四川省遂宁市安居区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份四川省遂宁市安居区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
四川省遂宁市安居区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、单选题（每小题3分，共54分）
1．下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．若式子有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x≥2 B．x≠3 C．x≥2或x≠3 D．x≥2且x≠3
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．＝ B．﹣＝1 C．×＝ D．＝
5．与根式﹣x的值相等的是（　　）
A．﹣ B．﹣x2 C．﹣ D．
6．已知二次函数，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．
7．小明妈妈经营一家服装专卖店，为了合理利用资金，小明帮妈妈对上个月各种型号的服装销售数量进行了一次统计分析，决定在这个月的进货中多进某种型号服装，此时小明应重点参考（　　）
A．众数 B．平均数 C．加权平均数 D．中位数
8．设m、n是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则m2﹣3m+n＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣17 D．17
9．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
10．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为（　　）

A． B．2 C． D．3
11．从1，2，3，5这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n与直线l1、l2、l3交于点A、B、C及点D，E，F．已知AB＝2，BC＝3，DE＝4，则EF＝（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
13．如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段的比值不可能是黄金比的是（　　）
A．AB：BC B．BC：AC C．BC：AB D．AC：BC
14．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（　　）

A．15 B．12 C．9 D．6
15．如图，在抛物线y＝﹣x2上有A，B两点，其横坐标分别为1，2，在y轴上有一动点C，当BC+AC最小时，则点C的坐标是（　　）

A．（0，0） B．（0，﹣1） C．（0，2） D．（0，﹣2）
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B＝，则BC＝（　　）

A．6 B．8 C．9 D．15
17．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
18．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接EO．若AC＝6，BD＝8，则cos∠AEO＝（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
19．（4分）在某次七年级期末测试中，甲乙两个班的数学平均成绩都是89分，且方差分别为S甲2＝0.15，S乙2＝0.2，则成绩比较稳定的是　 　班．
20．（4分）二次函数y＝x2﹣2x+2的最小值是　 　．
21．（4分）已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是　 　．
22．（4分）化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝　 　．
23．（4分）已知关于x的方程（m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为　 　．
24．（4分）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是　 　．

三、解答题．
25．（5分）计算：．
26．（5分）计算：﹣||
27．（10分）解下列方程：
（1）2x2+5x﹣3＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）．
28．（7分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
29．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
30．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若E是线段AD的中点，求的值．

31．（8分）“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率；
（2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？
32．（7分）为了提高学生阅读能力，我区某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；被调查的学生周末阅读时间众数是　 　小时，中位数是　 　小时；
（2）计算被调查学生阅读时间的平均数；
（3）该校八年级共有500人，试估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数．

33．（9分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．


参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共54分）
1．下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：A、x＜0时，不是二次根式，故A不符合题意；
B、是二次根式，故B符合题意；
C、二次根式的被开方数是非负数，故C不符合题意；
D、，根指数不是2，不是二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
2．若式子有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x≥2 B．x≠3 C．x≥2或x≠3 D．x≥2且x≠3
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x﹣2≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥2且x≠3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式的意义．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义进行解答．
【解答】解：＝3，被开方数是2，
A、的被开方数是2，所以与是同类二次根式，故本选项正确；
B、的被开方数是3，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；
C、＝2，被开方数是3，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；
D、＝2，被开方数是5，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
4．下列计算正确的是（　　）
A．＝ B．﹣＝1 C．×＝ D．＝
【分析】利用二次根式加减法法则、乘法计算法则进行计算即可．
【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故原题计算错误；
B、和不是同类二次根式，不能合并，故原题计算错误；
C、＝，故原题计算正确；
D、＝＝，故原题计算错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则．
5．与根式﹣x的值相等的是（　　）
A．﹣ B．﹣x2 C．﹣ D．
【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵有意义，
∴x＜0，
∴﹣x＞0，
∴﹣x＝﹣x•＝，
故选：D．
【点评】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x的取值范围，难度不大．
6．已知二次函数，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．
【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣7＝2，
故m2＝9，
解得：m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m≠3，
∴m＝﹣3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
7．小明妈妈经营一家服装专卖店，为了合理利用资金，小明帮妈妈对上个月各种型号的服装销售数量进行了一次统计分析，决定在这个月的进货中多进某种型号服装，此时小明应重点参考（　　）
A．众数 B．平均数 C．加权平均数 D．中位数
【分析】在决定在这个月的进货中多进某种型号服装，应考虑各种型号的服装销售数量，选销售量最大的，即参考众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应重点参考众数．
故选：A．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
8．设m、n是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则m2﹣3m+n＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣17 D．17
【分析】根据根与系数的关系可知m+n＝4，又知m是方程的根，所以可得m2﹣4m+3＝0，最后可将m2﹣3m+n变成m2﹣4m+（m+n），最终可得答案．
【解答】解∵m、n是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，
∴m+n＝4，m2﹣4m+3＝0，
则m2﹣3m+n＝m2﹣4m+（m+n）＝﹣3+4＝1，
故选：B．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
9．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．
【解答】解：方程变形得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，
解得：当x＝3或x＝6，
当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6+6+3＝15，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
10．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为（　　）

A． B．2 C． D．3
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，

∴△BNA≌△BNE，
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝DE＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
11．从1，2，3，5这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其中积为偶数的有6种结果，
∴积为偶数的概率是＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法并利用概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
12．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n与直线l1、l2、l3交于点A、B、C及点D，E，F．已知AB＝2，BC＝3，DE＝4，则EF＝（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例的性质求EF．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
∴EF＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
13．如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段的比值不可能是黄金比的是（　　）
A．AB：BC B．BC：AC C．BC：AB D．AC：BC
【分析】根据黄金分割的定义，分两种情况进行判断即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴若AC为较长线段，则AC：AB＝BC：AC＝；
若BC为较长线段，则BC：AB＝AC：BC＝；
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
14．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（　　）

A．15 B．12 C．9 D．6
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，
∴△OBC≌△OB1C1，
∴＝＝，
∴＝（）2，
∵S＝3，
∴△ABC的面积＝3×4＝12，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、相似三角形的性质是解题的关键．
15．如图，在抛物线y＝﹣x2上有A，B两点，其横坐标分别为1，2，在y轴上有一动点C，当BC+AC最小时，则点C的坐标是（　　）

A．（0，0） B．（0，﹣1） C．（0，2） D．（0，﹣2）
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点C，此时BC+AC最小，由点B的坐标可得出点B′的坐标，由点A，B′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C的坐标．
【解答】解：当x＝1时，y＝﹣12＝﹣1，
∴点A的坐标为（1，﹣1）；
当x＝2时，y＝﹣22＝﹣4，
∴点B的坐标为（2，﹣4）．
作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点C，此时BC+AC最小，如图所示．
∵点B的坐标为（2，﹣4），
∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）．
设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（1，﹣1），B（﹣2，﹣4）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AB′的解析式为y＝x﹣2．
当x＝0时，y＝0﹣2＝﹣2，
∴点C的坐标为（0，﹣2），
∴当BC+AC最小时，点C的坐标是（0，﹣2）．
故选：D．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、轴对称﹣最短路线问题、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用两点之间线段最短，找出点C的位置是解题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B＝，则BC＝（　　）

A．6 B．8 C．9 D．15
【分析】由锐角三角函数定义知：cos∠B＝，代入相关数值解答即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B＝，cos∠B＝，
则BC＝AB•cos∠B＝10×＝8．
故选：B．

【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
17．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算判别式得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据题意Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
18．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接EO．若AC＝6，BD＝8，则cos∠AEO＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据菱形性质可得：AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，运用勾股定理可得：BC＝5，依据三角函数定义可得：cos∠CBO＝＝，再利用直角三角形性质证明∠AEO＝∠CBO，即可得到答案．
【解答】解：∵菱形ABCD，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，
∴BC＝＝＝5，
∴cos∠CBO＝＝，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠BOC＝90°，
∴∠CAE+∠ACB＝90°，∠CBO+∠ACB＝90°，
∴∠CAE＝∠CBO，
∵∠AEC＝90°，OA＝OC，
∴OE＝OA，
∴∠AEO＝∠CAE，
∴∠AEO＝∠CBO，
∴cos∠AEO＝cos∠CBO＝．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形等重要知识点，解题关键是能利用直角三角形性质将求cos∠AEO转化为求cos∠CBO．
二、填空题（每小题4分，共24分）
19．（4分）在某次七年级期末测试中，甲乙两个班的数学平均成绩都是89分，且方差分别为S甲2＝0.15，S乙2＝0.2，则成绩比较稳定的是　甲　班．
【分析】根据方差的意义判断．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：∵甲乙两个班的数学平均成绩都是89分，且方差分别为S甲2＝0.15，S乙2＝0.2，
∴甲班成绩稳定，
故答案为甲．
【点评】本题考查方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
20．（4分）二次函数y＝x2﹣2x+2的最小值是　1　．
【分析】将抛物线解析式转换成顶点式，可求得答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1），
∴当x＝1时，y有最小值1；
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
21．（4分）已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是　2　．
【分析】先化简＝2，根据同类二次根式的定义得出2a﹣1＝3，求出方程的解即可．
【解答】解：＝2，
∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴2a﹣1＝3，
解得：a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式，最简二次根式和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
22．（4分）化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝　（a+1）100　．
【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]
＝（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]
＝（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]
＝…
＝（a+1）100．
故答案为：（a+1）100．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
23．（4分）已知关于x的方程（m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，列出方程m2+1＝2，且m﹣1≠0，继而即可得出m的值．
【解答】解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，关键是掌握一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．
24．（4分）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是　　．

【分析】连接CH，可知△CFH≌△CDH（HL），故可求∠DCH的度数；根据三角函数定义求解．
【解答】解：连接CH．
∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形EFCG，
∴∠F＝∠D＝90°，
∴△CFH与△CDH都是直角三角形，
在Rt△CFH与Rt△CDH中，
∵，
∴△CFH≌△CDH（HL）．
∴∠DCH＝∠DCF＝（90°﹣30°）＝30°．
在Rt△CDH中，CD＝3，
∴DH＝tan∠DCH×CD＝．
故答案为：．

【点评】此题主要考查旋转变换的性质及三角函数的定义，作出辅助线是关键．
三、解答题．
25．（5分）计算：．
【分析】本题可运用特殊的三角函数值解出sin30°、tan45°、cos45°、sin60°和tan60°的值，再代入原式中即可．
【解答】解：原式＝×1+×+×
＝+1+
＝3．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
26．（5分）计算：﹣||
【分析】根据负整数指数幂、二次根式的化简、零指数幂及绝对值的知识，分别得出各部分的最简值，继而合并可得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2﹣2+1﹣（2﹣）＝﹣1﹣2﹣2+＝﹣3﹣．
【点评】此题考查了实数的运算、零指数幂及负整数指数幂的知识，属于基础题，掌握各部分的运算法则是解答本题的关键．
27．（10分）解下列方程：
（1）2x2+5x﹣3＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵2x2+5x﹣3＝0，
∴（x+3）（2x﹣1）＝0，
则x+3＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝0.5；
（2）∵2（x﹣3）2＝x（x﹣3），
∴2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
28．（7分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【分析】将分母a2+2a提公因式，进行因式分解，再通分计算括号里面的，然后将除法化为乘法，将x＝﹣1代入化简后的分式求值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝，
原式＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的除法运算法则以及学会分母有理化是解题的关键．
29．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：Δ＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可证得结论；
（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式Δ＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．
【解答】（1）证明：Δ＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，Δ＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）题需要分类讨论，以防漏解．
30．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若E是线段AD的中点，求的值．

【分析】（1）先由角平分线的定义得∠BAE＝∠CAD，再由等腰三角形的性质得∠BED＝∠BDE，则∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）先由相似三角形的性质得＝＝，则BE＝CD，再由BE＝BD得BD＝CD，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠AEB＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD；
（2）解：∵E是线段AD的中点，
∴AE＝AD，
∵△ABE∽△ACD，
∴＝＝，
∴BE＝CD，
∵BE＝BD，
∴BD＝CD，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
31．（8分）“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率；
（2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？
【分析】（1）先设每年小区绿化面积的增长率为x，根据2018年的绿化面积×（1+增长率）2＝2020年的绿化面积，列出方程求解即可；
（2）根据（1）得出的增长率列出算式，进行计算即可．
【解答】解：（1）设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程：
1000（1+x）2＝1210．
解方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
所以每年绿化面积的平均增长率为10%．
（2）1210×（1+10%）＝1331（万平方米）．
答：2021年的绿化面积是1331万平方米．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
32．（7分）为了提高学生阅读能力，我区某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；被调查的学生周末阅读时间众数是　1.5　小时，中位数是　1.5　小时；
（2）计算被调查学生阅读时间的平均数；
（3）该校八年级共有500人，试估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数．

【分析】（1）根据统计图可以求得本次调查的学生数，从而可以求得阅读时间1.5小时的学生数，进而可以已将条形统计图补充完整；由补全的条形统计图可以得到抽查的学生阅读时间的众数、中位数．
（2）根据补全的条形统计图可以求得所有被调查同学的平均阅读时间．
（3）用总人数乘以样本中周末阅读时间不低于1.5小时的人数占总人数的比例即可得．
【解答】解：（1）由题意可得，本次调查的学生数为：30÷30%＝100，
阅读时间1.5小时的学生数为：100﹣12﹣30﹣18＝40，
补全的条形统计图如图所示，

由补全的条形统计图可知，抽查的学生阅读时间的众数是1.5小时，中位数是1.5小时，
故答案为：1.5，1.5；

（2）所有被调查同学的阅读时间为：×（12×0.5+30×1+40×1.5+18×2）＝1.32小时，
即所有被调查同学的平均阅读时间为1.32小时．

（3）估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数为500×＝290（人）．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
33．（9分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）根据图象直接写出答案．
【解答】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；

（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组．解题时，要注意数形结合数学思想的应用．另外，利用待定系数法求二次函数解析式时，也可以采用顶点式方程．