2017年四川省绵阳市中考数学试卷（解析版）

这是一份2017年四川省绵阳市中考数学试卷（解析版），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017年四川省绵阳市中考数学试卷
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣0.5的相反数是（　　）
A．0.5 B．±0.5 C．﹣0.5 D．5
2．下列图案中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（　　）
A．0.96×107 B．9.6×106 C．96×105 D．9.6×102
4．如图所示的几何体的主视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
5．使代数式+有意义的整数x有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（　　）

A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m
7．关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（　　）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
8．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=3cm，则这个陀螺的表面积是（　　）

A．68πcm2 B．74πcm2 C．84πcm2 D．100πcm2
9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2，∠AEO=120°，则FC的长度为（　　）

A．1 B．2 C． D．
10．将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（　　）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
11．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（　　）

A． B． C． D．
12．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（　　）

A． B． C． D．
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．分解因式：8a2﹣2=　 　．
14．关于x的分式方程=的解是　 　．
15．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是　 　．

16．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是　 　．
17．将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AD：AB=1：3，则MD+的最小值为　 　．

18．如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM=AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是，则的值是　 　．

　
三、解答题（本大题共7小题，共86分）
19．（1）计算： +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣|
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=2，y=．
20．红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查，从试验田中随机抽取了30株，得到的数据如下（单位：颗）：
182
195
201
179
208
204
186
192
210
204
175
193
200
203
188
197
212
207
185
206
188
186
198
202
221
199
219
208
187
224
（1）对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析，请补全下表中空格，并完善直方图：
谷粒颗数
175≤x＜185
185≤x＜195
195≤x＜205
205≤x＜215
215≤x＜225
频数
　 　
8
10
　 　
3
对应扇形
图中区域
　 　
D
E
　 　
C

如图所示的扇形统计图中，扇形A对应的圆心角为　 　度，扇形B对应的圆心角为　 　度；
（2）该试验田中大约有3000株水稻，据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株？
21．江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
22．如图，设反比例函数的解析式为y=（k＞0）．
（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．

23．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cos∠DFA=，AN=2，求圆O的直径的长度．

24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆C与x轴相切；
（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．

25．如图，已知△ABC中，∠C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；
（3）当y取最大值时，求sin∠NEF的值．

　

2017年四川省绵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣0.5的相反数是（　　）
A．0.5 B．±0.5 C．﹣0.5 D．5
【考点】14：相反数．
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：﹣0.5的相反数是0.5，
故选：A．
　
2．下列图案中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义求解可得．
【解答】解：A，此图案是轴对称图形，有5条对称轴，此选项符合题意；
B、此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、此图案不是轴对称图形，而是旋转对称图形，不符合题意；
D、此图案不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
　
3．中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（　　）
A．0.96×107 B．9.6×106 C．96×105 D．9.6×102
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：“960万”用科学记数法表示为9.6×106，
故选：B．
　
4．如图所示的几何体的主视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】先细心观察原立体图形和正方体的位置关系，结合四个选项选出答案．
【解答】解：由图可知，主视图一个矩形和三角形组成．
故选D．
　
5．使代数式+有意义的整数x有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x+3＞0且4﹣3x≥0，
解得﹣3＜x≤，
整数有﹣2，﹣1，0，1，
故选：B．
　
6．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（　　）

A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m
【考点】SA：相似三角形的应用．
【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.4m，DC=4m，
△ABC∽△EDC，
则=，
即=，
解得：DE=12，
故选：B．
　
7．关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（　　）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．
【解答】解：∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，
∴﹣=﹣1， =﹣2，
∴m=2，n=﹣4，
∴nm=（﹣4）2=16．
故选C．
　
8．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=3cm，则这个陀螺的表面积是（　　）

A．68πcm2 B．74πcm2 C．84πcm2 D．100πcm2
【考点】MP：圆锥的计算；I4：几何体的表面积．
【分析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．
【解答】解：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，
∴母线长为5cm，
∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2，
故选C．
　
9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2，∠AEO=120°，则FC的长度为（　　）

A．1 B．2 C． D．
【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．
【解答】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，
∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，
∴∠FOC=60°﹣30°=30°，
∴OF=CF，
又∵Rt△BOF中，BO=BD=AC=，
∴OF=tan30°×BO=1，
∴CF=1，
故选：A．

　
10．将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（　　）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
【考点】H6：二次函数图象与几何变换；F7：一次函数图象与系数的关系．
【分析】先根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．
【解答】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y=（x﹣3）2﹣1，
则，
（x﹣3）2﹣1=2x+b，
x2﹣8x+8﹣b=0，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，
b≥﹣8，
故选D．
　
11．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】根据三角形的重心性质可得OC=CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM=CE，进一步得到OM=CE，即OM=AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF=AE，MF=EF，依此得到MF=AE，从而得到的值．
【解答】解：∵点O是△ABC的重心，
∴OC=CE，
∵△ABC是直角三角形，
∴CE=BE=AE，
∵∠B=30°，
∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，
∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，
∴CM=CE，
∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，
∵BE=AE，
∴EF=AE，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=60°，
∴∠FEM=30°，
∴MF=EF，
∴MF=AE，
∴==．
故选：D．
　
12．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
【解答】解：a1=3=1×3，a2=8=2×4，a3=15=3×5，a4=24=4×6，…，an=n（n+2）；
∴+++…+=++++…+=（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=，
故选C．
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．分解因式：8a2﹣2=　2（2a+1）（2a﹣1）　．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：8a2﹣2，
=2（4a2﹣1），
=2（2a+1）（2a﹣1）．
故答案为：2（2a+1）（2a﹣1）．
　
14．关于x的分式方程=的解是　﹣　．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
【解答】解：两边乘（x+1）（x﹣1）得到，2x+2﹣（x﹣1）=﹣（x+1），
解得x=﹣，
经检验，x=﹣是分式方程的解．
∴x=﹣．
故答案为﹣．
　
15．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是　（7，4）　．

【考点】L5：平行四边形的性质；D5：坐标与图形性质．
【分析】根据平行四边形的性质及A点和C的坐标求出点B的坐标即可．
【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），
∴BC=OA=6，6+1=7，
∴点B的坐标是（7，4）；
故答案为：（7，4）．
　
16．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是　　．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数为9，
所以“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率==．
故答案为．
　
17．将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AD：AB=1：3，则MD+的最小值为　2　．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；R2：旋转的性质．
【分析】先求出AD=2，BD=4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，从而得到△AMD和△BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，求出MA•DN=4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．
【解答】解：∵AB=6，AD：AB=1：3，
∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，
∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，
∴∠A=∠B=∠FDE，
由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，
∴∠AMD=∠BDN，
∴△AMD∽△BDN，
∴=，
∴MA•DN=BD•MD=4MD，
∴MD+=MD+=（）2+（）2﹣2+2=（﹣）2+2，
∴当=，即MD=时MD+有最小值为2．
故答案为：2．
　
18．如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM=AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是，则的值是　8﹣　．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
【分析】过点H作HG⊥AC于点G，由于AF平分∠CAE，DE∥BF，∠HAF=∠AFC=∠CAF，从而AC=CF=2，利用△AHM∽△FCM， =，从而可求出AH=1，利用△AMH的面积是，从而可求出HG，利用勾股定理即可求出CG的长度，所以=．
【解答】解：过点H作HG⊥AC于点G，
∵AF平分∠CAE，DE∥BF，
∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，
∴AC=CF=2，
∵AM=AF，
∴=，
∵DE∥CF，
∴△AHM∽△FCM，
∴=，
∴AH=1，
设△AHM中，AH边上的高为m，
△FCM中CF边上的高为n，
∴==，
∵△AMH的面积为：，
∴=AH•m
∴m=，
∴n=，
设△AHC的面积为S，
∴==3，
∴S=3S△AHM=，
∴AC•HG=，
∴HG=，
∴由勾股定理可知：AG=，
∴CG=AC﹣AG=2﹣
∴==8﹣
故答案为：8﹣

　
三、解答题（本大题共7小题，共86分）
19．（1）计算： +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣|
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=2，y=．
【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）+cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣|
=0.2+
=0.2+
=0.7；
（2）（﹣）÷
=
=
=
=
=，
当x=2，y=时，原式=．
　
20．红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查，从试验田中随机抽取了30株，得到的数据如下（单位：颗）：
182
195
201
179
208
204
186
192
210
204
175
193
200
203
188
197
212
207
185
206
188
186
198
202
221
199
219
208
187
224
（1）对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析，请补全下表中空格，并完善直方图：
谷粒颗数
175≤x＜185
185≤x＜195
195≤x＜205
205≤x＜215
215≤x＜225
频数
　3　
8
10
　6　
3
对应扇形
图中区域
　B　
D
E
　A　
C

如图所示的扇形统计图中，扇形A对应的圆心角为　72　度，扇形B对应的圆心角为　36　度；
（2）该试验田中大约有3000株水稻，据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株？
【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．
【分析】（1）根据表格中数据填表画图即可，利用360°×其所占的百分比求出扇形对应的圆心角度数；
（2）用360°乘以样本中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻所占百分比即可．
【解答】解：（1）填表如下：
谷粒颗数
175≤x＜185
185≤x＜195
195≤x＜205
205≤x＜215
215≤x＜225
频数
3
8
10
6
3
对应扇形
图中区域
B
D
E
A
C
如图所示：

如图所示的扇形统计图中，扇形A对应的圆心角为：360°×=72度，扇形B对应的圆心角为360°×=36度．
故答案为3，6，B，A，72，36；

（2）3000×=900．
即据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有900株．
　
21．江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据总费用=大型收割机的费用+小型收割机的费用，即可得出w与m之间的函数关系式，由“要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，依此可找出各方案，再结合一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，
根据题意得：，
解得：．
答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．
（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，
根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．
∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，
∴，
解得：5≤m≤7，
∴有三种不同方案．
∵w=200m+4000中，200＞0，
∴w值随m值的增大而增大，
∴当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．
答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．
　
22．如图，设反比例函数的解析式为y=（k＞0）．
（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；
（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，可得y=kx+2k，由消去y得到x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为，可得•2•3k+•2•k=，解方程即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意A（1，2），
把A（1，2）代入y=，得到3k=2，
∴k=．

（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，
∴y=kx+2k，
由消去y得到x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或1，
∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），
∵△ABO的面积为，
∴•2•3k+•2•k=，
解得k=，
∴直线l的解析式为y=x+．
　
23．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cos∠DFA=，AN=2，求圆O的直径的长度．

【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；
（2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DFA=、AN=2，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH=r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度．
【解答】（1）证明：连接OF，则∠OAF=∠OFA，如图所示．
∵ME与⊙O相切，
∴OF⊥ME．
∵CD⊥AB，
∴∠M+∠FOH=180°．
∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，
∴∠M=2∠OAF．
∵ME∥AC，
∴∠M=∠C=2∠OAF．
∵CD⊥AB，
∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，
∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，
∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，
∴CA=CN．

（2）连接OC，如图2所示．
∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，
∴=．
设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，
∵CA=CN，
∴NH=a，
∴AN===a=2，
∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．
设圆的半径为r，则OH=r﹣6，
在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，
∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，
解得：r=，
∴圆O的直径的长度为2r=．


　
24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆C与x轴相切；
（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点（4，2），可求得抛物线的解析式；
（2）联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标，则可求得C点坐标和线段BD的长，可求得圆的半径，可证得结论；
（3）过点C作CH⊥m于点H，连接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐标可求得FH，则可求得MF和BE的长，可求得其比值．
【解答】解：
（1）∵已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+1，
∵抛物线经过点（4，2），
∴2=a（4﹣2）2+1，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+1=x2﹣x+2；
（2）联立直线和抛物线解析式可得，解得或，
∴B（3﹣，﹣），D（3+， +），
∵C为BD的中点，
∴点C的纵坐标为=，
∵BD==5，
∴圆的半径为，
∴点C到x轴的距离等于圆的半径，
∴圆C与x轴相切；

（3）如图，过点C作CH⊥m，垂足为H，连接CM，

由（2）可知CM=，CH=﹣1=，
在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，
∵HF==，
∴MF=HF﹣MH=﹣2，
∵BE=﹣﹣1=﹣，
∴==．
　
25．如图，已知△ABC中，∠C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；
（3）当y取最大值时，求sin∠NEF的值．

【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）由已知得出CN=CM=t，FN∥BC，得出AN=8﹣t，由平行线证出△ANF∽△ACB，得出对应边成比例求出NF=AN=（8﹣t），由对称的性质得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性质得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况：①当0＜t≤2时，由三角形面积得出y=﹣t2+2t；
②当2＜t≤4时，作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，得出GH=NF=（8﹣t），由三角形面积得出y=（8﹣t）2（2＜t≤4）；
（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB==2，求出EF==，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF=HF=，在Rt△DEF中，由三角函数定义即可求出sin∠NEF的值．
【解答】解：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：
连接ME交NF于O，如图1所示：
∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，
∴CN=CM=t，FN∥BC，
∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，
∴==2，
∴NF=AN=（8﹣t），
由对称的性质得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，
∵四边形MNEF是正方形，
∴OE=ON=FN，
∴t=×（8﹣t），
解得：t=；
即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；

（2）分两种情况：
①当0＜t≤2时，y=×（8﹣t）×t=﹣t2+2t，
即y=﹣t2+2t（0＜t≤2）；
②当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，
由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，
∴GH=NF=（8﹣t），
∴y=NF′GH=×（8﹣t）×（8﹣t）=（8﹣t）2，
即y=（8﹣t）2（2＜t≤4）；

（3）当点E在AB边上时，y取最大值，
连接EM，如图3所示：
则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，
∵BM=4﹣t，
∴2t=2（4﹣t），
解得：t=2，
∴CN=CM=2，AN=6，
∴BM=4﹣2=2，NF=AN=3，
∴EM=2BM=4，
作FD⊥NE于D，则EB===2，△DNF是等腰直角三角形，
∴EF==，DF=HF=，
在Rt△DEF中，sin∠NEF===．



　

2017年6月29日