人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念课后复习题

第七章　复数

7.1　复数的概念

7.1.1　数系的扩充和复数的概念

基础过关练

题组一　复数的概念

1.(2021安徽合肥一六八中学高一下期中)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e为自然对数的底数,i为虚数单位,θ∈R)是瑞士著名数学家欧拉提出的,eiπ+1=0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知,复数的虚部为              (　　)

A.-i

2.(2021江苏宿迁沭阳高中高一下期中)设复数z=a-2+(2a+1)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等,则实数a=              (　　)

A.-3　　　B.-2　　　C.2　　　D.3

3.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是              (　　)

A.,1　　　B.,5　　　C.±,5　　　D.±,1

4.以3i-的虚部为实部,3i2+i的实部为虚部的复数是　　 (　　)

A.3-3i　　　B.3+i

C.-i

5.(多选)下列说法不正确的是 (　　)

A.复数2+3i的虚部是3i

B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数

C.若a∈R,a≠-3,则(a+3)i是纯虚数

D.若两个复数能够比较大小,则它们都是实数

题组二　复数的分类

6.用C,R,I分别表示复数集、实数集、纯虚数集,且取全集为C,则下列结论成立的是              (　　)

A.R∪I=C　　　B.R∩(∁CI)=⌀

C.∁CR=I　　　D.(∁CR)∪(∁CI)=C

7.下列说法正确的是 (　　)

A.复数由实数、虚数、纯虚数构成

B.若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有x≠0

C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数

D.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i

8.(2021吉林江城中学高一下月考)若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值是              (　　)

A.1　　　B.-1　　　C.±1　　　D.-2

9.(2020辽宁辽阳高二上期末)若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则              (　　)

A.a=-1　　　B.a≠-1且a≠2

C.a≠-1　　　D.a≠2

10.(2021河南郑州中学高二下月考)给出下列命题:

(1)若x+yi=0,则x=y=0;

(2)若a+bi=3+8i,则a=3,b=8;

(3)若x为实数,且(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数,则x=±2;

(4)若x,m∈R且3x+mi<0,则有x<0.

其中正确命题的序号是　　　　. 

11.已知复数z=+(x2-2x-15)i,则实数x取什么值时,z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

题组三　复数相等的充要条件及其应用

12.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi= (　　)

A.-2+i　　　B.2+i　　　C.1-2i　　　D.1+2i

13.若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m+n= (　　)

A.4或0　　　B.-4或0　　　C.2或0　　　D.-2或0

14.(2021上海浦东新区高二上教学质量检测)已知(x+y)+3i=(1-x)-yi(x,y∈R),则x=　　　,y=　　　. 

15.已知=(x2-2x-3)i(x∈R),则x=　　　　. 

16.(2020北京西城高一下月考)定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=(i为虚数单位),那么实数x,y的值分别为　　　　. 

答案全解全析
基础过关练

1.B　由欧拉公式得i,其虚部为,故选B.

2.A　∵复数z=a-2+(2a+1)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等,

∴a-2=2a+1⇒a=-3.故选A.

3.C　由题意,得a2=2,-(2-b)=3,

∴a=±,b=5.故选C.

4.A　3i-的虚部为3,3i2+i的实部为-3,故所求复数为3-3i.故选A.

5.AB　复数2+3i的虚部是3,故A中说法错误;形如a+bi(b∈R)的数不一定是虚数,例如,当a∈R,b=0时,a+bi不是虚数,故B中说法错误;只有当a∈R,a+3≠0,即a≠-3时,(a+3)i是纯虚数,故C中说法正确;因为虚数不能比较大小,所以若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,故D中说法正确.故选AB.

6.D　复数集C,实数集R,虚数集,纯虚数集I之间的关系如图所示,分析可知选项D正确.

7.C　选项A错误,复数由实数与虚数构成,虚数又分为纯虚数和非纯虚数;选项B错误,若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有y≠0,对x的取值没有限定;选项C正确,复数z=x+yi(x,y∈R)是纯虚数⇔x=0且y≠0,因此只要x≠0,复数z一定不是纯虚数;选项D错误,当a,b∈R时,a+i与b+i都是虚数,不能比较大小.

8.A　因为(x2-1)+(x2+3x+2)i为纯虚数,

所以解得x=1.

9.C　解法一:复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0,解得a≠-1.故选C.

解法二:若该复数为纯虚数,则a2-a-2=0且|a-1|-1≠0,解得a=-1,所以若该复数不是纯虚数,则a≠-1.故选C.

10.答案　(4)

解析　由于没有给出x,y∈R,a,b∈R的限制条件,因此命题(1)和(2)都是错误的;若x为实数,(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数,则所以x=2,因此命题(3)是错误的;由x,m∈R且3x+mi<0可得即x<0,因此命题(4)是正确的.

11.解析　(1)当x满足即x=5时,z是实数.

(2)当x满足即x≠-3且x≠5时,z是虚数.

(3)当x满足即x=-2或x=3时,z是纯虚数.

12.B　由i2=-1,得xi-i2=1+xi,则由题意,得1+xi=y+2i,根据复数相等的充要条件,得x=2,y=1,故x+yi=2+i.

13. A　由z1=z2,得 所以m+n=4或0,故选A.

14.答案　2;-3

解析　由已知得

解得

易错警示

复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R)相等的条件是a=c,b=d,但应注意a,b,c,d都是实数.

15.答案　3

解析　因为x∈R,所以∈R,由复数相等的充要条件,得解得x=3.

16.答案　-1,2

解析　由=ad-bc,得=3x+2y+yi,

故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.

因为x,y为实数,所以

解得