专题04 等比数列的概念 知识精讲 （解析版）

专题四    等比数列的概念一 知识结构图内  容考点关注点  等比数列的概念等比数列的概念从第二项开始等比数列的通项公式 首项和公比等比中项及其应用只有同号的两数有等比中项，且由两个等比数列的判定方法定义或等比中项 二.学法指导1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．3．由等比数列的通项公式与指数型函数的关系可得等比数列的单调性如下：(1)当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列{an}为递增数列；(2)当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}为递减数列；(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；(4)当q＜0时，数列{an}是摆动数列．4.等比中项与等差中项的区别(1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项．(2)两个数a，b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个．5．已知{an}是等比数列(1)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(2)若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 6.．与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题．(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用．(3)题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．7．在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦．若能避开求a1，q，直接利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了．三.知识点贯通知识点1   等比数列通项公式的基本运算等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．例题1.在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.【解析】　设首项为a1，公比为q.(1)法一：因为所以由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝.所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2.(2)法一：因为由得q＝，从而a1＝32，又an＝1，∴32×＝1.即26－n＝20，所以n＝6.法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 知识点二  等比中项及应用等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫做a，b的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝ab.例题2：　已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42.求a5，a7的等比中项．【解析】　设该等比数列的公比为q，∵∴1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，②÷①得q(1－q)＝⇒q＝，∴a1＝＝＝96.设G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962·＝9，∴a5，a7的等比中项是±3. 知识点三   等比数列的判断与证明等比数列的概念文字语言一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符号语言＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 例题3 .已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．【解析】　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时，＝＝2；当n＝1时，＝＝.故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．知识点四  灵活设项求解等比数列若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.例题4．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．【解析】设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a.由题意得，解得q＝2或q＝.当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18；当q＝时，a＝，这四个数为，，，.知识点五   等比数列的性质及应用等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a.②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….例题5已知{an}为等比数列．(1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5；(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．【解析】　(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.(2)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.五 易错点分析易错一    由递推公式构造等比数列求通项例题6.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值；(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．【解析】　(1)因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．误区警示
知数列的前n项和求数列的通项公式，要分n=1和n≥2两种情况来求，对于构造数列的问题，注意数列之间的关系，别混淆了。