2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（4分）过点（1，1）且与y轴垂直的直线的方程为（　　）
A．x＝1 B．y＝1 C．y＝x D．y＝2x﹣1
2．（4分）已知非零空间向量，，，若，，且，，则x＝（　　）
A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2
3．（4分）已知点A（1，﹣1），B（﹣2，3）在直线x+y﹣b＝0的两侧，则实数b的取值范围为（　　）
A．b＞1 B．b＜1 C．0＜b＜1 D．b＞1或b＜0
4．（4分）已知两条不重合直线l1，l2，则“l1∥l2”是“l1，l2的斜率相等”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在G的右支上，且|PF2|＝1，则|PF1|＝（　　）
A．3 B．5 C． D．
6．（4分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（　　）
A．若l⊥m，m∥α，则l⊥α B．若l∥β，α⊥β，则l⊥α
C．若l⊥m，m⊥β，α⊥β，则l⊥α D．若l⊥β，m⊥β，m⊥α，则l⊥α
7．（4分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1作直线l交G于A，B两点，若，则△F2AB的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）已知集合M＝{（x，y）|x﹣3y+1≥0，且x+y﹣3≤0，x，y∈R}，若a，b∈R，且（a，b）∈M，则2b﹣a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，+∞）
9．（4分）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且其中一个焦点到其中一条渐近线的距离为，则双曲线M的其中一个顶点到其中一条渐近线的距离为（　　）
A．1 B．2 C． D．
10．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD的底面BCD在平面α内，所有棱均相等，E是棱AC的中点，若三棱锥A﹣BCD绕棱CD旋转，设直线BE与平面α所成的角为θ，则cosθ的取值范围为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）
11．（6分）在空间中，两个不同平面把空间最少可分成　 　部分，最多可分成　 　部分．
12．（6分）双曲线的虚轴长等于　 　，离心率e＝　 　．
13．（6分）已知空间四个不同的点A，B，C，D，若C是线段AB的中点，且A（﹣1，1，3），B（3，﹣1，1），D（﹣2，4，2），则C的坐标为　 　，＝　 　．
14．（6分）如果原命题P是“若c＜0，则抛物线y＝x2﹣x+c与x轴有两个不同交点”，那么P的逆否命题可表示为　 　，而P的否命题是个　 　命题．（填“真”，“假”之一）
15．（4分）设抛物线C：x2＝﹣4y，点M（m，0）（m是常数），过点M作一直线l，若直线l与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线l共有 　 　条．
16．（4分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1⊥平面ABCD，且AB＝BC＝2，AA1＝3，经过顶点A作一个平面α，使得α∥平面CB1D1，若α∩平面ABCD＝l1，α∩平面ABB1A1＝l2，则异面直线l1与l2所成的角的余弦值为　 　．

17．（4分）已知直线l1：y＝kx﹣k+4，直线l2：y＝﹣，若直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，则当k＞4时，这个四边形面积的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18．如图，已知直线l∥平面α，相异四点A，B，C，D满足：A∈l，C∈l，B∈α，D∈α．
（Ⅰ）判断空间直线AC与BD的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若AB∥CD，求证：AB＝CD．







19．已知直线l：y＝kx+1（k∈R）与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于A，B不同两点．
（Ⅰ）若k∈N*，求k的值；
（Ⅱ）设M是圆C上的一动点（异于A，B），O为坐标原点，若，求△MAB面积的最大值．








20．如图，五面体EABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，△EAB为等腰三角形，且顶角∠EAB＝120°，，BC＝2，又G，F分别是AE，BE的中点，点H在线段BC上运动（异于端点）．
（Ⅰ）求证：CD∥平面HGF；
（Ⅱ）设，若二面角B﹣FG﹣H的大小为30°，求λ的值．






21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）和直线l：x﹣y﹣1＝0相交于A，B两点，且抛物线C的焦点在直线l上．
（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）设圆M经过A，B两点，且与抛物线C的准线相切，求圆M的方程．










22．已知椭圆G的中心在原点，对称轴是坐标轴，且G的四个顶点构成的四边形面积等于1，离心率．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）当椭圆G的长轴在x轴上时，若椭圆G与直线l：x＝my+λ（λ，m为常数）相交于不同两点A，B，记直线l与x轴的交点为M，且，求λ的取值范围．

2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（4分）过点（1，1）且与y轴垂直的直线的方程为（　　）
A．x＝1 B．y＝1 C．y＝x D．y＝2x﹣1
【解答】解：因为与y轴垂直，故直线的斜率为0，
又直线经过点（1，1），
所以所求直线为y＝1．
故选：B．
2．（4分）已知非零空间向量，，，若，，且，，则x＝（　　）
A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2
【解答】解：因为，，所以∥，
又，，
所以＝＝，
解得x＝4．
故选：A．
3．（4分）已知点A（1，﹣1），B（﹣2，3）在直线x+y﹣b＝0的两侧，则实数b的取值范围为（　　）
A．b＞1 B．b＜1 C．0＜b＜1 D．b＞1或b＜0
【解答】解：由于点A（1，﹣1），B（﹣2，3）在直线x+y﹣b＝0的两侧，
所以（1﹣1﹣b）（﹣2+3﹣b）＜0，整理得b（b﹣1）＜0，
解得：0＜b＜1．
故选：C．
4．（4分）已知两条不重合直线l1，l2，则“l1∥l2”是“l1，l2的斜率相等”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为两条直线的倾斜角为90°时，没有斜率，
所以“l1∥l2”不能够推出“l1，l2的斜率相等”，
反之，“l1，l2的斜率相等”⇒“l1∥l2”，
则“l1∥l2”是“l1，l2的斜率相等”的必要不充分条件．
故选：B．
5．（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在G的右支上，且|PF2|＝1，则|PF1|＝（　　）
A．3 B．5 C． D．
【解答】解：双曲线左、右焦点分别为F1、F2，可得a＝2，
点P（x，y）P在G右支上，
若|PF2|＝1，则|PF1|＝|PF2|+2a＝1+4＝5．
故选：B．
6．（4分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（　　）
A．若l⊥m，m∥α，则l⊥α B．若l∥β，α⊥β，则l⊥α
C．若l⊥m，m⊥β，α⊥β，则l⊥α D．若l⊥β，m⊥β，m⊥α，则l⊥α
【解答】解：因为l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
对于A，若l⊥m，m∥α，则l与α的关系是l与α相交、平行、垂直或l在α平面内，则A错误；
对于B，若l∥β，α⊥β，则l与α的关系是l与α相交、平行、垂直或l在α平面内，则B错误；
对于C，若l⊥m，m⊥β，α⊥β，则l与α的关系是l与α相交、平行、垂直或l在α平面内，则C错误；
对于D，若l⊥β，m⊥β，m⊥α，则l与m平行，因为m⊥α，可得l⊥α，则D正确．
故选：D．
7．（4分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1作直线l交G于A，B两点，若，则△F2AB的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆，可得a＝5，b＝4，焦距2c＝6，
椭圆的通径为：＝＝|AB|，
所以AB与x轴垂直，
所以△F2AB的面积：＝．
故选：C．
8．（4分）已知集合M＝{（x，y）|x﹣3y+1≥0，且x+y﹣3≤0，x，y∈R}，若a，b∈R，且（a，b）∈M，则2b﹣a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，+∞）
【解答】解：令Z＝2b﹣a，由题设知a，b满足，
点（a，b）满足的平面区域如右图所示，
由图象可知：Z∈R，即2b﹣a∈（﹣∞，+∞），
故选：D．

9．（4分）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且其中一个焦点到其中一条渐近线的距离为，则双曲线M的其中一个顶点到其中一条渐近线的距离为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线方程为y＝x，
因为渐近线互相垂直，则，即a＝b，
设其中一个焦点为F（0，c），则点F到渐近线y＝x的距离d＝，
所以c＝2，又c2＝a2+b2，所以a＝b＝，
设M的其中一个顶点为A（0，），
则A到渐近线y＝x的距离为，
故选：A．
10．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD的底面BCD在平面α内，所有棱均相等，E是棱AC的中点，若三棱锥A﹣BCD绕棱CD旋转，设直线BE与平面α所成的角为θ，则cosθ的取值范围为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：三棱锥A﹣BCD的底面BCD在平面α内，所有棱均相等，
故三棱锥是一个正四面体，不妨其棱长为2，
研究三棱锥A﹣BCD绕棱CD旋转的情况，
当旋转到直线BE与平面α平行时，则直线BE与平面α所成的角为0°，
此时cosθ的取值最大为1，
故排除选项C，D；
当旋转到△ACD在平面α内的时候，
设顶点B在平面α内的射影为O，则O为正三角形ACD的中心，
连结EO延长至D，则∠BED即为BE和平面α所成的角θ，
在△AED中，，
由余弦定理可得，
因为，
故排除选项B．
故选：A．

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）
11．（6分）在空间中，两个不同平面把空间最少可分成　3　部分，最多可分成　4　部分．
【解答】解：当两个平面互相平行时，可以把空间分成三部分，
当两个平面相交时，可以把空间分成四部分．
故答案为：三；四．
12．（6分）双曲线的虚轴长等于　8　，离心率e＝　　．
【解答】解：双曲线的虚轴长2b＝2×4＝8，a＝3，c＝5，
所以双曲线的离心率为：e＝＝．
故答案为：8；．
13．（6分）已知空间四个不同的点A，B，C，D，若C是线段AB的中点，且A（﹣1，1，3），B（3，﹣1，1），D（﹣2，4，2），则C的坐标为　（1，0，2）　，＝　5　．
【解答】解：由于C是线段AB的中点，且A（﹣1，1，3），B（3，﹣1，1），
故C（1，0，2），且D（﹣2，4，2），
所以||＝＝5．
故答案为：（1，0，2）；5．
14．（6分）如果原命题P是“若c＜0，则抛物线y＝x2﹣x+c与x轴有两个不同交点”，那么P的逆否命题可表示为　“若抛物线y＝x2﹣x+c与x轴只有一个交点或没有交点，则c≥0”　，而P的否命题是个　假　命题．（填“真”，“假”之一）
【解答】解：原命题P是“若c＜0，则抛物线y＝x2﹣x+c与x轴有两个不同交点”，
故P的逆否命题为“若抛物线y＝x2﹣x+c与x轴只有一个交点或没有交点，则c≥0”，
否命题为“若c≤0，则抛物线y＝x2﹣x+c与x轴只有一个交点或没有交点”，
因为当c≤0时，△＝（﹣1）2﹣4c＞0，所以抛物线与x轴有两个不同的交点，故否命题是假命题．
故答案为：“若抛物线y＝x2﹣x+c与x轴只有一个交点或没有交点，则c≥0”；假．
15．（4分）设抛物线C：x2＝﹣4y，点M（m，0）（m是常数），过点M作一直线l，若直线l与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线l共有 　2或3　条．
【解答】解：①当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为：x＝m，显然直线l与抛物线只有一个公共点，
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k（x﹣m），代入抛物线方程可得：
x2+4kx﹣4km＝0，因为直线l与抛物线只有一个公共点，
则Δ＝16k2+16mk＝0，解得k＝0或k＝﹣m，
此时直线l的方程为y＝0或y＝﹣mx+m2，
当m＝0时，此时两直线重合，m≠0时，此时有两条直线满足题意，
综上，满足题意的直线有2或3条，
故答案为：2或3．
16．（4分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1⊥平面ABCD，且AB＝BC＝2，AA1＝3，经过顶点A作一个平面α，使得α∥平面CB1D1，若α∩平面ABCD＝l1，α∩平面ABB1A1＝l2，则异面直线l1与l2所成的角的余弦值为　　．

【解答】解：设平面CB1D1∩平面ABCD＝m，
∵α∥平面CB1D1，∴m∥l1，
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m，∴B1D1∥l1，
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，
同理可证CD1∥l2，
∴异面直线l1与l2所成的角即B1D1，CD1所成的∠CD1B1，
∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，
AA1⊥平面ABCD，且AB＝BC＝2，AA1＝3，
∴B1D1＝＝2，CD1＝CB1＝＝，
∴异面直线l1与l2所成的角的余弦值为：
cos∠CD1B1＝＝＝．
故答案为：．

17．（4分）已知直线l1：y＝kx﹣k+4，直线l2：y＝﹣，若直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，则当k＞4时，这个四边形面积的取值范围是　　．
【解答】解：当k＞4时，，
因为l1，l2过定点（2，4），
直线l1与x轴交于点，直线l2与y轴交于点，
所以四边形的面积为
＝
＝，
因为k＞4，
所以，
故．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18．如图，已知直线l∥平面α，相异四点A，B，C，D满足：A∈l，C∈l，B∈α，D∈α．
（Ⅰ）判断空间直线AC与BD的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若AB∥CD，求证：AB＝CD．

【解答】解：（Ⅰ）AC与BD的位置关系是平行或异面．说明如下：
∵A∈l，C∈l，B∈α，D∈α，∴AC⊂l，BD⊂α，
∵直线l∥平面α，∴直线l与平面α无公共点，
∴AC与BD也无公共点，
∴AC与BD平行或异面．
（Ⅱ）证明：∵AB∥CD，∴过AB，CD可作平面γ，且α∩γ＝BD，l⊂γ，
∵直线l∥平面α，∴l∥BD，即AC∥BD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AB＝CD．
19．已知直线l：y＝kx+1（k∈R）与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于A，B不同两点．
（Ⅰ）若k∈N*，求k的值；
（Ⅱ）设M是圆C上的一动点（异于A，B），O为坐标原点，若，求△MAB面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l与圆C交于两点，∴，
解得，∵k∈N*，∴k＝1或2．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
将y＝kx+1代入方程（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，
整理得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0，
∴，，，
由题设可得，解得k＝1，得直线l的方程为y＝x+1，
可知圆心（2，3）在直线l上，∴AB是圆C的直经，且|AB|＝2，
∵M是圆C上的一动点（异于A，B），∴M到直线l的最大距离为1，
∴△MAB面积的最大值为．
20．如图，五面体EABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，△EAB为等腰三角形，且顶角∠EAB＝120°，，BC＝2，又G，F分别是AE，BE的中点，点H在线段BC上运动（异于端点）．
（Ⅰ）求证：CD∥平面HGF；
（Ⅱ）设，若二面角B﹣FG﹣H的大小为30°，求λ的值．

【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是矩形，∴CD∥AB，
∵G，F分别是AE，BE的中点，
∴GF∥AB，且，∴CD∥GF，
∵CD⊄平面HGF，GF⊂平面HGF，∴CD∥平面HGF．
（Ⅱ）解：在平面ABE内作AB的垂线，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，
∵∠EAB＝120°，，∴AE＝AB＝4，AD＝2，
∴A（0，0，0），B（0，﹣4，0），C（2，﹣4，0），，，，
∴，
∴H（2λ，﹣4，0），
∴，，
设平面HGF的法向量为，
∴，
令z＝2λ，则，
∴是平面HGF的一个法向量，
∵AD⊥平面AEB，
∴平面AEB的法向量即平面BFG的法向量为，
∵二面角H﹣GF﹣B的大小30°
∴，解得，
∵点H在线段BC上，∴．

21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）和直线l：x﹣y﹣1＝0相交于A，B两点，且抛物线C的焦点在直线l上．
（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）设圆M经过A，B两点，且与抛物线C的准线相切，求圆M的方程．
【解答】解：（I）∵抛物线C的焦点为，
∴由代入直线l的方程得p＝2，即C的方程为y2＝4x，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，
得x2﹣6x+1＝0，
∴x1+x2＝6，x1x2＝1，
∴．
【亦可由抛物线定义得|AB|＝|AF|+|BF|＝（x1+1）+（x2+1）＝8】
（Ⅱ）由（Ⅰ）得线段AB的中点坐标为（3，2），
∴AB的中垂线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3）即y＝﹣x+5，
设圆M的圆心坐标为（x0，y0），而抛物线C的准线为x＝﹣1，
则由，解得，或，
∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16或（x﹣11）2+（y+6）2＝144．
22．已知椭圆G的中心在原点，对称轴是坐标轴，且G的四个顶点构成的四边形面积等于1，离心率．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）当椭圆G的长轴在x轴上时，若椭圆G与直线l：x＝my+λ（λ，m为常数）相交于不同两点A，B，记直线l与x轴的交点为M，且，求λ的取值范围．
【解答】（Ⅰ）设椭圆G的长半轴长为a，短半轴长为b，
则有，顶点四边形S顶点四边形＝2ab＝1，∴a＝1，，
∴椭圆G的方程为x2+4y2＝1或y2+4x2＝1．
（Ⅱ）由条件知椭圆G此时的方程为x2+4y2＝1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则由可得y1＝﹣2y2，（1）
由，得（m2+4）y2+2λmy+λ2﹣1＝0，（2）
显然y1，y2是方程（2）的两个不同实数根，
∴Δ＝（2λm）2﹣4（m2+4）（λ2﹣1）＞0，得m2＞4（λ2﹣1），（3）
又由韦达定理得，（显然λ≠±1），
结合（1）得，，
∴，得，
由（4）代入（3）得，
解得，即或，
故所求λ的取值范围为（﹣1，﹣）∪（，1）．