高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直同步训练题

专题强化练8　折叠问题

一、选择题

1.(2020内蒙古呼和浩特第二中学高一上期末,)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为              (　　)

A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90°

2.(2021河南商开大联考高一上期末,)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E,F分别为BC,AD的中点,将四边形CDFE沿EF折起,使得平面CDFE⊥平面ABEF,则异面直线BD与AE所成角的正弦值为              (　　)

A.

3.(2021陕西铜川一中高一上期末,)如图,四边形ABCD是矩形,沿直线BD将△ABD翻折成△A'BD,异面直线CD与A'B所成的角为α,则              (　　)

A.α<∠A'CA　　　B.α>∠A'CA

C.α<∠A'CD　　　D.α>∠A'CD

4.(2021江西朔州怀仁高二上期末,)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中              (　　)

A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直

B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直

C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直

D.对任意位置,三对直线AC与BD,AB与CD,AD与BC均不垂直

二、填空题

5.(2020河南信阳高一上期末,)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=12,BC=8,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE沿直线DE翻折至△PDE,形成四棱锥P-BCED,在翻折过程中,给出下列结论:①∠DPE=∠BPC;②PE⊥BC;③PD⊥EC;④平面PDE⊥平面PBC.其中不可能成立的结论是　　　　(填序号).

三、解答题 

6.(2021黑龙江哈尔滨六中高二上期末,)如图,在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,B=90°,∠BCD=135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角,如图.

(1)求证:平面ABC⊥平面BCD;

(2)求二面角B-AD-C的大小.

7.(2021黑龙江省实验中学高二期中,)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,D=,BC=3,AD=DC=1.把△ACD沿着AC翻折至△ACD1的位置,构成三棱锥D1-ABC(如图2).

(1)当BD1=2时,证明:CD1⊥AB;

(2)当三棱锥D1-ABC的体积最大时,求点B到平面ACD1的距离.

答案全解全析

一、选择题

1.B　当平面ABC与平面ACD垂直时,三棱锥的高最大,由于底面积S△ACD为定值,所以此时三棱锥的体积最大.

取AC的中点E,连接BE,DE,如图,

易知DE⊥AC,所以由面面垂直的性质定理可得DE⊥平面ABC,

所以∠DBE即为直线BD和平面ABC所成的角,

因为BE=DE,所以∠DBE=45°.

故选B.

2.D　如图,连接BF交AE于点O,取DF的中点G,连接OG,AG,则OG∥BD且OG=BD,所以∠AOG(或其补角)为异面直线BD与AE所成的角.易得DF=FA=1,AE=BF==2,所以AO=AE=1.因为平面CDFE⊥平面ABEF,平面CDFE∩平面ABEF=EF,DF⊥EF,DF⊂平面CDFE,所以DF⊥平面ABEF,又BF,AF⊂平面ABEF,所以DF⊥BF,DF⊥FA,所以BD=,所以OG=,所以AG=.在△AOG中,sin∠AOG=.

所以异面直线BD与AE所成角的正弦值为,故选D.

3.B　∵AB∥CD,

∴∠A'BA(或其补角)为异面直线CD与A'B所成的角α,

假设四边形ABCD是正方形,AB=1,

平面A'BD⊥平面ABCD,

连接AC,A'A,A'C,

设AC与BD交于点O,连接A'O,

则A'O⊥平面ABCD,

且A'O=AO=BO=CO=DO=,

∴A'A=A'C=A'B=A'D=1,

∴△A'BA,△A'CD是等边三角形,△A'CA是等腰直角三角形,

∴∠A'CA=45°,∠A'CD=∠A'BA=60°,

即α>∠A'CA,α=∠A'CD.

故选B.

4.B　如图,作AE⊥BD,CF⊥BD,

由AB=1,BC=,得AE=CF=,BE=EF=FD=.

假设存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直,连接CE,

∵BD⊥AE,AE∩AC=A,∴BD⊥平面AEC,

∴BD⊥EC,与BD⊥CF矛盾,故A错误.

假设存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直,

∵CD⊥BC,BC∩AB=B,

∴CD⊥平面ABC,

又CD⊂平面BCD,

∴平面ABC⊥平面BCD.

取BC的中点M,连接ME,则ME⊥BD,

∴∠AEM就是二面角A-BD-C的平面角,

此角显然存在,即当A在底面BCD上的射影位于BC的中点时,直线AB与直线CD垂直,故B正确,D错误.

假设存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,

∵BC⊥CD,CD∩AD=D,

∴BC⊥平面ACD,

又BC⊂平面BCD,∴平面ACD⊥平面BCD,

即A在底面BCD上的射影应位于直线CD上,这是不可能的,故C错误.

二、填空题

5.答案　①②④

解析　如图所示:

①易知tan∠DPE=,∵DE⊥PD,DE⊥BD,PD∩BD=D,∴DE⊥平面PBD,易知DE∥BC,∴BC⊥平面PBD,∴BC⊥PB,即∠PBC=90°,∵PB<PD+DB=12,

∴tan∠BPC=,∴①不可能成立;

②∵DE∥BC,∴PE与BC所成角即为∠PED,易知∠PED<90°,∴②不可能成立;

③当PD⊥BD时,可得PD⊥平面DBCE,

∴PD⊥EC,即③可能成立;

④平面PDE和平面PBC交于点P,设两个平面的交线为l,由线面平行的性质定理可知l∥BC∥DE,

∴l⊥PB,l⊥PD,∴∠BPD就是两个平面所成二面角的平面角,

又∵PD=BD,∴∠BPD为锐角,∴④不可能成立.

综上所述,不可能成立的是①②④.

三、解答题

6.解析　(1)证明:∵∠ACD=135°-45°=90°,∴CD⊥AC.

如图,过点B作BO⊥AC,垂足为O.

∵B-AC-D是直二面角,且平面BAC∩平面ACD=AC,BO⊥AC,

∴BO⊥平面ACD.

∵CD⊂平面ACD,∴BO⊥CD,

∵BO∩AC=O,∴CD⊥平面ACB.

又CD⊂平面BCD,∴平面ABC⊥平面BCD.

(2)由(1)可得CD⊥CB,∴BD=a.

易知AD=a.又AB=a,∴∠ABD=90°.

作BE⊥AD,则BE=a.

连接OE,由(1)知BO⊥平面ACD,

∴BO⊥AD,

又BO∩BE=B,∴AD⊥平面BOE,∴OE⊥AD.

则∠BEO就是二面角B-AD-C的平面角.

∵AB=BC=a,∠ABC=90°,

∴BO=a,

∴sin∠BEO=.

∴∠BEO=60°,即二面角B-AD-C的大小为60°.

7.解析　(1)证明:依题意得,∠AD1C=90°,

所以AD1⊥CD1,

因为D1B=2,D1C=DC=1,BC=3,所以BC2=D1C2+D1B2,

故∠BD1C=90°,即CD1⊥BD1,

因为AD1∩BD1=D1,所以CD1⊥平面ABD1.

又AB⊂平面ABD1,所以CD1⊥AB.

(2)易得△ABC的面积为.

设D1到平面ABC的距离为h,

则×h,

故要使取到最大值,只需h取到最大值.

取AC的中点M,连接D1M,因为AD1=D1C=1,∠AD1C=90°,

所以D1M⊥AC,D1M=,且h≤D1M.

因为平面ACD1∩平面ABC=AC,D1M⊥AC,D1M⊂平面ACD1,

所以当平面ACD1⊥平面ABC时,D1M⊥平面ABC,D1M=h.

故当平面ACD1⊥平面ABC时,取得最大值.

此时.

设B到平面ACD1的距离为d,

可得,

故,解得d=,

故B到平面ACD1的距离为.