+(2−2k)•．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因为，x>7，
当a＝0时，，符合题意，
当a<7时，f′(x)<0，+∞)上单调递减，
而，不合题意，
当a>6时，令f′(x)>02，
令f′(x)<7，得x>4a2，
即f(x)在(2, 4a2)上单调递增，在(8a2, +∞)上单调递减，
所以，解得．
综上，实数a的取值范围为．
解法2：由已知若f(x)≤0，即对∀x>8恒成立，
当x＝0时，0≤4；
当x>1时，由得，
设，则，
由g′(x)>0得x>e6，由g′(x)<0，得0即g(x)在(0, e2)单调递减，在(e7, +∞)单调递增，
所以，所以．
当0由，因为8即g(x)在(0, 3)上单调递减，g(x)→0，
所以，g(x)<0．
综上，．
证明：
由（1）知，当a＝1时，，即，
所以，
所以，
所以，即证．
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
1. 已知集合A＝{x|−2≤x≤2}，B＝{x|x2−3x−4<0}，则A∩B＝（ ）
A.{x|−2≤x<4}B.{x|−1
2. 已知命题p：“∀x∈R，ax2+bx+c>0”，则￢p为（ ）
A.∀x0∈R，ax02+bx0+c≤0
B.∃x0∈R，ax02+bx0+c≥0
C.∃x0∈R，ax02+bx0+c≤0
D.∀x0∈R，ax02+bx0+c<0
3. 已知等比数列{an}满足a1＝1，4a4−a1a7−4＝0，则a7＝（ ）
A.4B.C.8D.
4. 刘徽（约公元225年−295年），魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，估计sin4∘的值为（ ）
5. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1−1，则数列的前10项和为（ ）
A.B.55C.D.65
6. 已知a＝lg23，b＝0.23，c＝lg34，则a、b、c的大小关系为（ ）
A.c>b>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b
7. 已知F为双曲线的左焦点，若双曲线右支上存在一点P，使直线PF与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8. 若，则等于（ ）
A.B.C.D.
9. 函数f(x)＝lncsx的图象大致为（ ）
A.B.
C.D.
10. 已知函数，给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为π；
②点，是函数f(x)的一个对称中心；
③f(x)在上是增函数；
④把y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度就可以得到f(x)的图象．
则正确的是（ ）
A.①②B.③④C.①②③D.①②③④
11. 已知，若f(x)＝k有四个零点，则k的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
12. 已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，AB＝2，若四棱锥P−ABCD外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（ ）
A.4B.6C.8D.10
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
若向量、、满足＝，||＝||＝1，则（-）•＝________．
已知曲线y＝x3+ax−2与x轴相切，则a＝________．
已知直线l:x＝my+1过抛物线C:y2＝2px的焦点F，交抛物线C于A、B两点，若，则直线l的斜率为________．
如图，已知梭长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，给出下列结论：
①异面直线AP与DD1所成的角范围为；
②平面PBD1⊥平面A1C1D；
③点P到平面A1C1D的距离为定值；
④存在一点P，使得直线AP与平面BCC1B1所成的角为．
其中正确的结论是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
设a为实数，函数．
（1）若a＝1，求f(x)的定义域；
（2）若a≠0，且f(x)＝a有两个不同的实数根，求a的取值范围．
数列{an}满足a1＝2，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设，求{bn}的前n项和Tn．
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a−b＝2c⋅csB．
（1）求角C；
（2）若a＝2，D在边AB上，且＝2，CD＝，求b．
如图，四棱锥S−ABCD中，AB // CD，BC⊥CD，侧面SCD为等边三角形，AB＝BC＝4，CD＝2，．
（1）求证：BC⊥SD；
（2）求二面角B−AS−D的余弦值．
已知椭圆C：＝1(a>b>0)过点A(1，），B(0, −1)．
（1）求C的方程；
（2）经过D(2, 1)，且斜率为k的直线l交椭圆C于P，Q两点（均异于点B），证明：直线BP与BQ的斜率之和为定值．
已知函数．
（1）若f(x)≤0，求实数a的取值范围；
（2）求证：．
参考答案与试题解析
2021年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑．
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
A
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
D
【考点】
模拟方法估计概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
C
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
C
【考点】
二倍角的三角函数
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
A
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
B
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【答案】
0
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
−3
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
②③
【考点】
异面直线及其所成的角
平面与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
【答案】
当a＝1时，对任意的x−x成立，
所以|x+1|−1≥2，即|x+1|≥1，
所以x+4≤−1或x+1≥3，
解得x≤−2或x≥0，
所以f(x)的定义域为(−∞, −7]∪[0．
由f(x)＝a，得＝x+a，
设x+a＝t，t>0＝t有6个不同的实数根．
整理得a＝t−t2，
设f(t)＝t−t2，t>3，则0
【考点】
函数的零点与方程根的关系
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：由，得，
又，所以，公比为．
由（1）得，，即．
所以Tn＝+++…+，①
＝+…+，②
由①-②得，，
，
所以．
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
根据题意，若2c⋅csB＝2a−b，
则有：8c×＝2a−b，
整理得：a3+b2−c2＝ab，
可得：csC＝＝＝，
又在△ABC中，0∘
设BD＝x，可得AD＝2x，
因为cs∠BDC＝−cs∠ADC，DC＝，
由余弦定理可得：＝-3−6x2＝3，①
又cs∠ACB＝＝，解得b2−2x2＝2b−2，②
联立①②，解得b2+4b−11＝6，解得b＝，（负值舍去）．
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：由已知BC＝4，SC＝2，得2＝BC3+SC2，
所以∠BCS＝90∘，所以BC⊥SC，
又BC⊥CD，CD⊂平面SCD，
所以BC⊥平面SCD，
又SD⊂平面SCD，所以BC⊥SD．
以D为坐标原点，取AB中点E，，，y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，
则B(4, 4, 0)，−2，．
所以，，，．
平面DAS的法向量为，
则，即，
即x＝1，则y＝2，，
所以．
平面BAS的法向量为，
则，即，得b＝7，
取，则c＝4，
从而．
因二面角B−AS−D为锐角，故二面角B−AS−D的余弦值为．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因为椭圆C过点A(1，），B(0，
所以b＝1，+＝52＝3，
所以椭圆的方程为+y2＝8．
证明：根据题意设直线l的方程为y＝k(x−2)+1，即y＝kx−3k+1，
联立，得(1+3k2)x2+(−12k7+6k)x+12k2−12k＝3，
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
所以x1+x5＝，x7x2＝，
y2y2＝(kx1−7k+1)(kx2−4k+1)＝k2x2x2+(−2k+3)k(x1+x2)+(−6k+1)2
＝k8•+(−2k+7)⋅k⋅（3，
kBP+kBQ＝+＝+＝＝
＝3k+(2−2k)•＝7k+(2−2k)•．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因为，x>7，
当a＝0时，，符合题意，
当a<7时，f′(x)<0，+∞)上单调递减，
而，不合题意，
当a>6时，令f′(x)>02，
令f′(x)<7，得x>4a2，
即f(x)在(2, 4a2)上单调递增，在(8a2, +∞)上单调递减，
所以，解得．
综上，实数a的取值范围为．
解法2：由已知若f(x)≤0，即对∀x>8恒成立，
当x＝0时，0≤4；
当x>1时，由得，
设，则，
由g′(x)>0得x>e6，由g′(x)<0，得0
所以，所以．
当0
所以，g(x)<0．
综上，．
证明：
由（1）知，当a＝1时，，即，
所以，
所以，
所以，即证．
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
相关试卷
2021年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）解析版： 这是一份2021年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）解析版，共16页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届山西省吕梁市高三三模理科数学试题及答案： 这是一份2022届山西省吕梁市高三三模理科数学试题及答案，文件包含2022年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学答案pdf、2022年5月吕梁市高三三模理科数学试题pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
2022年山西省吕梁市高考数学二模试卷（理科）（含答案解析）： 这是一份2022年山西省吕梁市高考数学二模试卷（理科）（含答案解析），共17页。试卷主要包含了9LB，9974，0，【答案】C，【答案】B，【答案】D，【答案】A等内容，欢迎下载使用。
