四川省南充市2020-2021学年八年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份四川省南充市2020-2021学年八年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题每小题都有代号为A等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年四川省南充市八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分。
1．下列是部分防疫图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．计算2﹣1+30＝（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．a3•a3＝a9 B．a5÷a3＝a2
C．（a3）2＝a5 D．（a2b）3＝a2b3
4．已知x2+x﹣6＝（x+a）（x+b），则（　　）
A．ab＝6 B．ab＝﹣6 C．a+b＝6 D．a+b＝﹣6
5．在△ABC中，AB＝AC，点B，点C在直角坐标系中的坐标分别是（2，0），（﹣2，0），则点A的坐标可能是（　　）
A．（0，2） B．（0，0） C．（2，﹣2） D．（﹣2，2）
6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD上的点，且AE＝CF，则下列说法正确的是（　　）

A．∠1﹣∠2＝90° B．∠1＝∠2+45° C．∠1+∠2＝180° D．∠1＝2∠2
7．已知m2﹣3m﹣1＝0，则m﹣＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，连接BC′，B′C，CC′，下列结论：①l垂直平分CC′；②∠BAC′＝∠B′AC；③△BCC′≌△B′C′C；④直线BC和B′C′的交点一定在l上，其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．若分式在x＞3时都有意义，则a应满足的条件是（　　）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，∠ABC＝30°，DC＝2．动点P从点B出发，沿着B→C→A运动，当S△PBE＝4时，则∠PEB度数是（　　）

A．105° B．75°或105° C．150° D．75°或150°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上。
11．计算：＝　 　．
12．过多边形的一个顶点作对角线，可将多边形分成5个三角形，则多边形的边数是 　 　．
13．如图，已知△ABC≌△DEF，∠B＝30°，∠F＝40°，则∠A的度数是 　 　．

14．分解因式：xy2﹣x＝　 　．
15．已知a+b＝4，ab＝2，则a2+b2＝　 　．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD⊥AC于点D，AE平分∠BAC，且AE⊥BC于点E，与BD相交于点G，H是AB边的中点，连接DH与AE相交于点F．下列结论：①AG＝BC；②DG＝BG；③∠GBE＝22.5°；④BE＜AF．其中正确结论有 　 　（填写序号）．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤。
17．计算：
（1）（2ab﹣b2）÷b；
（2）（a+b）（a﹣2b）﹣（a+b）2．
18．先化简，再求值：（1﹣）÷+，其中a＝﹣2．
19．如图，BD⊥AC，∠1＝∠2，∠C＝66°，求∠ABC的度数．

20．解分式方程：
（1）＝；
（2）＝1+．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，﹣2）．
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；
（2）写出B′和C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．

22．某中学八年级学生进行课外实践活动，要测池塘两端A，B的距离，因无法直接测量，经小组讨论决定，先在地上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接AO并延长到点C，使AO＝CO；连接BO并延长到点D，使BO＝DO，连接CD并测出它的长度．
（1）根据题中描述，画出图形；
（2）CD的长度就是A，B两点之间的距离，请说明理由．

23．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，AB的垂直平分线EF分别交AB，BD，BC于点E，G，F，连接AG，CG．
（1）求证：BG＝CG；
（2）若∠ABC＝42°，求∠CGF的度数．

24．2020年7月24号，四川省人民政府正式批复成立南充临江新区，新区某绿化工程由甲、乙两个工程队共同参加．已知甲，乙工程队在单独完成面积为600m2绿化时，乙队比甲队多用3天，且甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成面积的2倍．
（1）求甲，乙两队每天各完成的绿化面积；
（2）因工程进度要求在30天内完成7200m2绿化，甲、乙两个工程队至少有多少天必须共同参加施工？
25．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，点D是射线AC上一点（点D与点A不重合），连接BD，以BD为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE交BC于点F．
（1）如图1，点D在线段AC上．
①求证：AF＝EF；
②已知AD＝，BF＝，m，n都是整数，求m，n的值；
（2）如图2，如果点D在AC延长线上（其它条件不变），AD＝3BF，求AD的长．




参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分。
1．下列是部分防疫图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．计算2﹣1+30＝（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
【分析】利用负整数指数幂和零指数幂的意义进行化简计算即可．
解：原式＝+1＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数的计算，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，利用实数运算法则进行正确的化简计算是解题的关键．
3．下列运算正确的是（　　）
A．a3•a3＝a9 B．a5÷a3＝a2
C．（a3）2＝a5 D．（a2b）3＝a2b3
【分析】直接利用积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
解：A．a3•a3＝a6，故此选项不合题意；
B．a5÷a3＝a2，故此选项符合题意；
C．（a3）2＝a6，故此选项不合题意；
D．（a2b）3＝a6b3，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．已知x2+x﹣6＝（x+a）（x+b），则（　　）
A．ab＝6 B．ab＝﹣6 C．a+b＝6 D．a+b＝﹣6
【分析】先利用十字相乘法去掉括号，再根据等是的性质得a+b＝1，ab＝﹣6．
解：∵x2+x﹣6＝（x+a）（x+b），
∴x2+x﹣6＝x2+（a+b）x+ab，
∴a+b＝1，ab＝﹣6；
故选：B．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，这是解题关键．
5．在△ABC中，AB＝AC，点B，点C在直角坐标系中的坐标分别是（2，0），（﹣2，0），则点A的坐标可能是（　　）
A．（0，2） B．（0，0） C．（2，﹣2） D．（﹣2，2）
【分析】由题意可知BO＝CO，又AB＝AC，得点A在y轴上，即可求解．
解：由题意可知BO＝CO，
∵又AB＝AC，
∴AO⊥BC，
∴点A在y轴上，
∴A符合题意，B选项三点共线，
故选：A．
【点评】本题考查了平面直角坐标系点的特征，解题关键是分析出点A的位置．
6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD上的点，且AE＝CF，则下列说法正确的是（　　）

A．∠1﹣∠2＝90° B．∠1＝∠2+45° C．∠1+∠2＝180° D．∠1＝2∠2
【分析】由“SAS”可证△ABE≌△CBF，可得∠AEB＝∠2，即可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB＝∠2，
∵∠AEB+∠1＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
7．已知m2﹣3m﹣1＝0，则m﹣＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意可知m﹣﹣3＝0，然后整理即可求出答案．
解：∵m2﹣3m﹣1＝0且m≠0，
∴m﹣﹣3＝0，
∴m﹣＝3，
故选：C．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键根据题意得出m﹣﹣3＝0，本题属于基础题型．
8．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，连接BC′，B′C，CC′，下列结论：①l垂直平分CC′；②∠BAC′＝∠B′AC；③△BCC′≌△B′C′C；④直线BC和B′C′的交点一定在l上，其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得△ABC和△AB′C′全等，然后对各小题分析判断后解可得到答案．
解：∵△ABC和△AB′C′关于直线L对称，
∴①l垂直平分CC′；
②∠BAC′＝∠B′AC；
③△BCC′≌△B′C′C；
④直线BC和B′C′的交点一定在l上，
综上所述，正确的结论有4个，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，根据成轴对称的两个图形能够完全重合判断出两个三角形全等是解题的关键．
9．若分式在x＞3时都有意义，则a应满足的条件是（　　）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
解：∵分式在x＞3时都有意义，x﹣a＞0，
∴a≤3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，∠ABC＝30°，DC＝2．动点P从点B出发，沿着B→C→A运动，当S△PBE＝4时，则∠PEB度数是（　　）

A．105° B．75°或105° C．150° D．75°或150°
【分析】分两种情况：当点P在BC边上时，如图1，连接EP，过点E作EF⊥BC于F，根据平行线之间距离相等可得：EF＝CD＝2，由含30°角的直角三角形性质可得：BE＝2EF＝4，再结合三角形面积即可得出BP＝BE，最后运用三角形内角和定理及等腰三角形性质即可；当点P在AC边上时，如图2，过点P作PG⊥AB于点G，利用角平分线判定定理可得出：BP平分∠ABC，即点P与点D重合，再利用平行线性质即可．
解：当点P在BC边上时，如图1，连接EP，过点E作EF⊥BC于F，
∵DE∥BC，EF⊥BC，DC⊥BC，
∴EF＝CD＝2，
在Rt△BEF中，∠BFE＝90°，∠ABC＝30°，
∴BE＝2EF＝4，
∵S△PBE＝4，
∴×BP×2＝4，
∴BP＝4，
∴BP＝BE，
∴∠PEB＝×（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣30°）＝75°；
当点P在AC边上时，如图2，过点P作PG⊥AB于点G，
∵S△PBE＝4，
∴×BE×PG＝4，即×4×PG＝4，
∴PG＝2，
∵PC⊥BC，PG⊥AB，PG＝PC＝2，
∴BP平分∠ABC，即点P与点D重合，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣30°＝150°，
即∠PEB＝150°，
综上所述，∠PEB＝75°或150°，
故选：D．


【点评】本题考查了直角三角形性质，角平分线性质和判定定理，平行线性质，三角形面积等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上。
11．计算：＝　2x　．
【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．
解：＝＝2x．
故答案为：2x．
【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质化简是解题关键．
12．过多边形的一个顶点作对角线，可将多边形分成5个三角形，则多边形的边数是 　7　．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成（n﹣2）个三角形，依此可得n的值．
解：设多边形的边数为n，
由题意得，n﹣2＝5，
解得：n＝7，
即这个多边形是七边形．
故选：7．
【点评】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
13．如图，已知△ABC≌△DEF，∠B＝30°，∠F＝40°，则∠A的度数是 　110°　．

【分析】先根据全等三角形的性质得到∠C＝∠F＝40°，然后根据三角形内角和求∠F的度数．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠C＝∠F＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
14．分解因式：xy2﹣x＝　x（y﹣1）（y+1）　．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：xy2﹣x，
＝x（y2﹣1），
＝x（y﹣1）（y+1）．
故答案为：x（y﹣1）（y+1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15．已知a+b＝4，ab＝2，则a2+b2＝　12　．
【分析】利用完全平方公式配方进而将已知代入求出即可．
解：∵a+b＝4，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确配方得出是解题关键．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD⊥AC于点D，AE平分∠BAC，且AE⊥BC于点E，与BD相交于点G，H是AB边的中点，连接DH与AE相交于点F．下列结论：①AG＝BC；②DG＝BG；③∠GBE＝22.5°；④BE＜AF．其中正确结论有 　①③　（填写序号）．

【分析】证明△ADG≌△BDC（ASA），由全等三角形的性质得出AG＝BC，则①正确；由角平分线的定义得出③正确；过点G作GM⊥AB于点M，由角平分线的性质得出DG＜BG，可判断②错误；连接BF，由等腰直角三角形的性质及中垂线的性质可得出④错误．
解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AE⊥BC，BD⊥AC，
∴∠BEA＝∠AEC＝∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠GBE+∠BGE＝90°，
∵∠AGD＝∠BGE，
∴∠DAG＝∠GBE，
∵∠BDA＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠DAB＝45°＝∠ABD，
∴BD＝AD，
在△ADG和△BDC中，
，
∴△ADG≌△BDC（ASA），
∴AG＝BC，
故①正确；
过点G作GM⊥AB于点M，

∵AG平分∠DAB，DG⊥AC，GM⊥AB，
∴DG＝GM，
∵GM＜BG，
∴DG＜BG，
故②错误；
∵∠DAB＝45°，∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAG＝∠GBE＝22.5°，
故③正确；
如图，连接BF，

∵△ABD是等腰直角三角形，H是AB的中点，
∴DH⊥AB，
∴DH是AB的是中垂线，
∴AF＝BF，
∵BF＞BE，
∴AF＞BE．
故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质是本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤。
17．计算：
（1）（2ab﹣b2）÷b；
（2）（a+b）（a﹣2b）﹣（a+b）2．
【分析】（1）利用多项式除以单项式的运算法则进行计算；
（2）先利用完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后去括号，合并同类项进行化简．
解：（1）原式＝2ab÷b﹣b2÷b
＝2a﹣b；
（2）原式＝a2﹣2ab+ab﹣2b2﹣（a2+2ab+b2）
＝a2﹣2ab+ab﹣2b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝﹣3ab﹣3b2．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握多项式除以单项式，多项式乘多项式的运算法则，完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构是解题关键．
18．先化简，再求值：（1﹣）÷+，其中a＝﹣2．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入化简后的式子即可求出答案．
解：原式＝（﹣）÷+
＝•+
＝+
＝，
当a＝﹣2时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19．如图，BD⊥AC，∠1＝∠2，∠C＝66°，求∠ABC的度数．

【分析】利用三角形的内角和定理先求出∠2、∠CBD的度数，再利用角的和差关系求出∠ABC的度数．
解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°．
∵∠1＝∠2，∠C＝66°，
∴∠1＝∠2＝ADB＝45°，
∠CBD＝∠ADB﹣∠C＝24°．
∴∠ABC＝∠2+∠CBD
＝45°+24°
＝69°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和等于180°“是解决本题的关键．
20．解分式方程：
（1）＝；
（2）＝1+．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：2（2x﹣3）＝x+1，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：（x+1）（2x﹣3）≠0，
∴分式方程的解为x＝；
（2）去分母得：2（2﹣x）＝x（2﹣x）+x（x﹣1），
整理得：4﹣2x＝2x﹣x2+x2﹣x，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：x（2﹣x）≠0，
∴分式方程的解为x＝．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，﹣2）．
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；
（2）写出B′和C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．

【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）B′（﹣5，6），C′（8，2）；
（3）S△ABC＝8×6﹣×8×4﹣×2×4﹣×6×4＝18．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是周围轴对称变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
22．某中学八年级学生进行课外实践活动，要测池塘两端A，B的距离，因无法直接测量，经小组讨论决定，先在地上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接AO并延长到点C，使AO＝CO；连接BO并延长到点D，使BO＝DO，连接CD并测出它的长度．
（1）根据题中描述，画出图形；
（2）CD的长度就是A，B两点之间的距离，请说明理由．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
解：（1）图形如图所示：


（2）连接AB．
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD，
∴CD的长度就是A，B两点之间的距离．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用全等三角形的性质解决问题．
23．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，AB的垂直平分线EF分别交AB，BD，BC于点E，G，F，连接AG，CG．
（1）求证：BG＝CG；
（2）若∠ABC＝42°，求∠CGF的度数．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出AD＝CD，BD⊥AC，则AG＝CG，由垂直平分线的性质得出AG＝BG，则可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠BFE的度数，由等腰三角形的性质求出∠BCG，根据三角形外角的性质可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴AD＝CD，BD⊥AC，
∴AG＝CG，
∵AB的垂直平分线EF交BD于G，
∴AG＝BG，
∴BG＝CG；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BEF＝90°，
∵∠ABC＝42°，
∴∠BFE＝90°﹣∠ABC＝48°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠GBC＝∠ABC＝＝21°，
∵BG＝CG，
∴∠GBC＝∠GCB＝21°，
∴∠CGF＝∠BFE﹣∠GCF＝48°﹣21°＝27°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
24．2020年7月24号，四川省人民政府正式批复成立南充临江新区，新区某绿化工程由甲、乙两个工程队共同参加．已知甲，乙工程队在单独完成面积为600m2绿化时，乙队比甲队多用3天，且甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成面积的2倍．
（1）求甲，乙两队每天各完成的绿化面积；
（2）因工程进度要求在30天内完成7200m2绿化，甲、乙两个工程队至少有多少天必须共同参加施工？
【分析】（1）设乙队每天完成的绿化面积为xm2，则甲队每天完成的绿化面积为2xm2，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲，乙工程队在单独完成面积为600m2绿化时乙队比甲队多用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出乙队每天完成的绿化面积，再将其代入2x中即可求出甲队每天完成的绿化面积；
（2）设甲、乙两个工程队有m天共同参加施工，则甲工程队单独施工（30﹣m）天，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合30天内至少完成7200m2绿化，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：（1）设乙队每天完成的绿化面积为xm2，则甲队每天完成的绿化面积为2xm2，
依题意得：﹣＝3，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×100＝200．
答：甲队每天完成的绿化面积为200m2，乙队每天完成的绿化面积为100m2．
（2）设甲、乙两个工程队有m天共同参加施工，则甲工程队单独施工（30﹣m）天，
依题意得：（200+100）m+200（30﹣m）≥7200，
解得：m≥12．
答：甲、乙两个工程队至少有12天必须共同参加施工．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，点D是射线AC上一点（点D与点A不重合），连接BD，以BD为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE交BC于点F．
（1）如图1，点D在线段AC上．
①求证：AF＝EF；
②已知AD＝，BF＝，m，n都是整数，求m，n的值；
（2）如图2，如果点D在AC延长线上（其它条件不变），AD＝3BF，求AD的长．


【分析】（1）①过点E作EG⊥BC于G，证明△EGB≌△BCD，根据全等三角形的性质得到EG＝BC＝AC，再证明△EGF≌△ACF，根据全等三角形的性质证明结论；
②根据全等三角形的性质得到BG＝CD，GF＝FC，得到（m﹣3）（2n﹣1）＝3，根据题意列出方程组，积分下载得到答案；
（2）过点E作EH⊥CB交CB的延长线于点H，证明△EHB≌△BCD，根据全等三角形的性质得到CD＝BH，EH＝AC＝BC＝1，证明△EFH≌△AFC，得到HF＝FC，根据题意计算即可．
【解答】（1）①证明：如图1，过点E作EG⊥BC于G，
则∠BEG+∠EBG＝90°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DBC+∠EBG＝90°，
∴∠BEG＝∠DBC，
在△EGB和△BCD中，
，
∴△EGB≌△BCD（AAS），
∴EG＝BC＝AC，
在△EGF和△ACF中，
，
∴△EGF≌△ACF（AAS），
∴AF＝EF；
②解：∵△EGB≌△BCD，
∴BG＝CD，
∴CG＝AD＝，
∵△EGF≌△ACF，
∴GF＝FC＝，
∴1﹣＝，
整理得：2mn﹣m＝6n，
∴2mn﹣6n＝m，
∴2n（m﹣3）﹣（m﹣3）＝3，
∴（m﹣3）（2n﹣1）＝3，
∵m，n都是整数，
∴或，
解得：或，
∴m＝4，n＝2或m＝6，n＝1；
（2）解：如图2，过点E作EH⊥CB交CB的延长线于点H，
则∠BEH+∠EBH＝90°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DBC+∠EBH＝90°，
∴∠BEH＝∠DBC，
在△EHB和△BCD中，
，
∴△EHB≌△BCD（AAS），
∴CD＝BH，EH＝AC＝BC＝1，
∴△EFH≌△AFC（AAS），
∴HF＝FC＝CH，
设CD＝BH＝x，
∴CH＝1+x，
∴BF＝BF＝（1+x）﹣x＝﹣x，
∵AD＝3BF，
∴1+x＝3（﹣x），
解得：x＝，
∴AD＝1+＝．


【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．