2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁UT）＝（　　）
A．{1，5} B．{1} C．{1，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．（5分）“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（　　）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（　　）
A． B．π C． D．
4．（5分）已知非零实数a，b满足a＞b，则（　　）
A． B．
C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）
5．（5分）已知函数，则＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．1
6．（5分）函数f（x）＝的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．（5分）已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．a＜﹣1 C． D．a≤﹣1
8．（5分）已知函数f（x）＝loga（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（5分）下列选项不正确的是（　　）
A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）
B．函数在定义域内是减函数
C．所有的周期函数一定有最小正周期
D．函数f（x）＝elnx和函数有相同的定义域与值域
10．（5分）如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝at．有以下几个判断，正确的是（　　）

A．a＝2
B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月
C．在第6个月，浮萍面积超过30m2
D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3
11．（5分）根据已给数据：
x
1.5
1.53125
1.5625
1.625
1.75
3x的近似值
5.196
5.378
5.565
5.961
6.839
在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（　　）
A．﹣1 B．1.5 C．1.562 D．1.7
12．（5分）已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．f（x）＝2
C．α+β＝π
D．满足题意的一组α，β可以是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知sinα＝，则sin（α+β）＝　 　．
14．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝　 　．

15．（5分）已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为　 　．
16．（5分）已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f（x2）≥80，则a的取值范围　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（Ⅰ）求值：若xlog32＝1，求2x+2﹣x的值；
（Ⅱ）化简：．






18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．
（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；
（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．






19．（12分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．
（Ⅰ）求cos2α的值；
（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．






20．（12分）已知函数f（x）＝sinxcosx+cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．






21．（12分）为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？



















22．（12分）已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．
（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．

2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁UT）＝（　　）
A．{1，5} B．{1} C．{1，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【解答】解：集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，
所以∁UT＝{1，5}，
所以S∩（∁UT）＝{1，5}．
故选：A．
2．（5分）“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（　　）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：对于一次函数f（x）＝ax+b，（a≠0），
若函数f（x）单调递增，则a＞0，
反之，“a＞0”能推出“函数f（x）＝ax+b单调递增”，
故“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的充分必要条件，
故选：B．
3．（5分）已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（　　）
A． B．π C． D．
【解答】解：∵扇形的圆心角α为，弧长l为，
∴扇形的半径r＝＝2，
∴扇形的面积S＝lr＝×2×＝．
故选：A．
4．（5分）已知非零实数a，b满足a＞b，则（　　）
A． B．
C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）
【解答】解：对于A，取a＝，b＝，可得a+＝，b+＝，a+＜b+，故A错误；
对于B，若a＞0＞b，则＞，故B错误；
对于C，由a＞b，可得﹣a＜﹣b，所以2﹣a＜2﹣b，故C正确；
对于D，取a＝，b＝﹣2，则ln（|a|）＜ln（|b|），故D错误．
故选：C．
5．（5分）已知函数，则＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．1
【解答】解：因为函数，
所以，
故＝f（﹣1）＝（﹣1）2＝1．
故选：D．
6．（5分）函数f（x）＝的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，
f（1）＝0，排除A，B，
故选：C．
7．（5分）已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．a＜﹣1 C． D．a≤﹣1
【解答】解：当a＝0时，f（x）＝4x﹣1＜0，解得，
故当x＝时，f（x）＞0，故不符合题意；
当a＞0时，则有，无解；
当a＜0时，则有①，或②，或△＝16+16a＜0③，
解得①无解，②无解，③a＜﹣1，
故a＜﹣1，
综上所述，实数a的取值范围是a＜﹣1．
故选：B．
8．（5分）已知函数f（x）＝loga（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：令，
因为函数h（x）在（r，a+2）上单调递增，
所以，
当a＞1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递增，
此时值域不可能为（1，+∞），
当0＜a＜1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递减，
要使得值域为（1，+∞），则有，
解得r＝1，．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（5分）下列选项不正确的是（　　）
A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）
B．函数在定义域内是减函数
C．所有的周期函数一定有最小正周期
D．函数f（x）＝elnx和函数有相同的定义域与值域
【解答】解：对于A，若y＝f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）＝0，
但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故A错误；
对于B，函数的减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
但函数在定义域内不是减函数，故B错误；
对于C，若一个函数是周期函数，那么它不一定有最小正周期，
例如常数函数f（x）＝1是周期函数，但无最小正周期，故C错误；
对于D，函数f（x）＝elnx定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），
函数定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），故D正确．
故选：ABC．
10．（5分）如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝at．有以下几个判断，正确的是（　　）

A．a＝2
B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月
C．在第6个月，浮萍面积超过30m2
D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3
【解答】解：由题意，浮萍蔓延的面积y（m2）与时间（t月）的关系：y＝at（a＞0且a≠1），
由函数图象可知函数过点（1，2），∴a1＝2，a＝2，故A正确；
函数的解析式为：y＝2t，由，得t1＝log25，由，得t2＝log215，
而t2﹣t1＝log215﹣log25＝log23＝＞，故B错误；
当t＝6时，y＝26＝64＞30，故第6个月时，浮萍的面积超过30m2，故C正确；
由，，，得t1＝1，t2＝2，t3＝3，则t1+t2＝t3成立，故D正确．
故选：ACD．
11．（5分）根据已给数据：
x
1.5
1.53125
1.5625
1.625
1.75
3x的近似值
5.196
5.378
5.565
5.961
6.839
在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（　　）
A．﹣1 B．1.5 C．1.562 D．1.7
【解答】解：令f（x）＝3x﹣x﹣4，由已知表格中的数据，可得：
f（1.5）＝5.196﹣1.5﹣4＝﹣0.304＜0，
f（1.53125）＝5.378﹣1.53125﹣4＝﹣0.15325＜0，
f（1.5625）＝5.565﹣1.5625﹣4＝0.0025＞0，
f（1.625）＝5.961﹣1.625﹣4＝0.336＞0，
f（1.75）＝6.839﹣1.75﹣4＝1.089＞0．
∵精确度为0.1，而f（1.5）•f（1.5625）＜0，且|1.5625﹣1.5|＝0.0625＜0.1，
f（1.5）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.5|＝0.125＞0.1，
f（1.53125）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.53125|＝0.09375＜0.1，
f（1.53125）•f（1.75）＜0，且|1.75﹣1.53125|＝0.21875＞0.1，
∴[1.5，1.625]内的任何一个数，都可以看作是方程3x＝x+4的一个近似解．
结合选项可知，B、C成立．
故选：BC．
12．（5分）已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．f（x）＝2
C．α+β＝π
D．满足题意的一组α，β可以是
【解答】解：
＝，
由题意，，
两式平方相加可得，
所以或．
当时，2α﹣2β＝符合题意，
故选项A，D正确，B，C错误．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知sinα＝，则sin（α+β）＝　　．
【解答】解：sinα＝，
所以cosα＝＝＝，
sinβ＝＝＝，
所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×（﹣）+×＝．
故答案为：．
14．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝　2sin（x+）　．

【解答】解：由图象可知A＝2，＝7﹣3＝4，所以T＝8，所以ω＝＝，
所以f（x）＝2sin（x+φ），
由五点作图法可得×3+φ＝π，解得φ＝，
所以f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．
故答案为：2sin（x+）．
15．（5分）已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为　2　．
【解答】解：∵a、b都为正数且满足a+b+ab＝3，
∴a+b+≥3等号当a＝b时成立．
∴（a+b）2+4（a+b）﹣12≥0
∴a+b≥2或a+b≤﹣6（舍）
a+b的最小值为2
故答案为2
16．（5分）已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f（x2）≥80，则a的取值范围　　．
【解答】解：方法一：f′（x）＝1﹣＝，
令f′（x）＝0，得x＝±3，
所以在（1，3）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（3，4）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（1）＝10，f（4）＝6.25，f（3）＝6，
若∃x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得f（x1）f（x2）≥80，
只需x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得[f（x1）f（x2）]max≥80，
而f（x1）max＝f（1）＝10，所以f（x2）max≥8，
过点B作BC⊥y轴，与函数f（x）的图象交于点C，
令x+＝6.25，解得x＝4或2.25，
所以当x∈[2.25，4]时，f（x）∈[6，6.25]，
所以x2∈（1，2.25），
所以a∈（1，2.25），才能使得x2∈[a，4]时，f（x2）max≥8，即f（a）≥8，
所以a+≥8，解得a≥4+（舍去）或a≤4﹣，
所以1＜a≤4﹣，
所以实数a的取值范围为（1，4﹣]，
故答案为：（1，4﹣]．
方法二：由对勾函数性质可得在（1，3）上，f（x）单调递减，
在（3，4）上，f（x）单调递增，
所以f（x）在x＝3处取得最小值f（3）＝6，
①当1＜a≤3时，f（x）在（1，a）上递减，f（x）max＝f（1）＝10，
f（x）在（a，4）上最大值为f（a）＝a+或f（4）＝4+＝，
所以不成立，
所以，
所以1＜a≤4﹣，
②当3＜a＜4时，f（x）在（1，a）上最大值为f（1）＝10或f（a）＝，
f（x）在（a，4）上最大值为f（4）＝，
所以f（1）f（4）≥80不成立，
所以无解，
所以a∈（1，4﹣]，
故答案为：（1，4﹣]．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（Ⅰ）求值：若xlog32＝1，求2x+2﹣x的值；
（Ⅱ）化简：．
【解答】解：（I）由题意，，得2x＝3，
得．
（Ⅱ）．
18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．
（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；
（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．
【解答】解：（I）由题意，﹣5，1是方程x2+4mx﹣5m2＝0的两根，
由韦达定理得：，解得m＝1，经检验符合条件．
（Ⅱ）由题意，A＝{x|﹣1＜x＜4}，A⊆B，
因为m＞0，则B＝{x|﹣5m＜x＜m}，
由A⊆B得，，解得m≥4．
所以实数m的取值范围是[4，+∞）．
19．（12分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．
（Ⅰ）求cos2α的值；
（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，因为α在第一象限，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上
所以，
所以．
（Ⅱ）由题意，tanα＝2，
则tan（α﹣β）＝tan（2α﹣β﹣α）＝．
20．（12分）已知函数f（x）＝sinxcosx+cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．
【解答】解（Ⅰ），
所以，周期为T＝＝π，
令，
得，
所以，函数f（x）的单调递增区间为：．
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得到y＝sin（4x+）+，
再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，
即y＝sin[4（x﹣）+）+]＝sin（4x﹣）+，
即，
由，
得，
解得满足条件的x的集合为：．
21．（12分）为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

【解答】解：（1）依题意，当0≤x≤0.1时，可设y＝kx，且1＝0.1k，
解得k＝10，∴y＝10x，
又由，解得a＝0.1，所以；
（2）令，解得x＞0.6，
即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．
（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，，
（1）当x≥1时，2x2﹣2x+1≤1，解得x＝1，
（2）当x＜1时，2x﹣1≤1，解得x＜1，
故不等式的解集为{x|x≤1}．
（Ⅱ），
（1）当，即时，符合条件，
（2）当，即时，函数在R上为增函数，符合条件，
（3）当，即时，需满足：，解得a≤﹣9；
综上：或a≤﹣9．
（Ⅲ）解法1：（1）当或a≤﹣9，则f（x）在[﹣2，2]上单调递增，
所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|；
（2）当﹣9＜a≤﹣2，则f（x）＝2x2﹣（a+1）x+a，
又对称轴，所以g（a）＝f（2）＝4+|a﹣2|，
（3）当﹣2＜a＜﹣1时，g（a）＝max{f（﹣2），f（2）}＝max{4﹣3|a+2|，4+|2﹣a|}＝4+|2﹣a|，
（4）当时，g（a）＝max{f（a），f（2）}＝max{a2，4+|2﹣a|}，
因a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＝（a+3）（a﹣2）＜0，
所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，
综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，
当a＝2时，g（a）min＝4．
解法2：（1）当a≤﹣2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2）}＝f（2）＝4+|2﹣a|，
（2）当﹣2＜a＜2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2），f（a）}＝max{f（2），f（a）}，
又f（a）﹣f（2）＝a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＜0，
所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|：
（3）当a≥2时，f（x）＝（a+1）x﹣a，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，
综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，
当a＝2时，g（a）min＝4.