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2021-2022学年北师大版八年级上册数学期末复习综合训练题（word版 含答案）
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这是一份2021-2022学年北师大版八年级上册数学期末复习综合训练题（word版 含答案），共37页。试卷主要包含了6℃，36，5x，y2＝1等内容，欢迎下载使用。
2021-2022北师大版八上数学期末复习综合训练题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（ ）．
A．第一周体温的中位数为37.1℃ B．这两周体温的众数为36.6℃
C．第一周平均体温高于第二周平均体温 D．第二周的体温比第一周的体温更加平稳
2．下列说法正确的是（ ）
A．＝±5 B．﹣42的平方根是±4 C．64的立方根是±4 D．（）2＝2
3．如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（ ）
A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°）
4．把化成最简二次根式，正确结果是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．36 B．76 C．66 D．12
6．在平面直角坐标系中，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是( )
①当＝5时，方程组的解是； ②当，的值互为相反数时，＝20；
③当＝16时，＝18； ④不存在一个实数使得＝．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y=kx+1与y轴的交点，若点A关于直线y=kx+1的对称点恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（ ）
A．-2< t < 2 B．-2 < t < 2 C．-2 < t <-2或2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．在平面内，已知M(3，0)，N(﹣2，0)，则线段MN的中点坐标P(____，____)，MN长度为_______．
12．比较和的大小：______(用“”，“”或“=”连接)．
13．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则a+b的值为 ___．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则______．
15．若关于x，y的二元一次方程组（m为常数）的解都是自然数，且x，y满足（为整数），则的不同的值有 个
16．已知点B（3，1）和直线l：y＝﹣x+2，A是直线l上一点，连接AB，以A为直角顶点作等腰直角三角形ABC，使点C落在第一象限，当AC最短时，点C的坐标是 ________．
17．如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是______．
18．如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推，按照图中反应的规律，第个正方形的边长是_______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：（﹣2）×﹣6；（2）解方程组：．
20．已知四边形OABC，O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（4，﹣3），C（3，0），在如图所示的平面直角坐标系中画出四边形OABC和它关于y轴对称的四边形OA′B′C′，并分别写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标．
21．“新冠肺炎疫情期间，戴口罩成为了每个人外出时的习惯．为满足大家使用口罩的实际需求，某药店采用A、B两类不同的包装方式出售医用口罩．A类包装每包装有10只口罩，按15元/包定价销售；B类包装则采用每只口罩独立包装的方式销售，售价如下表：
口罩的数量
售价
不超过10只的部分
2元/只
10只以上的部分
1.6元/只
设共购买口罩的数量为x只（x为10的倍数），购买A类包装口罩的金额为y1元，购买B类包装口罩的金额为y2元．（1）求y1与x之间的函数关系式，并直接写出当x＞10时y2与x之间的函数关系式；
（2）小颖购买了以上两种不同包装的口罩共有100只，且购买的B类包装口罩不低于10只，合计付款160元，求小颖买了多少包A类包装口罩．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b（k1≠0）经过点A（4，0），B（0，2），与直线l2：y＝k2x（k2≠0）交于点P（a，1）．（1）求直线l1、l2的表达式；（2）C为直线上一点，过点C作直线m⊥x轴于E，直线m交l2于点D．当CD＝3ED时，求C点的坐标．
23．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．新冠疫情期间某校为了解学生在停课不停学中的阅读情况，（七、八年级学生人数相同），某周从这七、八年级学生中分别随机抽查了40名同学，调查了他们周一至周五的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：
年级
参加阅读人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
25
30
40
30
八年级
20
26
24
30
40
合计
45
56
59
70
70
（1）填空： ________；（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均阅读时间的中位数
参加阅读人数的方差
七年级
27分钟
________
八年级
________分钟
46.4
（3）请你结合周一至周五阅读人数统计表，估计该校七、八年级共1120名学生中，周一至周五平均每天有多少人进行阅读？
24．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________．
迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________．
（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________．
迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________．
（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
25．某研究性学习小组进行了探究活动，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与AC、BC的交点．（1）如图①，当三角板的一条直角边与OB重合时，点M与点A也重合，
①求此时CN的长；②写出、、 满足的数量关系_____________________；
（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合）①猜想图②中、、、这四条线段满足的数量关系：____________________________；②说明你得出此结论的理由．
（3）若在三角板旋转的过程中满足CM＝CN，请你利用图③并联系上述结论，直接写出此时BN长＝ ．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx＋3k（k≠0）交x轴于点B，交y轴于点A，AB＝3．（1）求点A的坐标；（2）点C为x轴正半轴上一点，∠BAO＝∠ACO，点M为线段AC上一动点，设M的纵坐标为a（a≠0），请用含a的代数式表示点M到y轴的距离d；
（3）在（2）的条件下，过点M作MN∥AB交x轴于点N，连接BM，AN，当△ABM为等腰三角形时，求△AMN的面积．
2021-2022北师大版八上数学期末复习综合训练题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（ ）．
A．第一周体温的中位数为37.1℃ B．这两周体温的众数为36.6℃
C．第一周平均体温高于第二周平均体温 D．第二周的体温比第一周的体温更加平稳
【答案】A
【分析】结合题意，根据中位数、众数、平均值、方差的定义，对各个选项依次计算，即可得到答案．
【详解】第一周体温为：36.6℃，36.6℃，36.7℃，36.9℃，37.1℃，37.1℃，37.1℃
∴第一周体温的中位数为：36.9℃，即选项A错误，符合题意；
第二周体温为：36.6℃，36.6℃，36.6℃，36.7℃，36.7℃，36.8℃，36.8℃
∴这两周体温的众数为：36.6℃，故选项B正确，不符合题意；
第一周平均体温为：36.87℃ 第二周平均体温为：36.69℃
∴第一周平均体温高于第二周平均体温，故选项C正确，不符合题意；
第一周体温方差为：0.05℃ 第一周体温方差为：0.007℃
∴第二周的体温比第一周的体温更加平稳，故选项D正确，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均值、方差的知识；解题的关键是熟练掌握中位数、众数、平均值、方差的性质，从而完成求解．
2．下列说法正确的是（ ）
A．＝±5 B．﹣42的平方根是±4 C．64的立方根是±4 D．（）2＝2
【答案】D
【分析】利用算术平方根、平方根、立方根的定义进行判断即可得到正确的答案．
【详解】解：A、＝5，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、因为﹣42＝﹣16，所以﹣42没有平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、64的立方根是4，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、（）2＝2．原说法正确，故此选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握定义是解题关键．
3．如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（ ）
A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°）
【答案】C
【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标（5，30°），（2，90°），（4，240°），（3，300°），即可判断．
【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，
由题意可知、、、的坐标可表示为：（5，30°），故A不正确；
（2，90°），故B不正确；（4，240°），故C正确；（3，300°），故D不正确．故选择：C．
【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C、F两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数是解题关键．
4．把化成最简二次根式，正确结果是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将看成整体，进行符号变换，然后进行二次根式化简就即可．
【详解】解：因为，故，∴，∴故选：D．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简，掌握题目中符号的变换是解题关键．
5．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．36 B．76 C．66 D．12
【答案】B
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【详解】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169，所以x＝13，
所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
6．在平面直角坐标系中，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据得y随x的增大而减小，据此可得结论．
【详解】解：∵中∴y随x的增大而减小，∵ ∴故选：C
【点睛】此题主要考查发一次函数的图象上点的坐标特征，以及一次函数的性质，关键是掌握时，y随x在增大而增大，函数从左向右上升；时，y随x在增大而减小，函数从左向右下降；直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
7．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】沿着上面和棱将A点翻折至处，分三种情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可．
【详解】解：沿着上面和棱将A点翻折至处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，
将容器展开：
∵ ∴蚂蚁需爬行的最短距离是故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能分类讨论是解题的关键．
8．已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是( )
①当＝5时，方程组的解是； ②当，的值互为相反数时，＝20；
③当＝16时，＝18； ④不存在一个实数使得＝．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【答案】C
【分析】①把a＝5代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到x+y＝0，代入方程组求出a的值，即可做出判断；
③当＝16时，得到x+y=4，即y=4﹣x，代入方程组求出a的值，即可做出判断；
④假如x＝y，得到a无解，本选项正确；．
【详解】解：①把a＝5代入方程组得：，解得：，本选项错误；
②由x与y互为相反数，得x+y＝0，即y＝﹣x，代入方程组得：，得a＝20，本选项正确；
③当＝16时，得到x+y=4，即y=4﹣x代入方程组得：，解得：a＝18，本选项正确；
④若x＝y，则有，可得a＝a﹣5，矛盾，故不存在一个实数a使得x＝y，本选项正确；故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y=kx+1与y轴的交点，若点A关于直线y=kx+1的对称点恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（ ）
A．-2< t < 2 B．-2 < t < 2 C．-2 < t <-2或2
【分析】根据条件，可以求得点关于直线的对称点的坐标，再根据在图形中的位置，得到关于的方程组．
【详解】解：点在直线上，，得到，于是直线的表达式是．
于是过点与直线垂直的直线解析式为．
联立方程组，解得，则交点．
根据中点坐标公式可以得到点，
点在长方形的内部，解得或者．
本题答案：或者．故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质，解题的关键是明白该题涉及直线垂直时“”之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式需要熟悉．
10．如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．在平面内，已知M(3，0)，N(﹣2，0)，则线段MN的中点坐标P(____，____)，MN长度为_______．
【答案】 0 5
【分析】观察M、N两点坐标可知横坐标相等，直线MN在x轴上，线段MN的长为两点纵坐标的差；MN中点横坐标与M、N两点横坐标相同，纵坐标为两点纵坐标的平均数．
【详解】解：∵点M（3，0）和点N（-2，0）横坐标相等，∴MN在x轴上，MN=3-（-2）=5，
MN中点的坐标为（，0），即（，0）．故答案填：、0，5．
【点睛】本题考查了点的坐标与坐标轴平行的关系，以及在平行线上求相等长度、中点坐标的一般方法．
12．比较和的大小：______(用“”，“”或“=”连接)．
【答案】
【分析】二次根式比较大小，只需比较被开方数大小，即将被开方数平方即可．
【详解】解：∵，，，∴．故答案为．
【点睛】本题考查了无理数比较大小，解题关键是明确算术平方根比较大小，被开方数大的数较大．
13．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则a+b的值为 ___．
【答案】
【分析】将代入中，求出的值，然后将的值代入求出的值，计算即可．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴将代入中得：，解得：，即，将、代入中得：
，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟知二元一次方程组的解是能使方程组成立的未知数的值．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则______．
【答案】169
【分析】根据“垂美”四边形，得到AC⊥BD，由勾股定理得，由此求出答案．
【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，∴AC⊥BD，
∴，∴
∵，∴169，故答案为：169．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义构建勾股定理的等式是解题的关键．
15．若关于x，y的二元一次方程组（m为常数）的解都是自然数，且x，y满足（为整数），则的不同的值有 个
【答案】3
【分析】根据题意先两式相减消去m，得到关于x,y的二元一次方程，求出满足条件的整数解即可.
【详解】解：由加减消元法得，x+4y=16,
∵关于x，y的二元一次方程组(m为常数)的解都是自然数，
∴ , ,,.
∵x，y满足(为整数)，∴ , ,.
∴k=12，4或0.即的不同的值有3个.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的含参方程的解法，先把m消去求出x,y的整数解是解题的关键.
16．已知点B（3，1）和直线l：y＝﹣x+2，A是直线l上一点，连接AB，以A为直角顶点作等腰直角三角形ABC，使点C落在第一象限，当AC最短时，点C的坐标是 ________．
【答案】（1，1）
【分析】AC最短时AB垂直于AD，作CE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，通过点B坐标求出点C坐标．
【详解】解：∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，
∴当AC最短时，AB最短，此时AB⊥直线l，作CE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，
把x＝0代入y＝﹣x+2得y＝2，把y＝0代入y＝﹣x+2得x＝2，∴OD＝OA＝2，
∴DOA为等腰直角三角形，∠DAO＝45°，∵BA⊥AD，∴∠BAF＝45°，
∵∠CAE+∠BAF＝90°，∴∠CAE＝45°，∴AC与直线l重合，CAE为等腰直角三角形，
∵AF＝OF﹣OA＝3﹣2＝1，BF＝1，∴AC＝AB＝＝，
∵CE2+AE2＝AC2＝2，CE＝AE，∴CE＝AE＝1，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣1＝1，
∴点C坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是由题干得AC最短时AB⊥AD，通过添加辅助线求解．
17．如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是______．
【答案】
【分析】作于，作关于和的对称点和，连接交于，交于，则，求得即可；
【详解】解：如图2，作于，作关于和的对称点和，
连接交于，交于，由对称性得，，，
，，，，
，即△DEF周长的最小值是GH的长，，
，
是正三角形，，
，，，，
的周长的最小值是；故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解决问题的关键是运用“将军饮马”模型和将问题转化为AD的最值问题．
18．如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推，按照图中反应的规律，第个正方形的边长是_______．
【答案】
【分析】通过计算可得第一个正方形的边长为2，第二个正方形的边长为6，……，通过探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：由题意，，，，第一个正方形的边长为2，，
，，，第二个正方形的边长为6，，
，，即：， ，，
第三个正方形的边长为18，，，即：， ，
，可得，，，，
第2020个正方形的边长为．故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：（﹣2）×﹣6；（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）二次根式的混合运算，注意先算乘除，后算加减；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组求解．
【详解】解：（1）（﹣2）×﹣6＝3﹣6﹣3＝﹣6；
（2）
①×3得：9x﹣6y＝3③，
②×2得：4x＋6y＝﹣14④，
③＋④得：x＝﹣，
把x＝﹣代入①得：y＝﹣，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组和二次根式混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
20．已知四边形OABC，O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（4，﹣3），C（3，0），在如图所示的平面直角坐标系中画出四边形OABC和它关于y轴对称的四边形OA′B′C′，并分别写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标．
【答案】作图见解析，A′（2，﹣4），B′（-4，﹣3），C′（-3，0）．
【分析】根据O（0，0），A（﹣2，﹣4），B（4，﹣3），C（3，0），在坐标系中画出四边形OABC，并画出其关于y轴对称的四边形OA′B′C′即可；根据图形即可写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标．
【详解】解：如图所示，四边形OABC即为所求；四边形OA′B′C′即为所求；
A′（2，﹣4），B′（-4，﹣3），C′（-3，0）．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是准确画图．注意：关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等．
21．“新冠肺炎疫情期间，戴口罩成为了每个人外出时的习惯．为满足大家使用口罩的实际需求，某药店采用A、B两类不同的包装方式出售医用口罩．A类包装每包装有10只口罩，按15元/包定价销售；B类包装则采用每只口罩独立包装的方式销售，售价如下表：
口罩的数量
售价
不超过10只的部分
2元/只
10只以上的部分
1.6元/只
设共购买口罩的数量为x只（x为10的倍数），购买A类包装口罩的金额为y1元，购买B类包装口罩的金额为y2元．（1）求y1与x之间的函数关系式，并直接写出当x＞10时y2与x之间的函数关系式；
（2）小颖购买了以上两种不同包装的口罩共有100只，且购买的B类包装口罩不低于10只，合计付款160元，求小颖买了多少包A类包装口罩．
【答案】（1）y1＝1.5x，y2＝1.6x＋4（x＞10）；（2）4包
【分析】（1）由金额＝单价×数量，可求解；（2）设买了a只A类包装口罩，b只B类包装口罩，由两种不同包装的口罩共有100只，且购买的B类包装口罩不低于10只，合计付款160元，列出方程组，即可求解．
【详解】解：（1）y1＝1.5x，y2＝2×10+1.6(x-10)=1.6x＋4（x＞10）；
（2）设买了a只A类包装口罩，b只B类包装口罩，
由题意可得：，解得：，40÷10=4包
答：小颖买了4包A类包装口罩．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b（k1≠0）经过点A（4，0），B（0，2），与直线l2：y＝k2x（k2≠0）交于点P（a，1）．（1）求直线l1、l2的表达式；（2）C为直线上一点，过点C作直线m⊥x轴于E，直线m交l2于点D．当CD＝3ED时，求C点的坐标．
【答案】（1）；；（2）点C（﹣4，4）或（，）
【分析】（1）把直线上的点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法可求得答案；
（2）设点，则点，点，由线段关系列出方程可求解．
【详解】解：（1）∵直线经过点A（4，0），B（0，2），
∴，∴，∴直线的解析式为，
当y＝1时，则 ，∴点P（2，1），∴，∴，∴直线的解析式为；
（2）设点，则点，点，
∴
∵CD＝3DE，或 ∴或，∴点或
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，二元一次方程组的解法，一次函数的性质，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．
23．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．新冠疫情期间某校为了解学生在停课不停学中的阅读情况，（七、八年级学生人数相同），某周从这七、八年级学生中分别随机抽查了40名同学，调查了他们周一至周五的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：
年级
参加阅读人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
25
30
40
30
八年级
20
26
24
30
40
合计
45
56
59
70
70
（1）填空： ________；（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均阅读时间的中位数
参加阅读人数的方差
七年级
27分钟
________
八年级
________分钟
46.4
（3）请你结合周一至周五阅读人数统计表，估计该校七、八年级共1120名学生中，周一至周五平均每天有多少人进行阅读？
【答案】（1）35；（2）32，26；（3）840人
【分析】（1）由统计表中的相应的合计数据减去八年级周三参加阅读的人数即可得出a的值；
（2）由统计图可得八年级平均阅读时间的中位数；根据统计表中数据得出七年级参加阅读人数的平均数，再按照方差的计算公式即可；（3）求出抽样中七八年级周一至周五平均每天参加阅读的人数所占的百分比，把这个百分比作为该校七八年级周一至周五平均每天参加阅读的人数所占的百分比，即可计算出至周一周五平均每天参加阅读的人数．
【详解】（1）由统计表可得：．
（2）由统计图可得八年级平均阅读时间的中位数为24．
七年级参加阅读人数的平均数为：，
七年级参加阅读人数的方差为：．
（3）（人）．∴周一至周五平均每天有840人进行阅读．
【点睛】本题考查了根据统计表计算中位数、方差等统计量，以及根据抽样结果对总体作出估计，熟练掌握相关统计知识及其应用是解题的关键．
24．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________．
迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________．
（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________．
迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________．
（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
【答案】【探究一】：见解析；【探究二】：S1+S2=S3；迁移应用：47；【探究三】S1+S2=S3；迁移应用：30；【探究四】绳索长为尺．
【分析】【探究一】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【探究二】由正方形面积公式以及勾股定理得S1+S2=S3；
迁移应用：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为正方形E的面积；
【探究三】利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小；
迁移应用：求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解；
【探究四】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：【探究一】：由题意得：②的面积为a2+b2+2ab=a2+b2+ab；
图③的面积为c2+2ab=c2+ab，
∴a2+b2+ab=c2+ab，即a2+b2=c2；
【探究二】S1+S2=S3．
证明如下：∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，
∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知
SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；故答案为：47；
【探究三】S1+S2=S3．
证明如下：∵S3=πc2，S1=πa2，S2=πb2，
∴S1+S2= πa2+πb2=πc2=S3；故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：阴影部分面积和=S1+S2+ab-S3=ab，
∵a=5，c=13，∴12，
∴阴影部分面积和=×5×12=30，故答案为：30；
【探究四】设绳索长为x尺，根据题意得：x2-（x-3）2=82，解得：x=，
答：绳索长为尺．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．
25．某研究性学习小组进行了探究活动，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与AC、BC的交点．（1）如图①，当三角板的一条直角边与OB重合时，点M与点A也重合，
①求此时CN的长；②写出、、 满足的数量关系_____________________；
（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合）①猜想图②中、、、这四条线段满足的数量关系：____________________________；②说明你得出此结论的理由．
（3）若在三角板旋转的过程中满足CM＝CN，请你利用图③并联系上述结论，直接写出此时BN长＝ ．
【答案】（1）①；②；（2）①；②理由见解析；（3）
【分析】（1）①根据勾股定理求得，根据题意可得,连接，可得；设，则在中，勾股定理即可求得，进而求得的长，②证明为的垂直平分线，进而可得，根据勾股定理即可求得、、的数量关系；
（2）①②，延长，使，连接、、，进而证明可得，根据，可得，在和中，勾股定理可得，，进而可得；（3）设，则，，代入（2）的结论即可求得的值，进而根据即可求得的值．
【详解】解：（1）①连接，如图，
∵，，∴，∵，，，∴，
∵点O是的中点，∴，设，则
在中，，解得∴，∴；
②；连接，如图，
∵，，∴，在中，，即，
故答案为：
（2）①；故答案为：
②理由如下：如图，延长，使，连接、、，
在和中，，∴，∴，，
∵，，∴，
∵，∴，即，
在和中，，，
∴，即；
（3）由（2）得：，设，则，，
代入上式得，解得，∴．故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，线段的垂直平分线的性质，旋转的性质，理解题意添加辅助线是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx＋3k（k≠0）交x轴于点B，交y轴于点A，AB＝3．（1）求点A的坐标；（2）点C为x轴正半轴上一点，∠BAO＝∠ACO，点M为线段AC上一动点，设M的纵坐标为a（a≠0），请用含a的代数式表示点M到y轴的距离d；
（3）在（2）的条件下，过点M作MN∥AB交x轴于点N，连接BM，AN，当△ABM为等腰三角形时，求△AMN的面积．
【答案】（1）A（0，9）；（2）；（3）或
【分析】（1）用k表示出OA，OB，利用勾股定理构建方程求解即可．（2）如图1中，过点C作∠ACB的角平分线交AB于H．利用全等三角形的性质证明CA＝CB，由此构建方程求解即可．（3）在（2）的条件下，AC＝BC，因为MN∥AB，推出AM＝BN，S△AMN＝S△BMN，分两种情形：①当AB＝BM时，过点B作BG⊥AC于G，②当AB＝AM时，分别求出直线MN的解析式，构建方程组即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意，直线直线AB：y＝kx＋3k（k≠0）交x轴于点B（﹣3，0），交y轴于点A（0，3k），在Rt△AOB中，AB2＝OA2＋OB2，∴32＋（3k）2＝（3）2，
∴k＝3或﹣3（舍弃），∴AO＝9，∴A（0，9）．
（2）如图1中，过点C作∠ACB的角平分线交AB于H．∴∠BCH＝∠ACB，
∵∠BAO＝∠ACO，∴∠BCH＝∠BAO，
∵∠BAO＋∠ABC＝90°，∴∠BCH＋∠ABO＝90°，∴∠CHB＝∠CHA＝90°，
∵CH＝CH，∠HCB＝∠HCA，∴△ACH≌△BCH（ASA），∴CA＝CB，
设C（m，0），则BC＝m＋3，AC2＝，∴(m＋3)2＝，∴m＝12，∴C（12，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x＋9，
∵M的纵坐标为a（a≠0），点M横坐标为d，∴a＝﹣d＋9，∴d＝﹣a＋12
（3）在（2）的条件下，AC＝BC，∵MN∥AB，∴AM＝BN，S△AMN＝S△BMN，
①当AB＝BM时，过点B作BG⊥AC于G，∴AG＝MG，
∵∠AOB＝∠BGA，∠ABC＝∠BAC，AB＝BA，∴△ABO≌△BAG（AAS），
∴BO＝AG＝3，∴BN＝AM＝2AG＝6，∴N（3，0），
∵MN∥AB，∵直线MN：y＝3x＋b过点N（3，0），∴b＝﹣9，∴直线MN的表达式为y＝3x﹣9，
由，解得，∴M（，），∴S△AMN＝S△BMN＝•BN•yM＝×6×＝．
②当AB＝AM时，N（﹣3＋3，0）∴直线MN的表达式为y＝3x＋9﹣9，
由，解得，∴M（，），
∴S△AMN＝S△BMN＝•BN•yM＝×3×＝．
2021-2022北师大版八上数学期末复习综合训练题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（ ）．
A．第一周体温的中位数为37.1℃ B．这两周体温的众数为36.6℃
C．第一周平均体温高于第二周平均体温 D．第二周的体温比第一周的体温更加平稳
2．下列说法正确的是（ ）
A．＝±5 B．﹣42的平方根是±4 C．64的立方根是±4 D．（）2＝2
3．如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（ ）
A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°）
4．把化成最简二次根式，正确结果是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．36 B．76 C．66 D．12
6．在平面直角坐标系中，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是( )
①当＝5时，方程组的解是； ②当，的值互为相反数时，＝20；
③当＝16时，＝18； ④不存在一个实数使得＝．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y=kx+1与y轴的交点，若点A关于直线y=kx+1的对称点恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（ ）
A．-2< t < 2 B．-2 < t < 2 C．-2 < t <-2或2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．在平面内，已知M(3，0)，N(﹣2，0)，则线段MN的中点坐标P(____，____)，MN长度为_______．
12．比较和的大小：______(用“”，“”或“=”连接)．
13．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则a+b的值为 ___．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则______．
15．若关于x，y的二元一次方程组（m为常数）的解都是自然数，且x，y满足（为整数），则的不同的值有 个
16．已知点B（3，1）和直线l：y＝﹣x+2，A是直线l上一点，连接AB，以A为直角顶点作等腰直角三角形ABC，使点C落在第一象限，当AC最短时，点C的坐标是 ________．
17．如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是______．
18．如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推，按照图中反应的规律，第个正方形的边长是_______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：（﹣2）×﹣6；（2）解方程组：．
20．已知四边形OABC，O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（4，﹣3），C（3，0），在如图所示的平面直角坐标系中画出四边形OABC和它关于y轴对称的四边形OA′B′C′，并分别写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标．
21．“新冠肺炎疫情期间，戴口罩成为了每个人外出时的习惯．为满足大家使用口罩的实际需求，某药店采用A、B两类不同的包装方式出售医用口罩．A类包装每包装有10只口罩，按15元/包定价销售；B类包装则采用每只口罩独立包装的方式销售，售价如下表：
口罩的数量
售价
不超过10只的部分
2元/只
10只以上的部分
1.6元/只
设共购买口罩的数量为x只（x为10的倍数），购买A类包装口罩的金额为y1元，购买B类包装口罩的金额为y2元．（1）求y1与x之间的函数关系式，并直接写出当x＞10时y2与x之间的函数关系式；
（2）小颖购买了以上两种不同包装的口罩共有100只，且购买的B类包装口罩不低于10只，合计付款160元，求小颖买了多少包A类包装口罩．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b（k1≠0）经过点A（4，0），B（0，2），与直线l2：y＝k2x（k2≠0）交于点P（a，1）．（1）求直线l1、l2的表达式；（2）C为直线上一点，过点C作直线m⊥x轴于E，直线m交l2于点D．当CD＝3ED时，求C点的坐标．
23．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．新冠疫情期间某校为了解学生在停课不停学中的阅读情况，（七、八年级学生人数相同），某周从这七、八年级学生中分别随机抽查了40名同学，调查了他们周一至周五的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：
年级
参加阅读人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
25
30
40
30
八年级
20
26
24
30
40
合计
45
56
59
70
70
（1）填空： ________；（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均阅读时间的中位数
参加阅读人数的方差
七年级
27分钟
________
八年级
________分钟
46.4
（3）请你结合周一至周五阅读人数统计表，估计该校七、八年级共1120名学生中，周一至周五平均每天有多少人进行阅读？
24．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________．
迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________．
（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________．
迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________．
（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
25．某研究性学习小组进行了探究活动，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与AC、BC的交点．（1）如图①，当三角板的一条直角边与OB重合时，点M与点A也重合，
①求此时CN的长；②写出、、 满足的数量关系_____________________；
（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合）①猜想图②中、、、这四条线段满足的数量关系：____________________________；②说明你得出此结论的理由．
（3）若在三角板旋转的过程中满足CM＝CN，请你利用图③并联系上述结论，直接写出此时BN长＝ ．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx＋3k（k≠0）交x轴于点B，交y轴于点A，AB＝3．（1）求点A的坐标；（2）点C为x轴正半轴上一点，∠BAO＝∠ACO，点M为线段AC上一动点，设M的纵坐标为a（a≠0），请用含a的代数式表示点M到y轴的距离d；
（3）在（2）的条件下，过点M作MN∥AB交x轴于点N，连接BM，AN，当△ABM为等腰三角形时，求△AMN的面积．
2021-2022北师大版八上数学期末复习综合训练题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（ ）．
A．第一周体温的中位数为37.1℃ B．这两周体温的众数为36.6℃
C．第一周平均体温高于第二周平均体温 D．第二周的体温比第一周的体温更加平稳
【答案】A
【分析】结合题意，根据中位数、众数、平均值、方差的定义，对各个选项依次计算，即可得到答案．
【详解】第一周体温为：36.6℃，36.6℃，36.7℃，36.9℃，37.1℃，37.1℃，37.1℃
∴第一周体温的中位数为：36.9℃，即选项A错误，符合题意；
第二周体温为：36.6℃，36.6℃，36.6℃，36.7℃，36.7℃，36.8℃，36.8℃
∴这两周体温的众数为：36.6℃，故选项B正确，不符合题意；
第一周平均体温为：36.87℃ 第二周平均体温为：36.69℃
∴第一周平均体温高于第二周平均体温，故选项C正确，不符合题意；
第一周体温方差为：0.05℃ 第一周体温方差为：0.007℃
∴第二周的体温比第一周的体温更加平稳，故选项D正确，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均值、方差的知识；解题的关键是熟练掌握中位数、众数、平均值、方差的性质，从而完成求解．
2．下列说法正确的是（ ）
A．＝±5 B．﹣42的平方根是±4 C．64的立方根是±4 D．（）2＝2
【答案】D
【分析】利用算术平方根、平方根、立方根的定义进行判断即可得到正确的答案．
【详解】解：A、＝5，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、因为﹣42＝﹣16，所以﹣42没有平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、64的立方根是4，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、（）2＝2．原说法正确，故此选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握定义是解题关键．
3．如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（ ）
A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°）
【答案】C
【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标（5，30°），（2，90°），（4，240°），（3，300°），即可判断．
【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，
由题意可知、、、的坐标可表示为：（5，30°），故A不正确；
（2，90°），故B不正确；（4，240°），故C正确；（3，300°），故D不正确．故选择：C．
【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C、F两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数是解题关键．
4．把化成最简二次根式，正确结果是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将看成整体，进行符号变换，然后进行二次根式化简就即可．
【详解】解：因为，故，∴，∴故选：D．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简，掌握题目中符号的变换是解题关键．
5．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．36 B．76 C．66 D．12
【答案】B
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【详解】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169，所以x＝13，
所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
6．在平面直角坐标系中，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据得y随x的增大而减小，据此可得结论．
【详解】解：∵中∴y随x的增大而减小，∵ ∴故选：C
【点睛】此题主要考查发一次函数的图象上点的坐标特征，以及一次函数的性质，关键是掌握时，y随x在增大而增大，函数从左向右上升；时，y随x在增大而减小，函数从左向右下降；直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
7．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】沿着上面和棱将A点翻折至处，分三种情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可．
【详解】解：沿着上面和棱将A点翻折至处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，
将容器展开：
∵ ∴蚂蚁需爬行的最短距离是故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能分类讨论是解题的关键．
8．已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是( )
①当＝5时，方程组的解是； ②当，的值互为相反数时，＝20；
③当＝16时，＝18； ④不存在一个实数使得＝．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【答案】C
【分析】①把a＝5代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到x+y＝0，代入方程组求出a的值，即可做出判断；
③当＝16时，得到x+y=4，即y=4﹣x，代入方程组求出a的值，即可做出判断；
④假如x＝y，得到a无解，本选项正确；．
【详解】解：①把a＝5代入方程组得：，解得：，本选项错误；
②由x与y互为相反数，得x+y＝0，即y＝﹣x，代入方程组得：，得a＝20，本选项正确；
③当＝16时，得到x+y=4，即y=4﹣x代入方程组得：，解得：a＝18，本选项正确；
④若x＝y，则有，可得a＝a﹣5，矛盾，故不存在一个实数a使得x＝y，本选项正确；故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y=kx+1与y轴的交点，若点A关于直线y=kx+1的对称点恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（ ）
A．-2< t < 2 B．-2 < t < 2 C．-2 < t <-2或2
【分析】根据条件，可以求得点关于直线的对称点的坐标，再根据在图形中的位置，得到关于的方程组．
【详解】解：点在直线上，，得到，于是直线的表达式是．
于是过点与直线垂直的直线解析式为．
联立方程组，解得，则交点．
根据中点坐标公式可以得到点，
点在长方形的内部，解得或者．
本题答案：或者．故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质，解题的关键是明白该题涉及直线垂直时“”之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式需要熟悉．
10．如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．在平面内，已知M(3，0)，N(﹣2，0)，则线段MN的中点坐标P(____，____)，MN长度为_______．
【答案】 0 5
【分析】观察M、N两点坐标可知横坐标相等，直线MN在x轴上，线段MN的长为两点纵坐标的差；MN中点横坐标与M、N两点横坐标相同，纵坐标为两点纵坐标的平均数．
【详解】解：∵点M（3，0）和点N（-2，0）横坐标相等，∴MN在x轴上，MN=3-（-2）=5，
MN中点的坐标为（，0），即（，0）．故答案填：、0，5．
【点睛】本题考查了点的坐标与坐标轴平行的关系，以及在平行线上求相等长度、中点坐标的一般方法．
12．比较和的大小：______(用“”，“”或“=”连接)．
【答案】
【分析】二次根式比较大小，只需比较被开方数大小，即将被开方数平方即可．
【详解】解：∵，，，∴．故答案为．
【点睛】本题考查了无理数比较大小，解题关键是明确算术平方根比较大小，被开方数大的数较大．
13．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则a+b的值为 ___．
【答案】
【分析】将代入中，求出的值，然后将的值代入求出的值，计算即可．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴将代入中得：，解得：，即，将、代入中得：
，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟知二元一次方程组的解是能使方程组成立的未知数的值．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则______．
【答案】169
【分析】根据“垂美”四边形，得到AC⊥BD，由勾股定理得，由此求出答案．
【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，∴AC⊥BD，
∴，∴
∵，∴169，故答案为：169．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义构建勾股定理的等式是解题的关键．
15．若关于x，y的二元一次方程组（m为常数）的解都是自然数，且x，y满足（为整数），则的不同的值有 个
【答案】3
【分析】根据题意先两式相减消去m，得到关于x,y的二元一次方程，求出满足条件的整数解即可.
【详解】解：由加减消元法得，x+4y=16,
∵关于x，y的二元一次方程组(m为常数)的解都是自然数，
∴ , ,,.
∵x，y满足(为整数)，∴ , ,.
∴k=12，4或0.即的不同的值有3个.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的含参方程的解法，先把m消去求出x,y的整数解是解题的关键.
16．已知点B（3，1）和直线l：y＝﹣x+2，A是直线l上一点，连接AB，以A为直角顶点作等腰直角三角形ABC，使点C落在第一象限，当AC最短时，点C的坐标是 ________．
【答案】（1，1）
【分析】AC最短时AB垂直于AD，作CE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，通过点B坐标求出点C坐标．
【详解】解：∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，
∴当AC最短时，AB最短，此时AB⊥直线l，作CE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，
把x＝0代入y＝﹣x+2得y＝2，把y＝0代入y＝﹣x+2得x＝2，∴OD＝OA＝2，
∴DOA为等腰直角三角形，∠DAO＝45°，∵BA⊥AD，∴∠BAF＝45°，
∵∠CAE+∠BAF＝90°，∴∠CAE＝45°，∴AC与直线l重合，CAE为等腰直角三角形，
∵AF＝OF﹣OA＝3﹣2＝1，BF＝1，∴AC＝AB＝＝，
∵CE2+AE2＝AC2＝2，CE＝AE，∴CE＝AE＝1，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣1＝1，
∴点C坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是由题干得AC最短时AB⊥AD，通过添加辅助线求解．
17．如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是______．
【答案】
【分析】作于，作关于和的对称点和，连接交于，交于，则，求得即可；
【详解】解：如图2，作于，作关于和的对称点和，
连接交于，交于，由对称性得，，，
，，，，
，即△DEF周长的最小值是GH的长，，
，
是正三角形，，
，，，，
的周长的最小值是；故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解决问题的关键是运用“将军饮马”模型和将问题转化为AD的最值问题．
18．如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推，按照图中反应的规律，第个正方形的边长是_______．
【答案】
【分析】通过计算可得第一个正方形的边长为2，第二个正方形的边长为6，……，通过探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：由题意，，，，第一个正方形的边长为2，，
，，，第二个正方形的边长为6，，
，，即：， ，，
第三个正方形的边长为18，，，即：， ，
，可得，，，，
第2020个正方形的边长为．故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：（﹣2）×﹣6；（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）二次根式的混合运算，注意先算乘除，后算加减；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组求解．
【详解】解：（1）（﹣2）×﹣6＝3﹣6﹣3＝﹣6；
（2）
①×3得：9x﹣6y＝3③，
②×2得：4x＋6y＝﹣14④，
③＋④得：x＝﹣，
把x＝﹣代入①得：y＝﹣，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组和二次根式混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
20．已知四边形OABC，O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（4，﹣3），C（3，0），在如图所示的平面直角坐标系中画出四边形OABC和它关于y轴对称的四边形OA′B′C′，并分别写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标．
【答案】作图见解析，A′（2，﹣4），B′（-4，﹣3），C′（-3，0）．
【分析】根据O（0，0），A（﹣2，﹣4），B（4，﹣3），C（3，0），在坐标系中画出四边形OABC，并画出其关于y轴对称的四边形OA′B′C′即可；根据图形即可写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标．
【详解】解：如图所示，四边形OABC即为所求；四边形OA′B′C′即为所求；
A′（2，﹣4），B′（-4，﹣3），C′（-3，0）．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是准确画图．注意：关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等．
21．“新冠肺炎疫情期间，戴口罩成为了每个人外出时的习惯．为满足大家使用口罩的实际需求，某药店采用A、B两类不同的包装方式出售医用口罩．A类包装每包装有10只口罩，按15元/包定价销售；B类包装则采用每只口罩独立包装的方式销售，售价如下表：
口罩的数量
售价
不超过10只的部分
2元/只
10只以上的部分
1.6元/只
设共购买口罩的数量为x只（x为10的倍数），购买A类包装口罩的金额为y1元，购买B类包装口罩的金额为y2元．（1）求y1与x之间的函数关系式，并直接写出当x＞10时y2与x之间的函数关系式；
（2）小颖购买了以上两种不同包装的口罩共有100只，且购买的B类包装口罩不低于10只，合计付款160元，求小颖买了多少包A类包装口罩．
【答案】（1）y1＝1.5x，y2＝1.6x＋4（x＞10）；（2）4包
【分析】（1）由金额＝单价×数量，可求解；（2）设买了a只A类包装口罩，b只B类包装口罩，由两种不同包装的口罩共有100只，且购买的B类包装口罩不低于10只，合计付款160元，列出方程组，即可求解．
【详解】解：（1）y1＝1.5x，y2＝2×10+1.6(x-10)=1.6x＋4（x＞10）；
（2）设买了a只A类包装口罩，b只B类包装口罩，
由题意可得：，解得：，40÷10=4包
答：小颖买了4包A类包装口罩．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b（k1≠0）经过点A（4，0），B（0，2），与直线l2：y＝k2x（k2≠0）交于点P（a，1）．（1）求直线l1、l2的表达式；（2）C为直线上一点，过点C作直线m⊥x轴于E，直线m交l2于点D．当CD＝3ED时，求C点的坐标．
【答案】（1）；；（2）点C（﹣4，4）或（，）
【分析】（1）把直线上的点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法可求得答案；
（2）设点，则点，点，由线段关系列出方程可求解．
【详解】解：（1）∵直线经过点A（4，0），B（0，2），
∴，∴，∴直线的解析式为，
当y＝1时，则 ，∴点P（2，1），∴，∴，∴直线的解析式为；
（2）设点，则点，点，
∴
∵CD＝3DE，或 ∴或，∴点或
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，二元一次方程组的解法，一次函数的性质，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．
23．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．新冠疫情期间某校为了解学生在停课不停学中的阅读情况，（七、八年级学生人数相同），某周从这七、八年级学生中分别随机抽查了40名同学，调查了他们周一至周五的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：
年级
参加阅读人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
25
30
40
30
八年级
20
26
24
30
40
合计
45
56
59
70
70
（1）填空： ________；（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均阅读时间的中位数
参加阅读人数的方差
七年级
27分钟
________
八年级
________分钟
46.4
（3）请你结合周一至周五阅读人数统计表，估计该校七、八年级共1120名学生中，周一至周五平均每天有多少人进行阅读？
【答案】（1）35；（2）32，26；（3）840人
【分析】（1）由统计表中的相应的合计数据减去八年级周三参加阅读的人数即可得出a的值；
（2）由统计图可得八年级平均阅读时间的中位数；根据统计表中数据得出七年级参加阅读人数的平均数，再按照方差的计算公式即可；（3）求出抽样中七八年级周一至周五平均每天参加阅读的人数所占的百分比，把这个百分比作为该校七八年级周一至周五平均每天参加阅读的人数所占的百分比，即可计算出至周一周五平均每天参加阅读的人数．
【详解】（1）由统计表可得：．
（2）由统计图可得八年级平均阅读时间的中位数为24．
七年级参加阅读人数的平均数为：，
七年级参加阅读人数的方差为：．
（3）（人）．∴周一至周五平均每天有840人进行阅读．
【点睛】本题考查了根据统计表计算中位数、方差等统计量，以及根据抽样结果对总体作出估计，熟练掌握相关统计知识及其应用是解题的关键．
24．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________．
迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________．
（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________．
迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________．
（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
【答案】【探究一】：见解析；【探究二】：S1+S2=S3；迁移应用：47；【探究三】S1+S2=S3；迁移应用：30；【探究四】绳索长为尺．
【分析】【探究一】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【探究二】由正方形面积公式以及勾股定理得S1+S2=S3；
迁移应用：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为正方形E的面积；
【探究三】利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小；
迁移应用：求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解；
【探究四】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：【探究一】：由题意得：②的面积为a2+b2+2ab=a2+b2+ab；
图③的面积为c2+2ab=c2+ab，
∴a2+b2+ab=c2+ab，即a2+b2=c2；
【探究二】S1+S2=S3．
证明如下：∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，
∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知
SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；故答案为：47；
【探究三】S1+S2=S3．
证明如下：∵S3=πc2，S1=πa2，S2=πb2，
∴S1+S2= πa2+πb2=πc2=S3；故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：阴影部分面积和=S1+S2+ab-S3=ab，
∵a=5，c=13，∴12，
∴阴影部分面积和=×5×12=30，故答案为：30；
【探究四】设绳索长为x尺，根据题意得：x2-（x-3）2=82，解得：x=，
答：绳索长为尺．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．
25．某研究性学习小组进行了探究活动，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与AC、BC的交点．（1）如图①，当三角板的一条直角边与OB重合时，点M与点A也重合，
①求此时CN的长；②写出、、 满足的数量关系_____________________；
（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合）①猜想图②中、、、这四条线段满足的数量关系：____________________________；②说明你得出此结论的理由．
（3）若在三角板旋转的过程中满足CM＝CN，请你利用图③并联系上述结论，直接写出此时BN长＝ ．
【答案】（1）①；②；（2）①；②理由见解析；（3）
【分析】（1）①根据勾股定理求得，根据题意可得,连接，可得；设，则在中，勾股定理即可求得，进而求得的长，②证明为的垂直平分线，进而可得，根据勾股定理即可求得、、的数量关系；
（2）①②，延长，使，连接、、，进而证明可得，根据，可得，在和中，勾股定理可得，，进而可得；（3）设，则，，代入（2）的结论即可求得的值，进而根据即可求得的值．
【详解】解：（1）①连接，如图，
∵，，∴，∵，，，∴，
∵点O是的中点，∴，设，则
在中，，解得∴，∴；
②；连接，如图，
∵，，∴，在中，，即，
故答案为：
（2）①；故答案为：
②理由如下：如图，延长，使，连接、、，
在和中，，∴，∴，，
∵，，∴，
∵，∴，即，
在和中，，，
∴，即；
（3）由（2）得：，设，则，，
代入上式得，解得，∴．故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，线段的垂直平分线的性质，旋转的性质，理解题意添加辅助线是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx＋3k（k≠0）交x轴于点B，交y轴于点A，AB＝3．（1）求点A的坐标；（2）点C为x轴正半轴上一点，∠BAO＝∠ACO，点M为线段AC上一动点，设M的纵坐标为a（a≠0），请用含a的代数式表示点M到y轴的距离d；
（3）在（2）的条件下，过点M作MN∥AB交x轴于点N，连接BM，AN，当△ABM为等腰三角形时，求△AMN的面积．
【答案】（1）A（0，9）；（2）；（3）或
【分析】（1）用k表示出OA，OB，利用勾股定理构建方程求解即可．（2）如图1中，过点C作∠ACB的角平分线交AB于H．利用全等三角形的性质证明CA＝CB，由此构建方程求解即可．（3）在（2）的条件下，AC＝BC，因为MN∥AB，推出AM＝BN，S△AMN＝S△BMN，分两种情形：①当AB＝BM时，过点B作BG⊥AC于G，②当AB＝AM时，分别求出直线MN的解析式，构建方程组即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意，直线直线AB：y＝kx＋3k（k≠0）交x轴于点B（﹣3，0），交y轴于点A（0，3k），在Rt△AOB中，AB2＝OA2＋OB2，∴32＋（3k）2＝（3）2，
∴k＝3或﹣3（舍弃），∴AO＝9，∴A（0，9）．
（2）如图1中，过点C作∠ACB的角平分线交AB于H．∴∠BCH＝∠ACB，
∵∠BAO＝∠ACO，∴∠BCH＝∠BAO，
∵∠BAO＋∠ABC＝90°，∴∠BCH＋∠ABO＝90°，∴∠CHB＝∠CHA＝90°，
∵CH＝CH，∠HCB＝∠HCA，∴△ACH≌△BCH（ASA），∴CA＝CB，
设C（m，0），则BC＝m＋3，AC2＝，∴(m＋3)2＝，∴m＝12，∴C（12，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x＋9，
∵M的纵坐标为a（a≠0），点M横坐标为d，∴a＝﹣d＋9，∴d＝﹣a＋12
（3）在（2）的条件下，AC＝BC，∵MN∥AB，∴AM＝BN，S△AMN＝S△BMN，
①当AB＝BM时，过点B作BG⊥AC于G，∴AG＝MG，
∵∠AOB＝∠BGA，∠ABC＝∠BAC，AB＝BA，∴△ABO≌△BAG（AAS），
∴BO＝AG＝3，∴BN＝AM＝2AG＝6，∴N（3，0），
∵MN∥AB，∵直线MN：y＝3x＋b过点N（3，0），∴b＝﹣9，∴直线MN的表达式为y＝3x﹣9，
由，解得，∴M（，），∴S△AMN＝S△BMN＝•BN•yM＝×6×＝．
②当AB＝AM时，N（﹣3＋3，0）∴直线MN的表达式为y＝3x＋9﹣9，
由，解得，∴M（，），
∴S△AMN＝S△BMN＝•BN•yM＝×3×＝．
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