高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示测试题，共6页。试卷主要包含了复数12−32i的三角形式是，把下列复数表示成三角形式，把下列复数表示成代数形式，计算等内容，欢迎下载使用。

7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
基础过关练
题组一 复数的三角表示式
1.复数12−32i的三角形式是( )
A.cs-π3+isin-π3 B.cs π3+isin π3
C.cs π3−isin π3 D.cs π3+isin 5π6
2.复数z=sin 15°+ics 15°的三角形式是( )
A.cs 195°+isin 195° B.sin 75°+ics 75°
C.cs 15°+isin 15° D.cs 75°+isin 75°
3.(多选)下列各角可以作为复数33-3i的辐角的是( )
A.-π6 B.11π6 C.−π3 D.5π3
4.复数z=cs π6−isin π6的辐角的主值为 .
题组二 复数代数形式与三角形式的互化
5.把下列复数表示成三角形式.
(1)-1-i;(2)ai(a<0);(3)-3(sin θ-ics θ).
6.把下列复数表示成代数形式.
(1)z1=3cs π4+isin π4;
(2)z2=3cs 4π3+isin 4π3;
(3)z3=22cs 7π6-isin 7π6.
题组三 复数三角形式的乘、除运算
7.设复数z1=1+3i,z2=3+i,则z1z2的辐角的主值是 .
8.计算:
(1)8cs 4π3+isin 4π3×4cs 5π6+isin 5π6;
(2)3(cs 225°+isin 225°)÷[2(cs 150°+isin 150°)];
(3)4÷cs π4+isin π4.
题组四 复数三角形式乘、除运算的几何意义
9.(多选)(2021湖南长沙长郡中学高二上月考)已知在正方形OABC中,O是坐标原点,且点B在x轴的上方,向量OA对应的复数为2+i,则( )
A.点B对应的复数为1+3i
B.向量OC对应的复数为-1+2i
C.向量BC对应的复数为1+2i
D.|AC|=10
10.把复数1+i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转π2,所得到的向量对应的复数是 .
11.已知向量OZ对应的复数为-2i,把OZ绕原点O按顺时针方向旋转45°后,再把模变为原来的32倍得到向量OZ1,则OZ1对应的复数为 .(用代数形式表示)
答案全解全析
基础过关练
1.A 依题意得,r=122+-322=1,cs θ=12,复数12−32i在复平面内对应的点在第四象限,所以arg12-32i=5π3,
所以12−32i=cs5π3+isin5π3
=cs2π-π3+isin2π-π3
=cs-π3+isin-π3.
2.D z=sin 15°+ics 15°=cs 75°+isin 75°,故选D.
3.AB 依题意得,r=(33)2+(-3)2=6,cs θ=336=32,复数33-3i在复平面内对应的点在第四象限,所以arg(33-3i)=11π6,所以2kπ+11π6(k∈Z)都可以作为复数33-3i的辐角,结合选项可知,A、B正确.
4.答案 11π6
解析 z=csπ6−isinπ6=cs2π-π6+isin2π-π6=cs11π6+isin11π6,故复数z的辐角的主值为11π6.
5.解析 (1)依题意得,r=2,cs θ=-22,复数在复平面内对应的点在第三象限,
所以-1-i的辐角的主值为5π4.
所以-1-i=2cs5π4+isin5π4或−1−i=2cs-3π4+isin-3π4.
(2)因为a<0,
所以r=|a|=-a,
复数在复平面内对应的点在y轴的负半轴上,
取θ=-π2,
所以ai=-acs-π2+isin-π2.
(3)-3(sin θ-ics θ)=3(-sin θ+ics θ)
=3csπ2+θ+isinπ2+θ.
6.解析 (1)z1=3csπ4+3isinπ4=322+322i.
(2)z2=3cs4π3+3isin4π3=−32−32i.
(3)z3=22cs7π6−22isin7π6=−6+2i.
7.答案 π6
解析 由题得,z1=2csπ3+isinπ3,z2=2csπ6+isinπ6,
所以z1z2的辐角是π3−π6=π6,又因为π6∈[0,2π),所以z1z2的辐角的主值是π6.
8.解析 (1)8cs4π3+isin4π3×4cs5π6+isin5π6
=32cs4π3+5π6+isin4π3+5π6
=32cs13π6+isin13π6
=32csπ6+isinπ6
=3232+12i
=163+16i.
(2)3(cs 225°+isin 225°)÷[2(cs 150°+isin 150°)]
=32[cs(225°-150°)+isin(225°-150°)]
=62(cs 75°+isin 75°)
=626-24+6+24i
=3-34+3+34i.
(3)4÷csπ4+isinπ4
=4(cs 0+isin 0)÷csπ4+isinπ4
=4cs-π4+isin-π4
=22−22i.
9.ABD 把OA绕点O按逆时针方向旋转45°,再把模变为原来的2倍即得OB,
故向量OB对应的复数为(2+i)·2(cs 45°+isin 45°)=(2+i)(1+i)=1+3i,
即点B对应的复数为1+3i,选项A正确;
把向量OA绕点O按逆时针方向旋转90°即得向量OC,
故OC对应的复数为(2+i)·(cs90°+isin 90°)=(2+i)i=-1+2i,选项B正确;
BC对应的复数为OC对应的复数减去OB对应的复数,
即(-1+2i)-(1+3i)=-2-i,
选项C不正确;
|AC| =|OB|=10,选项D正确.
故选ABD.
10.答案 -1+i
解析 由题意得,所求复数为(1+i)·csπ2+isinπ2=(1+i)i=-1+i.
11.答案 -322−322i
解析 OZ1对应的复数为−2i·32cs-π4+isin-π4
=-2i324-324i
=-322−322i.