2021年上海市长宁区高考数学一模试卷

这是一份2021年上海市长宁区高考数学一模试卷，共8页。
1. 不等式x−2x+10, a≠1)图象经过点(8, 32)，则f(−12)的值为________12 ．

7. 若直线x−1y+21k=0的法向量与直线x+y−1＝0的方向向量垂直，则实数k＝________．

8. 设集合M＝{x|x2≤1}，N＝{b}，若M∪N＝M，则实数b的取值范围为________．

9. 设F为双曲线Γ：x2−y2b2=1(b>0)的右焦点，O为坐标原点，P、Q是以OF为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点．若|PQ|＝|OF|，则b＝________．

10. 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，点D在边BC上．若AB→⋅AD→=1，AD→⋅AC→=53，则AB→⋅AC→的值为________．

11. 设O为坐标原点，从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}中任取两个不同的元素x、y，组成A、B两点的坐标(x, y)、(y, x)，则∠AOB＝2arctan13的概率为________．

12. 设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn．若数列{an}满足：存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，则990S1+Snan的最小值为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

设复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（ ）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件

对任意向量a→、b→，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A.(a→+b→)2＝|a→+b→|2
B.(a→+b→)(a→−b→)=a→2−b→2
C.|a→⋅b→|≤|a→|⋅|b→|
D.|a→−b→|≤||a→|−|b→||

设m、n为两条直线，α、β为两个平面，则下列命题中假命题是（ ）
A.若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
B.若m // n，m⊥α，n // β，则α⊥β
C.若m⊥n，m // α，n // β，则α // β
D.若m // n，m⊥α，n⊥β，则α // β

设f(x)＝|x−b1|+|kx−b2|−|2x−b3|，其中常数k>0，b1，b2，b3∈R，若函数y＝f(x)图象如图所示，则数组(b1, b2, b3)的一组值可以是（ ）

A.(3, −1, 1)B.(1, −2, −1)C.(−1, 2, 2)D.(1, −3, 1)
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为23，底面半径为2．

1求该圆锥的侧面积；

2设OA，OB为该圆锥的底面半径，且∠AOB=90∘，M为线段AB的中点，求直线PM与直线OB所成的角的正切值.

设抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，直线l:x−my−n＝0经过F且与Γ交于A、B两点．
（1）若|AB|＝8，求m的值；

（2）设O为坐标原点，直线AO与Γ的准线交于点C，求证：直线BC平行于x轴．

某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD沿边界围成一个封闭的留观区．经测量，边界AB与AD的长度都是20米，∠BAD＝60∘，∠BCD＝120∘．

（1）若∠ADC＝105∘，求BC的长（结果精确到米）；

（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）．

设f(x)＝x3+ax2−2x(x∈R)，其中常数a∈R．
（1）判断函数y＝f(x)的奇偶性，并说明理由；

（2）若不等式f(x)>32x3在区间[12, 1]上有解，求实数a的取值范围；

（3）已知：若对函数y＝h(x)定义域内的任意x，都有h(x)+h(2m−x)＝2n，则函数y＝(x)的图象有对称中心(m, n)．利用以上结论探究：对于任意的实数a，函数y＝f(x)是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用a表示）；若不是，证明你的结论．

若对于数列{an}中的任意两项可ai，aj(i>j)，在{an}中都存在一项am，使得am=ai2aj，则称数列{an}为“X数列”若对于数列{an}中的任意一项an(n≥3)，在{an}中都存在两项ak，al(k>l)，使得an=ak2al，则称数列{an}为“Y数列”．
（1）若数列{an}为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{an}是否为“X数列”，并说明理由；

（2）若数列{an}的前n项和Sn＝2n−1(n∈N*)，求证：数列{an}为“Y数列”；

（3）若数列{an}为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：a1，a2，a3，a4成等比数列．
参考答案与试题解析
2021年上海市长宁区高考数学一模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.
【答案】
{x|−1l时，akal>1，
若k>l，an=ak2al=akal×ak>ak>al，则n>k>l①，
∵ 数列{an}为“X数列”，故存在i>j，且a3=ai2aj，
由①知：3>i>j≥1，故i＝2，j＝1，
即a3=a22a1=a1q2，即a1，a2，a3成等比数列，
∵ 数列{an}是“X数列”，存在正整数k，l(k>l)，使得a4=ak2al，
由①得：4>k>l，故3≥k>l，从而a4=ak2al=a1q2k−l−1，记n4＝2k−l−1∈N*，
∵ 数列{an}是“Y数列”，存在正整数m，使得am=a32a2=q×a3＝a1q3，
由q>1，得am>a3，
若a4＝a1qn4ak>al，则n>k>l①，
∵ 数列{an}为“X数列”，故存在i>j，且a3=ai2aj，
由①知：3>i>j≥1，故i＝2，j＝1，
即a3=a22a1=a1q2，即a1，a2，a3成等比数列，
∵ 数列{an}是“X数列”，存在正整数k，l(k>l)，使得a4=ak2al，
由①得：4>k>l，故3≥k>l，从而a4=ak2al=a1q2k−l−1，记n4＝2k−l−1∈N*，
∵ 数列{an}是“Y数列”，存在正整数m，使得am=a32a2=q×a3＝a1q3，
由q>1，得am>a3，
若a4＝a1qn4