期末综合习题 2021-2022学年青岛版九年级数学上册（word版 含答案）

青岛版九年级上册综合题

一、选择题

1. 如图，在中，、、分别是、、上的点，，，且的面积为，则的面积为

A.
B.
C.
D.

2. 如图，与都是正方形网格中的格点三角形顶点在格点上，那么与的周长比为

A.  B. ： C. ： D. ：

3. 在中，，都是锐角，且，，则此三角形是

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 形状不能确定

4. 如图，在距离铁轨米的处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上；秒钟后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是米秒．

A.  B.  C.  D.

5. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为   

A.  B.  C.  D.

6. 如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是

A.
B.
C.
D. 不确定

7. 如图，已知与坐标轴交于点，，，点在上，且，若点的坐标为，则弧的长为

A.
B.
C.
D.

8. 半径为的正六边形的边心距和面积分别是

A.  B.  C.  D.

9. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是

A.  B. 且
C.  D.

10. 抛物线是由某个抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的，则原抛物线的解析式为

A.  B.
C.  D.

11. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A.
B.
C.
D.
 

12. 对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，为任意实数，当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为

A.  B.  C.  D.

二、填空题

13. 如图抛物线的对称轴是，与轴的一个交点为，则不等式的解集为______．
     

14. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的对称轴上的一个动点，则的最小值是_________．
    
     

15. 如图，矩形的边长，，动点从点出发，沿以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿以的速度向点匀速运动．若与相似，则运动的时间为______
16. 关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______．
17. 如图，点、分别是半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是，则半圆的半径的长为______．
     

三、解答题

18. 被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆俗称“大玉米”坐落在风景如画的如意湖，是来郑州观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数知识后，刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大王米”的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量项目及结果如下表：

请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出郑州会展宾馆的高度参考数据：，，，结果保留整数

19. 如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少？
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，是的外接圆，点是的内心，的延长线交于点，交于点，连接，．
    求证：
    若，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于、两点．
    求一次函数的解析式；
    根据图象直接写出中的取值范围；
    求的面积．
     

22. 某超市经销一种商品，每千克成本为元，经试销发现，该种商品的每天销售量千克与销售单价元千克满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

求千克与元千克之间的函数表达式；
为保证某天获得元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？






 

23.如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴相交于点．
求二次函数的解析式；
若点是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标，并求出四边形的最大面积；
若点在抛物线上，且在轴的右侧．与轴相切，切点为以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标．

1.【答案】
 

【解析】解：连接，

，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
故选D．
根据题意可判定∽，利用面积比等于相似比平方可得出的面积，即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明∽，要求同学们熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比平方．
 

2.【答案】
 

【解析】解：如图，

设正方形网格的边长为，由勾股定理得：
，，
，；
同理可求：，，
，，
，
∽，
：：，
故选：．
设正方形网格的边长为，根据勾股定理求出、的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明∽，即可解决问题．
本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质定理的应用问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，，
，，
．
故选：．
根据特殊角的三角函数值即可求得和的度数，然后求得的度数，据此即可判断．
本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：作于点．
在中，，
米，
同理，米．
则米．
则平均速度是米秒．
故选：．
作于点，在中利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，则即可求得，进而求得速度．
此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线高，原则上不破坏特殊角．
 

5.【答案】
 

【解析】略
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．连接，根据三角形内心的性质得，，再根据圆周角定理得到，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明，从而可判断．
【解答】
解：连接，如图，

内心为，
，，
，
，
，
即，
．
故选A．  

7.【答案】
 

【解析】解：连接、，
，
为的直径，
，
，，
，
，
，
的长，
故选：．
作辅助线，先根据圆周角定理可知：为的直径，由圆心角和圆周角的关系可得：，求得，根据弧长公式可得结论．
本题考查了圆周角定理，弧长公式，坐标与图形的性质，根据弧长公式确定其对应的圆心角和半径是关键．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形与圆的知识，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线；由正六边形的性质判断出的形状是解答此题的关键先根据题意画出图形，再根据正六边形的性质求出的度数，判断出为等边三角形，即可求出答案．
【解答】
解：如图所示，六边形是正六边形，半径为，是正六边形的中心，连接、，
 
此六边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
．
作于点，
，
，
即：边心距，
正六边形的面积．
故选A．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型，注意分类讨论．
根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
【解答】
解：当时，，
，
且；
当时，
此时方程为，满足题意，
故选C．  

10.【答案】
 

【解析】解：，将其向右平移个单位，再向上平移个单位，得到原抛物线的解析式为：，即．
故选：．
把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到原抛物线的解析式．
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

11.【答案】
 

【解析】解：因为二次函数的图象开口向上，得出，与轴交点在轴的正半轴，得出，利用对称轴，得出，
所以一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，
故选：．
根据二次函数的图象开口向上，得出，与轴交点在轴的正半轴，得出，利用对称轴，得出，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，找出、、是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：由图象可知：，，
，
，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故正确；
对称轴为直线，
与时，的值相同，
当时，，故错误；
当时，，
，故正确；
当时，的值最小，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故正确，
当时，随的增大而减小，故错误，
综上，结论正确的有个．
故选：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数的性质，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．
 

13.【答案】
 

【解析】解：根据图示知，抛物线图象的对称轴是，与轴的一个交点坐标为，
根据抛物线的对称性知，抛物线图象与轴的两个交点关于直线对称，即
抛物线图象与轴的另一个交点与关于直线对称，
另一个交点的坐标为，
不等式，即，
抛物线的图形在轴上方，
不等式的解集是．
故答案为：．
先根据抛物线的对称性得到另一个交点坐标，由得函数值为正数，即抛物线在轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式的解集．
此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与轴的交点，然后由图象找出当时，自变量的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程问题．考查利用对称和三角形三边的关系解决了最短路径问题．
计算自变量为时的函数值可得到，通过解方程可得到，，抛物线的对称轴为直线连接，，则，根据三角形三边的关系得当点、、共线时取等号，求出即可．

【解答】

解：当时，，则，
当时，，解得，，则，，
抛物线的对称轴为直线，
如图，连接，，则，
当点、、共线时取等号，
连接，如图，
．
故答案为．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：由题意得，，，
四边形是矩形，，，
．
若∽，
则有，即，
解得，
若∽
则有，即，
解得，
答：当秒或秒时，与相似．
故答案为：或．
先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的值即可说明存在，反之则不存在．
此题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】且
 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程为常数根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可．
【解答】
解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
且，
且，
故答案为且．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查扇形的面积，解题的关键是理解阴影部分的面积等于扇形的面积．
连接、，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，列式计算就可．
【解答】
解：连接、、．

和等底等高，
．
点，为半圆的三等分点，
，
阴影部分的面积，
阴影部分的面积是，
，
，
故答案为．  

18.【答案】解：由题意可得：设，
则，
解得：，
故AB，
答：郑州会展宾馆的高度为．
 

【解析】直接利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
 

19.【答案】解：设运动了，
根据题意得：，，
则，
当∽时，，
即，
解得：；
当∽时，，
即，
解得：；
故当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间是：或．
 

【解析】首先设运动了，根据题意得：，，然后分别从当∽与当∽时去分析求解即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
 

20.【答案】解：证明：点是的内心，

平分，平分．

，．

又，

．

，．

．

．

解：，，

∽．

．

设，则．

．

，

解得，不合题意，舍去．

经检验，是分式方程的解．

．

【解析】见答案
 

21.【答案】解：点在反比例函数上，
，解得，
点的坐标为，
又点也在反比例函数上，
，解得，
点的坐标为，
又点、在的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
的取值范围为；
直线与轴的交点为，
点的坐标为，
．
 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
将点、点的坐标分别代入解析式即可求出、的值，从而求出两点坐标；
由图直接解答；
将的面积转化为的面积即可．
 

22.【答案】解：设与之间的函数表达式为，将表中数据、代入得：
，
解得：．
与之间的函数表达式为．
由题意得：，
整理得：，
解得，．
答：为保证某天获得元的销售利润，则该天的销售单价应定为元千克或元千克．
设当天的销售利润为元，则：

，
，
当时，．
答：当销售单价定为元千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是元．
 

【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
依题意可列出关于销售单价的方程，然后解一元二次方程组即可；
利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
 

23.【答案】解：二次函数的图象与轴相交于点，，
，
，
二次函数的解析式为．
如图．
二次函数的解析式为与轴相交于点，
．
设 ，且，．
，，
，，．
则，
点 是第一象限的抛物线上的一个动点，
，

，
当时，，
当四边形的面积最大时，点的坐标为，且四边形的最大面积为．
点的坐标为，，，理由如下：
如图．
设，且．
点在二次函数的图象上，
．
与轴相切，切点为，
．
以，，为顶点的三角形与相似，
，或．
当时，或，
解得 舍去，，或舍去，舍去．
同理可得，当时，舍去，，或舍去，．
综上，满足条件的点的坐标为，，．
 

【解析】根据题意把点，代入二次函数解析式，得到和的二元一次方程组，求出和的值即可；
设 ，且，，首先用和表示出，再结合点在二次函数的图象上，得到，即可求解；
首先画出图形，以，，为顶点的三角形与相似，得到，或，根据的取值范围求出的值即可．
本题主考查了二次函数的综合题，此题涉及了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、四边形面积的求法、二次函数最值的求法以及相似三角形的性质，解答问的关键是求用和表示出，解答问的关键是熟练掌握相似三角形的性质，此题有一定的难度．