专题01 数列的概念（知识精讲）（解析版）

专题一    数列的概念 一 知识结构图内  容考点关注点  数列的概念数列的概念数列概念数列的通项公式 归纳通项公式数列的递推公式由递推公式求通项公式an与Sn的关系由Sn求an。 二.学法指导1．有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．2．数列{an}的单调性：若满足an＜an＋1，则{an}是递增数列；若满足an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足an＝an＋1，则{an}是常数列；若an与an＋1的大小不确定，则{an}是摆动数列．3．数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N*(或它的一个子集{1，2，3，…，n})．4．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式，也并不是通项公式都唯一．如，－1，1，－1，1，…，既可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝5．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．6．数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．7.通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.8．数列通项公式的求法(1)观察法．根据给出数列的前几项观察归纳；(2)累加法．适合类型为an＋1＝an＋f(n)；(3)累乘法．适合类型为an＋1＝anf(n)；(4)利用an与Sn关系，即an＝三.知识点贯通知识点1   数列的概念与分类数列的分类 类别含义按项的个数　有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 例题1.已知下列数列：①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020；②1，，，…，，…；③1，－，，…，，…；④1，0，－1，…，sin，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．【答案】①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④　【解析】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．知识点二   由数列的前几项求通项公式数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．例题2：已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．(1)1，3，7，15，31，…；(2)4，44，444，4 444，…；(3)－1，3，－5，7，－9，…；(4)2，－，，－，，－，…；(5)1，2，1，2，1，2，….【解析】(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1.(2)各项乘，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an＝(10n－1)．(3)所给数列有这样几个特点：①符号正、负相间；②整数部分构成奇数列；③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；④分数部分的分子依次大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为an＝(－1)n，所以an＝(－1)n.(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为，－，，－，…，再把各分母分别加上1，数列又变为，－，，－，…，所以an＝.(5)法一：可写成分段函数形式：an＝法二：an＝＝即an＝＋.知识点三   通项公式的应用数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})解析式数列的通项公式值域自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法例题3 .已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？【解析】　(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2) 令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，所以－49是该数列的第7项；令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．知识点四  由递推公式求数列中的项数列的递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．例题4．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．【解析】(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.知识点五   数列的单调性数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})解析式数列的通项公式值域自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法例题5已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)× (n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．【解析】　法一：作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．an＋1－an＝(n＋3)×－(n＋2)×＝×.当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.法二：作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．＝＝.又an＞0，令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；令＜1，解得n＞5.故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞…，所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则即解得即5≤n≤6.故数列{an}有最大项a5或a6，且a5＝a6＝. 知识点六    利用an＝求通项数列{an}的前n项和(1)数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝例题6.　根据下列数列的前n项和Sn求通项an.(1)Sn＝2n2－n＋1；(2)Sn＝2·3n－2.【解析】(1)由Sn＝2n2－n＋1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]＝4n－3.当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3.∴an＝(2)由Sn＝2·3n－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－2－(2·3n－1－2)＝4·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4·31－1，∴an＝4·3n－1(n∈N*)．知识点七    根据递推公式求通项数列递推公式与通项公式的关系 递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式例题7.　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.【解析】　(1)∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…an－an－1＝.以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－(n∈N*)．(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
五 易错点分析易错一  由数列的前几项归纳数列的通项公式例题8.写出下面各数列的一个通项公式：(1)9，99，999，9 999，…；(2)，2，，8，，…；【解析】　(1)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.(2)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：，，，，，….所以，它的一个通项公式为an＝.误区警示
根据数列的前几项归纳数列的通项公式，要找每一项的共同规律，以及每一项和项数之间的关系。易错二 与Sn求an例题9.已知数列{an}的前n项和公式Sn＝n2－2n＋1，则其通项公式an＝________.【答案】　【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋1－(n－1)2＋2(n－1)－1＝2n－3，而当n＝1时，a1＝12－2×1＋1＝0≠2×1－3，所以通式公式an＝错误区警示由数列的前n项和Sn求通项公式an，一定要分n=1和n≥2两步来做。