2021年湖南省岳阳市高考数学质检试卷（一）（一模）

这是一份2021年湖南省岳阳市高考数学质检试卷（一）（一模），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={x|1≤x<3}，B={y|y≤m}，且A∩B=⌀，则实数m应满足（ ）
A.m<1B.m≤1C.m≥3D.m>3

2. 已知＝1+i（其中i为虚数单位），则复数|z|＝（ ）
A.iB.−iC.1D.2

3. 函数f(x)=x+ln|x|x的图象大致为（ ）
A.B.
C.D.

4. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列所有项中，中间项的值为（ ）
A.992B.1022C.1007D.1037

5. “华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇．现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）
A.B.C.D.

6. 已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且++2＝，则△AOB的面积是（ ）
A.4B.C.D.2

7. 抛物线y2=4x的焦点为F，点P(x, y)为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则|PA||PF|的最大值是( )
A.2B.2C.233D.32

8. 对于函数f＝(x)，若存在x0，使f(x0)＝−f(−x0)，则点（x0, f(x0)）与点（−x0, −f(x0)）均称为函数f(x)的“先享点”．已知函数f(x)＝，且函数f(x)存在5个“先享点”，则实数a的取值范围为（ ）
A.(0, 6)B.(−∞, 6)C.(3, +∞)D.(6, +∞)
二、多项选择题（本题共4小题，每小题S分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

2020年4月，在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰--复工复产、恢复经济正常运行．某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A.x＝0.384
B.从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为0.178
C.不到80名职工倾向于继续申请休假
D.倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名

设函数f(x)＝cs(x+），则下列结论正确的是（ ）
A.y＝f(x)的一个周期为2π
B.y＝f(x)的图像关于直线x＝π对称
C.y＝f(x+π) 的一个零点为x＝
D.y＝f(x)在（，π)单调递减

以下说法，正确的是（ ）
A.∃x0∈R，使ex0B.∀θ∈R，函数f(x)＝sin(2x+θ)都不是偶函数
C.a，b∈R，a>b是a|a|>b|b|的充要条件
D.△ABC中，“sinA+sinB＝csA+csB”是“C＝”的充要条件

将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A−BD−C，点P为线段AD上的一动点，下列结论正确的是（ ）
A.异面直线AC与BD所成的角为60∘
B.△ACD是等边三角形
C.△BCP面积的最小值为
D.四面体ABCD的外接球的表面积为8π
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

在(x+2x2)5的展开式中，x2的系数是________．

已知点C(x, y)在线段AB:x+4y＝1(x, y∈R+)上运动，则xy的最大值是________．

设椭圆+＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为________．

已知函数f(x)对x∈R均有f(x)+2f(−x)=mx−6，若f(x)≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是________．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinA+sinC＝2sinBcsC．
（1）求B的大小；

（2）若a＝3，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积．

已知数列{an}满足a1=1，且点(an, an+1−2n)在函数f(x)=3x的图象上．
（1）求证：{an2n+1}是等比数列，并求{an}的通项公式：

（2）若bn=an+1an，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn>3n+23．

如图所示的几何体中，BE⊥BC，EA⊥AC，BC=2，AC=22，∠ACB=45∘，AD // BC，BC=2AD．

(1)求证：AE⊥平面ABCD；

(2)若∠ABE=60∘，点F在EC上，且满足EF=2FC，求二面角F−AD−C的余弦值．

某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B1，B2中的一个．
(1)记事件En：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐A1，A2，A3玩偶；事件Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，B2玩偶；求概率P(E6)及P(F5)；

(2)礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Qn．
①Qn；
②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．

已知双曲线C：-＝1的离心率为，点P(4，）在C上．
（1）求双曲线C的方程；

（2）设过点(1, 0)的直线l与曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得•为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．

已知函数f(x)＝xex−alnx−ax+a−e．
（1）若f(x)为单调函数，求a的取值范围；

（2）若f(x)仅有一个零点，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2021年湖南省岳阳市高考数学质检试卷（一）（一模）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
A
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
利用交集的性质求解．
【解答】
解：∵ 集合A={x|1≤x<3}，B={y|y≤m}，A∩B=⌀，
∴ m<1，
故选：A．
2.
【答案】
C
【考点】
复数的运算
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
先判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值符号的对应性进行排除即可．
【解答】
又因为f(1)＝1>0，所以C选项错误（1）又因为f(2)=2+ln22>0，所以D选项错误．
故选：A．
4.
【答案】
C
【考点】
数列的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
B
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
设直线PA的倾斜角为θ，设PP垂直于准线于P．由抛物线的性质可得|PP′|=|PF|，则|PA||PF|=|PA||PP′|=1csθ，当直线PA与抛物线相切时，csθ最小，|AA||PF|取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果．
【解答】
解：设直线PA的倾斜角为θ，设PP′垂直于准线于P′，
由抛物线的性质可得|PP′|=|PF|，
∴|PA||PF|=|PA||PP′|=1csθ，
当csθ最小时，|PA||PF|值最大，
∴当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即csθ最小．
由题意可得A−1,0.
设切线PA的方程为：x=my−1，
联立x=my−1，y2=4x， 整理可得y2−4my+4=0，
Δ=16m2−16=0，
可得m=±1，
将m=±1代入y2−4my+4=0，可得y=±2，
∴x=1，即P的横坐标为1，即P的坐标1,±2，
∴|PA|=22+22=22， |PP′|=1−−1=2，
∴|PA||PF|的最大值为：222=2.
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、多项选择题（本题共4小题，每小题S分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
【答案】
A,C
【考点】
频率分布直方图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,B,C
【考点】
余弦函数的图象
余弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
C,D
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
B,C,D
【考点】
异面直线及其所成的角
二面角的平面角及求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
【答案】
10
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
在 (x+2x2)5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出 r的值，即可得到展开式中x2的系数．
【解答】
∵ (x+2x2)5的展开式的通项公式为 Tr+1=C5r x5−r 2r x−2r＝2r C5rx5−3r，
令 5−3r＝2，得r＝1，
∴ x2的系数是 2×C51=10，
【答案】
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
(−∞, −e]
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
根据条件利用解方程组法求出f(x)的解析式，然后由f(x)≥lnx恒成立，可得m≤−2+lnxx恒成立，构造函数g(x)=2+lnxx，求出g(x)的最小值，可进一步求出m的范围．
【解答】
解：∵ 函数f(x)对x∈R均有f(x)+2f(−x)=mx−6①，
∴ 将−x换为x，得f(−x)+2f(x)=−mx−6②，
∴ 由①②，解得f(x)=−mx−2．
∵ f(x)≥lnx恒成立，
∴ m≤−2+lnxx恒成立，
∴ 只需m≤(−2+lnxx)min．
令g(x)=−2+lnxx，
则g′(x)=lnx+1x2，
令g′(x)=0，则x=1e，
∴ g(x)在(0, 1e)上单调递减，在(1e, +∞)上单调递增，
∴ g(x)min=g(1e)=−e，
∴ m≤−e，
∴ m的取值范围为(−∞, −e]．
故答案为：(−∞, −e]．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
因为2sinA+sinC＝2sinBcsC，
所以5sin(B+C)+sinC＝2sinBcsC，可得2sinBcsC+5csBsinC+sinC＝2sinBcsC，
所以2csBsinC+sinC＝7，
因为sinC≠0，
所以2csB+6＝0，可得csB＝-，
因为B∈(0, π)，
所以B＝．
由B＝，可得b7＝a2+c2+ac＝c4+3c+9，①
在△ABC中，取AC的中点D，
因为a＝4，BD＝，
所以在△CBD中，csC＝＝，csC＝＝，
所以2+b2−c2＝4(9+-），②
把①代入②，化简可得c2−6c−10＝0，解得c＝5，
所以c＝6，
所以△ABC的面积S＝acsinB＝＝．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：由点(an, an+1−2n)在函数f(x)=3x的图象上，
可得an+1=2n+3an，
所以an+12n=3an2n+1，即an+12n+1=32⋅an2n+12，
也即an+12n+1+1=32(an2n+1)，
由a1=1，所以a121=1=32，
所以{an2n+1}是首项和公比均为32的等比数列，
则an2n+1=(32)n，
所以an=3n−2n；
证明：bn=an+1an=3n+1−2n+13n−2n=3⋅(32)n−2(32)n−1=3+1(32)n−1>3+(23)n，
所以Sn>3n+23+(23)2+...+(23)n=3n+23(1−2n3n)1−23
=3n+2−2(23)n≥3n+2−43
=3n+23．
【考点】
数列的求和
【解析】
（1）由题意可得an+1=2n+3an，推得an+12n+1+1=32(an2n+1)，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）推得bn=3n+1−2n+13n−2n=3⋅(32)n−2(32)n−1=3+1(32)n−1>3+(23)n，由不等式的性质和等比数列的求和公式、数列的单调性，即可得证．
【解答】
证明：由点(an, an+1−2n)在函数f(x)=3x的图象上，
可得an+1=2n+3an，
所以an+12n=3an2n+1，即an+12n+1=32⋅an2n+12，
也即an+12n+1+1=32(an2n+1)，
由a1=1，所以a121=1=32，
所以{an2n+1}是首项和公比均为32的等比数列，
则an2n+1=(32)n，
所以an=3n−2n；
证明：bn=an+1an=3n+1−2n+13n−2n=3⋅(32)n−2(32)n−1=3+1(32)n−1>3+(23)n，
所以Sn>3n+23+(23)2+...+(23)n=3n+23(1−2n3n)1−23
=3n+2−2(23)n≥3n+2−43
=3n+23．
【答案】
(1)证明：在△ABC中，
因为BC=2，AC=22，∠ACB=45，
则由余弦定理可得：
AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cs45∘=4，
解得AB=2，
所以AC2=AB2+BC2，
所以△ABC是直角三角形，即AB⊥BC．
又BE⊥BC，AB∩BE=B，
所以BC⊥平面ABE．
因为AE⊂平面ABE，
所以BC⊥AE.
因为EA⊥AC，AC∩BC=C，
所以AE⊥平面ABCD．
(2)解：由(1)知，BC⊥平面ABE，
所以平面BEC⊥平面AEB.
在平面ABE中，过点B作Bz⊥BE，
则Bz⊥平面BEC.
如图，以B为原点，BE，BC所在直线分别为x，y轴
建立空间直角坐标系B−xyz，
则B(0,0,0)，C(0,2,0)，E(4,0,0)
A(1,0,3)，D(1,1,3).
因为EF=2FC，
所以F(43,43,0).
易知AD→=(0,1,0)，AF→=(13,43,−3).
设平面ADF的法向量为n→=(x, y, z)，
则AD→⋅n→=0,AF→⋅n→=0,
即y=0,13x+43y−3z=0，
令z=3，则y=0，x=9，
所以n→=(9,0,3)为平面ADF的一个法向量，
由(1)知EA⊥平面ABCD，
所以EA→=(−3,0,3)为平面ABCD的一个法向量．
设二面角F−AD−C的平面角为α，
由图易知α为锐角，
则csα=|EA→⋅n→||EA→|⋅|n→|=2423×221=277，
所以二面角F−AD−C的余弦值为277．
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
（1）证明AB⊥BC．结合BE⊥BC，推出BC⊥平面ABE．得到BC⊥AE，结合EA⊥AC，即可证明AE⊥平面ABCD．
（2）以B为原点，BE，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系B−xyz，求出平面ADF的法向量，平面ABCD的一个法向量．设二面角F−AD−C的平面角为α，利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】
(1)证明：在△ABC中，
因为BC=2，AC=22，∠ACB=45，
则由余弦定理可得：
AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cs45∘=4，
解得AB=2，
所以AC2=AB2+BC2，
所以△ABC是直角三角形，即AB⊥BC．
又BE⊥BC，AB∩BE=B，
所以BC⊥平面ABE．
因为AE⊂平面ABE，
所以BC⊥AE.
因为EA⊥AC，AC∩BC=C，
所以AE⊥平面ABCD．
(2)解：由(1)知，BC⊥平面ABE，
所以平面BEC⊥平面AEB.
在平面ABE中，过点B作Bz⊥BE，
则Bz⊥平面BEC.
如图，以B为原点，BE，BC所在直线分别为x，y轴
建立空间直角坐标系B−xyz，
则B(0,0,0)，C(0,2,0)，E(4,0,0)
A(1,0,3)，D(1,1,3).
因为EF=2FC，
所以F(43,43,0).
易知AD→=(0,1,0)，AF→=(13,43,−3).
设平面ADF的法向量为n→=(x, y, z)，
则AD→⋅n→=0,AF→⋅n→=0,
即y=0,13x+43y−3z=0，
令z=3，则y=0，x=9，
所以n→=(9,0,3)为平面ADF的一个法向量，
由(1)知EA⊥平面ABCD，
所以EA→=(−3,0,3)为平面ABCD的一个法向量．
设二面角F−AD−C的平面角为α，
由图易知α为锐角，
则csα=|EA→⋅n→||EA→|⋅|n→|=2423×221=277，
所以二面角F−AD−C的余弦值为277．
【答案】
解：(1)由题意基本事件共有：36种情况，
其中集齐A1，A2，A3玩偶的个数可以分三类情况，
A1，A2，A3玩偶中，每个均有出现两次，共C62C42C22种；
A1，A2，A3玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共C63C31C11A33种，
A1，A2，A3玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共C31C64A22种；
故PE6=C62C42C22+C63C32C11A33+3C64A2236=2027，
根据题意，先考虑一次性购买n个乙系列盲盒没有集齐B1，B2玩偶的概率，
即P=1+125，所以PF5=1−1+125=1516.
(2)①由题意可知：Q1=15，
当n≥2时，Qn=121−Qn−1+14Qn−1，
则Qn−25=−14Qn−1−25，
所以Qn−25是以−15为首项，−14为公比的等比数列，
所以Qn=−15−14n−1+25.
②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，
所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n趋向无穷大，
所以购买甲系列的概率近似于25 ，
假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则ξ∼B(100,25)，
所以Eξ=100×5=40，
所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
排列、组合及简单计数问题
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意基本事件共有：36种情况，
其中集齐A1，A2，A3玩偶的个数可以分三类情况，
A1，A2，A3玩偶中，每个均有出现两次，共C62C42C22种；
A1，A2，A3玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共C63C31C11A33种，
A1，A2，A3玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共C31C64A22种；
故PE6=C62C42C22+C63C32C11A33+3C64A2236=2027，
根据题意，先考虑一次性购买n个乙系列盲盒没有集齐B1，B2玩偶的概率，
即P=1+125，所以PF5=1−1+125=1516.
(2)①由题意可知：Q1=15，
当n≥2时，Qn=121−Qn−1+14Qn−1，
则Qn−25=−14Qn−1−25，
所以Qn−25是以−15为首项，−14为公比的等比数列，
所以Qn=−15−14n−1+25.
②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，
所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n趋向无穷大，
所以购买甲系列的概率近似于25 ，
假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则ξ∼B(100,25)，
所以Eξ=100×5=40，
所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．
【答案】
由题意，，解得a2＝4，b2＝1．
∴ 双曲线方程为；
设直线l的方程为x＝my+3，设定点Q(t，
联立，得(m5−4)y2+4my−3＝0．
∴ m5−4≠0，且△＝2m2+12(m2−7)>0，解得m2>4且m2≠4．
设M(x6, y1)，N(x2, y3)，
∴ ，，
∴ ＝，
x3x2＝(my1+5)(my2+1)＝m6y1y2+m(y6+y2)+1
＝＝．
∴
＝(x2−t)(x2−t)+y1y4＝x1x2−t(x5+x2)+t2+y8y2
＝＝为常数，
∴ 8t−23＝2，即t＝．
∴ 在x轴上存在定点Q（），使得•．
【考点】
双曲线的离心率
直线与双曲线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
对f(x)求导得f′(x)＝ex(1+x)−a(1+x)x=(1+x)xex−ax(x>0)，
因为f(x)为单调函数，故f′(x)≥0或f’(x)≤0恒成立，
因为x>0，故只需a≥xex或a≤xex对于x>0恒成立，
令u(x)＝xex，则u‘(x)＝(x+1)ex>0对于x>0恒成立，
所以u(x)为增函数，
所以u(x)>u(0)＝0，
由于x→+∞时，u(x)→+∞，故a≥xex不成立，即f(x)不可能为单调递减函数，
当a≤xex恒成立时，a≤0，此时f(x)为单调递增函数，
所以当f(x)为单调函数时，a的取值范围为(−∞, 0]；
因为f(1)＝0，所以1是f(x)的一个零点，
由（1）可知，当a≤0时，f(x)为(0, +∞)上的增函数，所以f(x)仅有一个零点，满足题意，
当a>0时，令f’(x)＝0得xex−a＝0，由（1）可知，u(x)＝xex在(0, +∞)上为单调递增，且u(x)∈(0, +∞)，
故存在唯一的x0，使得xex−a＝0成立，即a＝x0e​x0，
当0x0时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝x0处取得最小值，
因为f(x)只有一个零点，所以f(x0)＝0，
又f(1)＝0，所以x0＝1，
所以a＝e，
综上所以a的取值范围为a≤0，或a＝e．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
（1）对f(x)求导得f′(x)，因为f(x)为单调函数，故f′(x)≥0或f’(x)≤0恒成立，
（2）因为f(1)＝0，所以1时f(x)的一个零点，由（1）可知，当a≤0时，f(x)为(0, +∞)上的增函数，所以f(x)仅有一个零点，满足题意，
当a>0时，令f’(x)＝0得xex−a＝0，由（1）可知，u(x)＝xex在(0, +∞)上为单调递增，且u(x)∈(0, +∞)，故存在唯一的x0，使得xex−a＝0成立，即a＝x0e​x0，故最小值点就是零点．
【解答】
对f(x)求导得f′(x)＝ex(1+x)−a(1+x)x=(1+x)xex−ax(x>0)，
因为f(x)为单调函数，故f′(x)≥0或f’(x)≤0恒成立，
因为x>0，故只需a≥xex或a≤xex对于x>0恒成立，
令u(x)＝xex，则u‘(x)＝(x+1)ex>0对于x>0恒成立，
所以u(x)为增函数，
所以u(x)>u(0)＝0，
由于x→+∞时，u(x)→+∞，故a≥xex不成立，即f(x)不可能为单调递减函数，
当a≤xex恒成立时，a≤0，此时f(x)为单调递增函数，
所以当f(x)为单调函数时，a的取值范围为(−∞, 0]；
因为f(1)＝0，所以1是f(x)的一个零点，
由（1）可知，当a≤0时，f(x)为(0, +∞)上的增函数，所以f(x)仅有一个零点，满足题意，
当a>0时，令f’(x)＝0得xex−a＝0，由（1）可知，u(x)＝xex在(0, +∞)上为单调递增，且u(x)∈(0, +∞)，
故存在唯一的x0，使得xex−a＝0成立，即a＝x0e​x0，
当0x0时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝x0处取得最小值，
因为f(x)只有一个零点，所以f(x0)＝0，
又f(1)＝0，所以x0＝1，
所以a＝e，
综上所以a的取值范围为a≤0，或a＝e．