2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知角θ的终边上一点P（1，a）（a＜0），则sinθ＝（ ）
A．aB．C．D．
2．（3分）下列式子的互化正确的是（ ）
A．＝B．
C．D．
3．（3分）已知扇形的面积为2，扇形的圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．（3分）设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）已知集合，集合B＝{x|x2+x﹣2≤0}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．[﹣2，1]D．
6．（3分）将函数y＝tan（ωx﹣1）（ω＞0）的图象向左平移2个单位长度后，与函数y＝tan（ωx+3）的图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A．B．1C．π﹣2D．2
7．（3分）若函数在区间（1，2）上单调递增，则a的取值范围（ ）
A．[0，2]B．C．D．
8．（3分）已知函数，若方程恰有4个实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，2）B．
C．D．
二、选择题：本大题共2小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分
9．（3分）若“∃x0∈（0，2），使得2x02﹣λx0+1＜0成立”是假命题，则实数λ可能的值是（ ）
A．1B．C．3D．
10．（3分）设函数f（x）＝|csx+a|+|cs2x+b|，a，b∈R，则（ ）
A．f（x）的最小正周期可能为
B．f（x）为偶函数
C．当a＝b＝0时，f（x）的最小值为
D．存在a，b使f（x）在上单调递增
三、填空题：本大题共7小题.把答案填在答题卡中的横线上
11．（3分）计算cs75°cs15°+sin75°sin15°＝ ．
12．（3分）计算＝ ．
13．（3分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：则函数f（x）的解析式为 ．
14．（3分）若函数y＝sin2x+cs2x+3的最小值为1，则正实数a＝ ．
15．（3分）函数y＝x﹣2+的值域是 ．
16．（3分）已知函数f（x）＝（sinωx）2+，若f（x）在区间（π，2π））内没有零点，则ω的取值范围是 ．
17．（3分）已知x＞0，y＞0，且，则的最大值为 ．
四、解答题：本大题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．已知集合，集合B＝{x|a﹣2≤x≤2a+1}．
（Ⅰ）当a＝3时，求A和（∁RA）∪B；
（Ⅱ）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19．已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求tan（3α﹣2β）的值．
20．已知定义在R上的奇函数f（x）＝b﹣（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值为，求a的值．
21．已知函数f（x）＝sin2x+2sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间
（Ⅱ）当时，关于x的方程[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0恰有三个不同的实数根，求m的取值范围．
22．设函数f（x）＝a（cs2x+csx+1）﹣csx﹣1，g（x）＝﹣2asin2x+（1﹣a）sinx，其中a＞0．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的值域；
（2）记|f（x）|的最大值为M，
①求M；
②求证：|g（x）|≤2M．
2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题有8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）已知角θ的终边上一点P（1，a）（a＜0），则sinθ＝（ ）
A．aB．C．D．
【解答】解：∵角θ的终边上一点P（1，a）（a＜0），
∴|OP|＝，
∴sinθ＝．
故选：B．
2．（3分）下列式子的互化正确的是（ ）
A．＝B．
C．D．
【解答】解：对于选项A：当y＜0时，＝，所以选项A错误，
对于选项B：当x≠0时，＝，所以选项B错误，
对于选项C：当x＞0时，＝＝，所以选项C正确，
对于选项D：当x＞0时，无意义，所以选项D错误，
故选：C．
3．（3分）已知扇形的面积为2，扇形的圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：根据题意知s＝2，θ＝1，
∵S＝θR2，
∴2＝×1×R2，即R＝2，
∵l＝θR＝2×1＝2，
∴扇形的周长为l+2R＝2+4＝6．
故选：C．
4．（3分）设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从图象可知，
A：2找不到对应的元素，故不是从集合M到集合N的函数；
B：成立；
C：1对应两个元素，故不是从集合M到集合N的函数；
D：2对应的元素在集合N外，故不是从集合M到集合N的函数．
故选：B．
5．（3分）已知集合，集合B＝{x|x2+x﹣2≤0}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．[﹣2，1]D．
【解答】解：∵集合＝{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}，
集合B＝{x|x2+x﹣2≤0}＝{x|﹣2≤x≤1}，
∴A∩B＝[﹣，]．
故选：D．
6．（3分）将函数y＝tan（ωx﹣1）（ω＞0）的图象向左平移2个单位长度后，与函数y＝tan（ωx+3）的图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A．B．1C．π﹣2D．2
【解答】解：将函数y＝tan（ωx﹣1）（ω＞0）的图象向左平移2个单位长度后，
可得y＝tan（ωx+2ω﹣1）的图象，
它与函数y＝tan（ωx+3）的图象重合，
∴2ω﹣1＝3+kπ，k∈Z，即ω＝+2，
令k＝﹣1，求得ω的最小值2﹣，
故选：A．
7．（3分）若函数在区间（1，2）上单调递增，则a的取值范围（ ）
A．[0，2]B．C．D．
【解答】解：令u（x）＝ax2﹣8x+15，
函数y＝为减函数，
要使函数在区间（1，2）上单调递增，
则u（x）＝ax2﹣8x+15在区间（1，2）上单调递减且恒大于0，
∵u′（x）＝2ax﹣8，
∴，解得．
∴a的取值范围是[，2]．
故选：D．
8．（3分）已知函数，若方程恰有4个实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，2）B．
C．D．
【解答】解：令t＝，
当x＞0时，由基本不等式，可得t＝≥2﹣1＝1．
当x＜0时，可得t＝≤﹣2﹣1＝﹣3，
所以，
由条件可知，当f（t）与y＝a有2个不同的交点时，恰有4个实根，
作出函数f（t）和y＝a的图象如下：
由图象知，当f（t）与y＝a有2个不同的交点时，≤a＜2或﹣1＜a＜0，
又当t＝﹣3时，方程有且仅有一个实根，因此a＝不符合条件，
所以实数a的取值范围是（，2）∪（﹣1，0）．
故选：D．
二、选择题：本大题共2小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分
9．（3分）若“∃x0∈（0，2），使得2x02﹣λx0+1＜0成立”是假命题，则实数λ可能的值是（ ）
A．1B．C．3D．
【解答】解：x0∈（0，2），使得2x02﹣λx0+1＜0成立是假命题，
故：对∀x∈（0，2），2x2﹣λx+1≥0恒成立．
即2x+≥λ对任意的x∈（0，2）恒成立．
即（2x+）min≥λ，
故2x+≥2，（当且仅当x＝）等号成立．
故λ≤2．
故选：AB．
10．（3分）设函数f（x）＝|csx+a|+|cs2x+b|，a，b∈R，则（ ）
A．f（x）的最小正周期可能为
B．f（x）为偶函数
C．当a＝b＝0时，f（x）的最小值为
D．存在a，b使f（x）在上单调递增
【解答】解：对于A：函数f（x），故A错误；
对于B：函数f（﹣x）＝f（x）故B正确；
对于C：当a＝b＝0时，f（x）＝|csx|+|cs2x|＝|2cs2x﹣1|+|csx|，
当csx＝±时，函数的最小值为，故C正确．
对于D：当a＝﹣5，b＝﹣5时，f（x）＝|csx﹣5|+|cs2x﹣5|＝5﹣csx+5﹣cs2x＝10﹣csx﹣cs2x，
由于函数y＝csx+cs2x在（）上单调递减，故函数f（x）在（0，）上单调递增，故D正确；
故选：BCD．
三、填空题：本大题共7小题.把答案填在答题卡中的横线上
11．（3分）计算cs75°cs15°+sin75°sin15°＝ ．
【解答】解：因为cs75°cs15°+sin75°sin15°＝cs（75°﹣15°）＝cs60．
故答案为：．
12．（3分）计算＝ ．
【解答】解：原式＝﹣lg8+＝＝lg＝．
故答案为：．
13．（3分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：则函数f（x）的解析式为 f（x）＝sin（x+） ．
【解答】解：由图象得到f（x）的最大值为，周期为16，且过点
所以A＝，
又，
所以，
将点代入f（x），|φ|＜．
得到，
所以
故答案为．
14．（3分）若函数y＝sin2x+cs2x+3的最小值为1，则正实数a＝ 3 ．
【解答】解：y＝sin2x+cs2x+3＝（sin2x+cs2x）+3，
令csθ＝，sinθ＝，
则y＝（sin2xcsθ+cs2xsinθ）+3＝sin（2x+θ）+3，
当sin（2x+θ）＝﹣1时，函数取得最小值为﹣+3＝1，
即＝2，得1+a＝4，得a＝3，
故答案为：3
15．（3分）函数y＝x﹣2+的值域是 （﹣∞，] ．
【解答】解：令（t≥0），则x＝，
所以y＝＝≤，
所以函数y＝x﹣2+的值域是（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．
16．（3分）已知函数f（x）＝（sinωx）2+，若f（x）在区间（π，2π））内没有零点，则ω的取值范围是 （0，]∪[，] ．
【解答】解：函数f（x）＝（sinωx）2+sin2ωx﹣
＝（1﹣cs2ωx）+sin2ωx﹣
＝sin2ωx﹣cs2ωx
＝sin（2ωx﹣），
由f（x）＝0，可得sin（2ωx﹣）＝0，解得x＝∉（π，2π），
因为f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
所以≥π，即≥π，解得ω≤；
又因为ω＞0，
令π＜＜2π，k∈Z；
解得+＜ω＜+，k∈Z；
当k＝0时，ω∈（，），
当k＝1时，ω∈（，）；
所以有解时ω的取值范围是（，）∪（，]，
由f（x）在区间（π，2π）内没有零点，所以ω的取值范围是（0，]∪[，]．
故答案为：（0，]∪[，]．
17．（3分）已知x＞0，y＞0，且，则的最大值为 ．
【解答】解：令t＝，
因为x＞0，y＞0，且，
所以x+8y＝（x+8y）（）＝（10+）＝，当且仅当即x＝4y时取等号，
所以x+8y+3，
所以t，
解得t≥6或t≤﹣3（舍），
则＝＝，即最大值为．
故答案为：．
四、解答题：本大题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．已知集合，集合B＝{x|a﹣2≤x≤2a+1}．
（Ⅰ）当a＝3时，求A和（∁RA）∪B；
（Ⅱ）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）集合，
整理得：A＝{x|x＞4或x＜﹣3}，
集合B＝{x|a﹣2≤x≤2a+1}．
当a＝3时，B＝{x|﹣1≤x≤7}．
所以（∁RA）∪B＝{x|﹣3≤x≤7}．
（Ⅱ）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，
所以B⊆A，
当B＝∅时，a﹣2＞2a﹣1，解得a＜﹣3．
当B≠∅时，或，
整理得a＞6或﹣3≤a＜﹣2．
综上所述：a＞6或a＜﹣2．
19．已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求tan（3α﹣2β）的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以＝＝tanα＝﹣；
（Ⅱ）因为，
可得tan（2α﹣2β）＝＝，
可得tan（3α﹣2β）＝＝．
20．已知定义在R上的奇函数f（x）＝b﹣（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值为，求a的值．
【解答】解：（Ⅰ）由f（0）＝b﹣＝0，解得：b＝1，
经检验成立，故b＝1；
（Ⅱ）当a＞1时，函数f（x）＝1﹣单调递增，
故f（x）max＝f（1）＝1﹣＝，解得：a＝2，
当0＜a＜1时，函数f（x）＝1﹣单调递减，
故f（x）max＝f（﹣1）＝1﹣＝，解得：a＝，
故a＝2或．
21．已知函数f（x）＝sin2x+2sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间
（Ⅱ）当时，关于x的方程[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0恰有三个不同的实数根，求m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin2x+2sin2x＝sin2x﹣cs2x+1＝
由，得，
∴f（x）的单调递增区间为．
（Ⅱ）∵[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0，∴[f（x）﹣m][f（x）﹣m﹣1]＝0，
∴f（x）＝m或f（x）＝m+1共有三个不同实根，
即 或 共有三个不同交点，
因为，∴，
由图可知， 且 或 且 ，
∴m∈∅或，∴，
∴m的取值范围为．
22．设函数f（x）＝a（cs2x+csx+1）﹣csx﹣1，g（x）＝﹣2asin2x+（1﹣a）sinx，其中a＞0．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的值域；
（2）记|f（x）|的最大值为M，
①求M；
②求证：|g（x）|≤2M．
【解答】解：（1）f（x）＝acs2x+（a﹣1）csx+a﹣1，
当a＝2时，f（x）＝2cs2x+csx+1＝4cs2x+csx﹣1＝4（csx+）2﹣，
因为csx∈[﹣1，1]，所以f（x）∈[﹣，4]．
（2）①设t＝csx，t∈[﹣1，1]，h（t）＝2a（t﹣）2﹣，
对称轴为t＝，开口向上，h（﹣1）＝a，h（1）＝3a﹣2，h（）＝﹣，
当0时，x＝≥1，|a|≤|3a﹣2|，所以M＝2﹣3a；
当＜a≤1时，x＝∈[0，1），|h（）|＞|h（﹣1）|，所以M＝；
当a＞1时，x＝∈（﹣1，0），|h（）|＜|h（1）|，
综上所述，M＝，
②证明：|g（x）|＝|﹣2asin2x+（1﹣a）sinx|≤|﹣2asin2x|+|（1﹣a）sinx|≤2a+|1﹣a|＝，
当0＜a≤时，（a+1）﹣2（2﹣3a）＝7a﹣3≤﹣3＜0，
当＜a≤1时，M＝＝++≥1，所以a+1＜2M，
当a＞1时，3a﹣1﹣2（3a﹣2）＝﹣3a+3＜0，
所以|g（x）|≤2M，得证．
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日期：2022/1/1 11:32:26；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.cm；学号：28144983